Lemme de Zorn

En fait quand tu dis que tu ne comprends pas, tu ne comprends pas l’énoncé, la démonstration, ou l’utilisation?

De ce que j'ai vu de tes interventions, ce document ne te sera pas utile, il te noiera**. Je te propose plutôt de nous en dire plus sur qui tu es (pas ton nom bien sûr), où tu en es, pourquoi décides-tu de commencer les maths, pourquoi choisis-tu l'axiome du choix, etc.

Le lemme de Zorn ne peut pas être abordé "sainement" en termes "d'intuition" sans connaitre les ordinaux*** (qui sont en réalité l'outil de fond dont le lemme de Zorn est une manifestation fréquente).

Cependant pour t'aider à acquérir les ordinaux, j'ai besoin d'en savoir plus sur à qui j'ai affaire.

** de plus malgré les efforts de son auteur, il utilise l'axiome du choix comme une évidence avant de faire une paragraphe pour dire que ce n'en est pas une, et oublie de définir certains mots, même si on peut deviner leur sens.

*** en très grossier, Zorn provient de ce que tu prends, en définissant une fonction ordinale, pour chaque ordinal $a: u(a)>$ tous les $u(i)$ déjà construits, ie $i<a$ et ce jusqu'à ce que ça s'arrête. Tu as alors affaire à une élément maximal.

Merci c'est déjà très précieux!! Mais je ne sais pas ce que signifie R&D .. pardon

Merci.

Les premières choses à comprendre pour traiter ces sujets (parlant d'infini) sont:

1/ dans toute argumentation, tout ce que tu ne prouves pas est considéré comme supposé (y compris les lemmes et théorèmes utilisés). C'est une règle du jeu très simple.

2/ Les énoncés doivent être quantifiés quand tu postes sur le forum. Sinon, on ne comprend pas, enfin la plupart du temps. Les présence de parenthèses pour éviter les ambiguités est aussi très importante.

Je te parle un peu des ordinaux:

3/ Un ordinal est un ensemble $a$ dont tous les éléments sont des parties de $a$ et qui en plus a la propriété suivante: pour toute partie non vide $X$ de $a$, il existe $m\in X$ qui est "minimum à être dans $X$ " c'est à dire que $m$ vérifie: pour tout $x\in X: [m=x$ ou $m\in x]$

4/ l'ensemble vide (noté souvent $0$, même si son nom est $\emptyset$) est un ordinal et c'est le plus petit. Ensuite vient l'ordinal $1:=\{0\}$. Puis $2:=\{0;1\}$, etc. Enfin $\omega$ (qui n'est en fait rien d'autre que $\N$) est le premier ordinal qui contient tous les entiers.

5/ J'ai écrit 4 trop tôt, mais pas grave. En fait, les ordinaux ont une propriété amusante:

5.1/ Pour tout ensemble $X$ non vide, qui ne contient que des ordinaux, il existe $m\in $X$ qui est "minimum à être dans $X$" c'est à dire que $m$ vérifie: pour tout $[x\in X: m=x$ ou $m\in x]$.

5.2/ Attention: ne pas confondre avec (3). Dans (3) c'est une propriété de la définition. Dans (5.2) c'est un théorème (difficile à prouver)

5.3/ Tout élément d'un ordinal est un ordinal

6/ Soit $E$ un ensemble et $f$ une application de $P(E)$ dans $E$. La notation $P(E)$ désigne l'ensemble des parties de $E$.

7/ Pour tout ordinal $a$, il existe une unique fonction $w$ définie sur $a$ ayant comme propriété que pour tout $e\in a:$

$$ w(e) = f(\{ x\in E\mid \exists i\in e: x=w(i) \})$$

C'est ce qui fait la beauté des ordinaux. Ce sont des constructions par récurrence généralisée.

8/ Soit maintenant un couple $(E,\leq)$ où $\leq$ est un ordre sur $E$ tel que toute partie totalement ordonnée (abréviation: chaine) par $\leq$ de $E$ admet un majorant. soit $z$ un élément de $E$.

9/ Par l'axiome du choix, il existe une fonction $f$ de $P(E)$ dans $E$ telle que pour toute partie $X$ de $E$, si $X$ est une chaine alors $f(X)$ majore strictement $X$ si possible, sinon le majore mais pas strictement, sinon $f(X)=z$.

