Boule fermée et like-Brouwer
Ayant très peu de dispo, je pose "froidement" la question: Soit $B$ une boule fermée de $\R^n$ et $f$ une application continue de $B\to B$ telle que
$$bord(B)\subseteq ImageDirecteParDe(f,B)$$
Alors $f$ est-elle forcément surjective?
Je ne numérote pas la question pour l'instant car je pense qu'il y a des gens du forum qui connaissent par coeur la réponse, mais j'ai juste un trou de mémoire, alors je demande.
Merci d'avance.
$$bord(B)\subseteq ImageDirecteParDe(f,B)$$
Alors $f$ est-elle forcément surjective?
Je ne numérote pas la question pour l'instant car je pense qu'il y a des gens du forum qui connaissent par coeur la réponse, mais j'ai juste un trou de mémoire, alors je demande.
Merci d'avance.
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Réponses
$S^1$ est le cercle unité
La restriction de $f$ au segment $[-1,1]$ est surjective.
(Si $a$ est dans l'intérieur de $B$, il y a une projection continue de $B\backslash \{a\}$ sur le bord de $B$ et par composition, si $a\notin f$, on peut construire $g:B \to \partial B$ continue dont la restriction à $\partial B$ est l'identité or il est connu que c'est impossible).
A ma connaissance, toutes les preuves de Brouwer sont inspirées, et je pensais à ça dans le cadre d'une éventuelle recherche de preuve non inspirée, d'où ma question.
Si $f$ est une rétraction de $B$ sur $\delta B$, le film $H:=[t\in [0,1]\mapsto (x\mapsto tf(x) + (1-t)x)]$ commence avec une boule pleine et termine avec juste la sphère et donc "le premier" $t\in [0,1]$ tel que $H(t)$ laisse passer les rayon du soleil me semblait intéressant.
Soit $H$ un Hilbert et $K$ un convexe compact inclus dans $H$. Soit $f: K\to K$. Pour $a$ dans $K$, on note $r(a,f)$ la borne inf des diamètre des $f(U)$ quand $U$ parcourt l'ensemble des ouverts (iduits sur $K$) contenant $a$.
Existe-t-il forcément $a\in K$ tel que $dist(a,f(a))\leq sup (\{r(b,f)\mid b\in K\})$?