10/ Soit $a$ un ordinal Soit $w$ comme en $(7)$ pour $f$, pour $a$. Tu peux alors prouver que $w$ est croissante de $a$ dans $(E\leq) $ et même strictement croissante sauf s'il existe dans $a$ un élément $e$ tel que $w(e)$ est maximal. Ca te prouve le lemme de Zorn dès lors que tu as choisi $a$ assez grand pour qu'il ne puisse pas s'injecter dans $E$.

11/ Quelques remarques:

11.1/ tout ceci ce sont des annonces, je n'ai rien prouvé, je te laisse déjà digérer tout ça. L'avantage avec les ordinaux est que, à la différence du document, tu ne vas pas "singer" (ce que fait le doc) des idées issues des ordinaux. Tu vas les traiter "en face à face" et sans détour. Et en plus tu vas pouvoir googler le mot "ordinal" à volonté et avancer.

11.2/ En français avachi sans preuve, les ordinaux forment un bon ordre qui "monte en haut de l'univers" et on peut construire par récurrence ordinale un peu tout ce qu'on veut au sens qu'on aura toujours pour tout ordinal $u(a) = $ une fonction qu'on aura choisie appliquée à la restriction de $u$ à $a$. Pour Zorn, prend un majorant $u(a)$ des $u(i)$ précédemment construit jusqu'à saturation (on est alors bloqué sur un élément maximal, et pour Zermelo, prendre un $u(a)$ qui n'a pas été déjà pris avant jusqu'à épuiser les éléments du $E$ sur lequel on veut mettre un bon ordre, etc.

11.3/ Zorn marche bien en algèbre, mais il y a des fois où les ordinaux apportent plus, car, en "cardinalisant", on obtient des trucs où le premier $a$ où "ça sature" est un cardinal et donc où EN PLUS de ce qu'on obtiendrait avec Zorn, "tout ce qui est avant est petit".

11.4/ Tu pourrais te demander: "que ferait-on si on n'avait pas découvert les ordinaux?". Et bien la réponse est simple. On les aurait découvert tôt ou tard, car en fait LES CARDINAUX se comportent comme les ordinaux en présence de l'axiome du choix, je t'en donne une preuve ci-dessous:

11.4.1/ Soit $i\in J\mapsto E_i$ une famille d'ensemble indicés par $J$. Par Zorn soit un ensemble $A$ maximal pour l'inclusion de fonctions $f$ vérifiant $\forall i\in J: f(i)\in E_i$ à être tel que $\forall f,g$ dans $A$, $i\in J:$ si $f(i)=g(i)$ alors $f=g$. il existe alors $i\in J$ tel que pour tout $x\in E_i$ il existe $f\in A$ vérifiant $f(i)=x$. Tu obtiens ainsi que $E_i$ s'injecte dans tous les $E_j, j\in J$ donc que in fine la collection des cardinaux est bien ordonnée.

Bon courage et amusement.

De mon téléphone: je confirme et j'ajoute que maxtimax est un jeune de 20ans à peu près. @max , je me permets comme tu m'avais aidé en me signalant des coquilles dans un pdf HAL (que j'ai d'ailleurs pas encore modifié faudrait que je fasse un peu de ménage) de te signaler (je n'ai pas lu évidemment ** mais juste fait éfiler des passages) que la proposition 3 est formulée à mon sens avec une quantification un peu trop molle (ça m'a marqué en passant dessus). Bon évidemment j'imagine que ta preuve dissipe l'ambiguïté.

** Ça demanderait du temps!

@Pierre j'ai reçu 3 fois le même MP et je realise que je n'ai pas réagi de suite puis ai oublié.

Je répare hélas de mon téléphone mais je prends soin de te donner une "definition" qui permet de cerner les ordinaux en 3 lignes démonstrations comprises (enfin presque).

E est un ordinal abrege E est l'ensemble des parties transitives de E différentes de E.

Dans l'ordre prouve

1/ qu'un ordinal ou un élément d'ordinal ne peut être élément de lui même

2/ que tout ensemble non vide d'ordinaux possède un MINIMUM qui est son intersection

Au total tu as 8 lignes à écrire. Bon faut les trouver. Euu sinon comme je viens d'inventer cette definition pour toi (mais t'inquiète 99% de probabilité que pas de faute) je ne vois pas combien de lignes prendra de prouver qu'un élément d'un ordinal est un ordinal

En espérant que ça comble ta demande. De mon téléphone

Voilà, je suis sur un pc. Je recopierai ce que je vais écrire dans un pdf que tu pourras transporter, mais comme il me faut latex de chez moi pour compiler, ce sera pour plus tard.

Je n'ai pas lu le fichier de maxtimax, mais je l'avais survolé et il te présentait semble-t-il, une approche académique. Je pense donc et j'espère que cette nouvelle approche complémente sans redite son pdf.

Définition: $x$ est un ensemble transitif abrège $\forall y: $ si $y\in x$ alors $y\subseteq x$

Définition: $x$ est un ordinal abrège $\forall y: [(y\in x) \iff ((y\subseteq x)$ et $(y$ est transitif$)$ et $(y\neq x))]$

Remarque: ce n'est évidemment pas la définition "habituelle" qu'on donne du mot "ordinal", mais en fait cette définition, à mon avis beaucoup plus pure même si un peu "sortie de nulle part" apporte plus d'avantages que d'inconvénients et surtout fait "tout passer" de manière lisse. Elle a aussi un avantage psychologique en ce qu'elle permet peut-être de revivre "l'enfer de Cantor", car on y voit l'axiome d'extensionalité à l’œuvre dans toute sa puissance.

Théorème1: si $a$ est un ordinal et $x\in a$ alors $x\notin x$.

sketch-preuve: l'ensemble $T$ des éléments $y$ de $a$ qui ne contiennent aucun élément $x$ tel que $x\in x$ est une partie de $a$ qui est transitive. Donc $T=a$ (sinon $T\in a$ et exercice)

Théorème2: Si $A$ est un ensemble non vide qui ne contient que des ordinaux alors il existe dans $A$ un élément $e$ tel que pour tout $x\in A: e\subseteq x$.

sketch-preuve: l'ensemble $T$ des éléments $y$ tels que $\forall x\in A: y\in x$. Comme $T$ est une partie (qui est un ensemble transitif) de tous les éléments de $A$, ou bien elle s'appartient à elle-même, ou bien il y a dans $A$ un élément $e$ tel que $T=e$.

Remarque: après ces quelques lignes, on a déjà quasiment tout sur les ordinaux: tout ensemble (non vide) d'ordinaux possède un minimum pour l'inclusion.


Théorème3: Tout élément d'un ordinal est un ordinal


sketch-preuve: soit $e$ un ordinal et $u$ l'ensemble des ordinaux de $e$. Alors $u$ est une partie transitive de $e$ qui n'est $e$ lui-même que si $e$ ne contient que des ordinaux. Supposons $u\in e$. Alors $u$ n'est pas un ordinal. Il existe donc $x\subseteq u$ tel que $x$ est transitif et $x\neq u$ et $x\notin u$. Soit $e_2\in u\setminus x$. Alors $x\subseteq e_2$ et $e_2$ est un ordinal donc $x\in e_2$. Contradiction, vu que $x\notin u$ et $e_2\subseteq u$.


Théorème4: Si $u,v$ sont des ordinaux différents et $u\subset v$ alors $u\in v$


sketch-preuve: $u$ est une partie transitive de $v$ qui n'est pas $v$ donc $u\in v$.

Voili, voilou, sauf erreur de ma part, tu sais maintenant absolument tout sur les ordinaux que doit savoir un démarrant ensembliste. Et c'est bien mieux que les manuels, puisque ça fait 20 lignes en gros!

Exercices:

E1/ si $e$ est un ordinal alors $e\cup \{e\}$ aussi
E2/ si $A$ est un ensemble d'ordinaux alors la réunion des éléments de $A$ aussi

E3/ Il n'existe pas d'ensemble de tous les ordinaux

Je continue un peu. Parmi les ordinaux, on a donc "les cardinaux" (ie ceux qui ne sont pas images surjectives d'un de leurs éléments). Dorénavant, j'appelle cardinal un tel ordinal et je note $card(E):=$ le plus petit ordinal en bijection avec $E$ (qui est un cardinal).

Vu ce qui précède (en admettant l'axiome du choix), on a tous les cardinaux ainsi et on obtient un structure naturelle de semi-anneau, mais ce qui est intéressant avec des opérations associatives et commutatives, mais qui en plus sont d'arité quelconque (on peut parler de produit d'une quantité quelconques d'ensembles ainsi que de sommes). Et cerise sur le gâteau, une notion de puissance.

Etant donné deux cardinaux $a,b$ et une famille $f :=(i\in J\mapsto c_i)$ de cardinaux, tu as les cardinaux suivants:

1/ $somme (f) := card(\{(i,x) \mid x\in c_i\})$

2/ $produit(f):= card(\{g\mid dom(g) = J$ et $g$ est une fonction et $\forall i\in J: g(i)\in c_i\})$

3/ $a^b:=card\{g\mid dom(g) =b$ et $g$ est une fonction et $codom(g)\subseteq a\}$

Rappels:

[small]$<<f$ est une fonction $>>$ abrège $<<f$ ne contient que des couples et pour tous $x,y,z$ si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y=z>>$

$dom(a) := \{x\mid exists y: (x,y)\in a\}$

$sym(a):= \{(x,y)\mid (y,x)\in a\}$

$codom(a):=dom(sym(a))$

$[f$ est une application de $A$ dans $B]:=[f$ est une fonction et $dom(f)=A$ et $cdom(f)\subseteq B]$

$[f$ est injective$]:=[sym(f)$ est une fonction$]$

$[f$ est surjective de $A$ sur $B]:=[f$ est une fonction et $dom(f) \subseteq A$ et $codom(f)=B]$

$[f$ est une bijection de $A$ dans $B]:=[f$ est une application de $A$ dans $B$ et $sym(f)$ est une application de $B$ dans $A]$[/small]

En espérant qu'avec ça tu puisses t'amuser un peu.

Je suis sur mon téléphone et sort en banlieue nord d'une réunion officielle avec l'équipe des ipr de mon acad où j'ai découvert que j'avais un train de retard car CDAL est officialisé à la rentrée prochaine pour le bac de fin de première et on ira probablement vers une officialisation grimpante ensuite. Donc je suis un peu groggy. Et moi qui croyais aller au conseil constitutionnel ou au pénal pour le faire interdire (ce n'est peut être pas indépendant d'ailleurs le seul moyen de se défendre du statut d'escroc pour le ministère c'est d'assumer formellement). Bref j'ai un peu perdu mon temps à le dénoncer

Bref suis ebêté. Euuu ah oui @PC : en fait tu peux te contenter de la facilité avec laquelle ma définition te donne en 3 lignes faciles le bon ordre pour l'inclusion de TOUS les ordinaux. Le reste est moins marrant dans ce que j'ai raconté. Mais ne passe pas à côté de ce petit truc assez génial jdois dire (on n'est jamais mieux servi que par soi même et ma modestie étant bien connue....:-D)

Par rapport à B2.1 : oui, mais l'hypothèse telle que formulée n'est pas contradictoire. Il faut préciser que tu supposes ou $f\neq g$ ou $T_a\neq T_b$.

Pour la dernière question c'est une manière de le voir. De manière générale, $g(g^{-1}(A)) = A$ pour tout sous-ensemble du codomaine $A$ de $g$ précisément lorsque $g$ est surjective.

Je ne sais pas si le diagramme va t'aider: la preuve est la même que celle du théorème suivant que tu pourrais t’entraîner à prouver avant si tu veux.

Théorème: soit $E$ un ensemble et $f:E\to E$ une application. Il existe une suite $u\in E^\N$ telle que :

$$ \forall n\in \N: u(n+1) = f(u(n))$$

Bon courage n'hésite pas à dire, si tu sèches, quand tu veux une solution.

Hélas tu te sers du truc à prouver (avec une autre fonction celle qui à une suite finie ajouté un terme correcte) donc c'est circulaire.

Mais la psychologie de déplacement vers ce genre de suites finies est une bonne idée. Tu peux la creuser en confiance.