Définition fonction

christophe c · March 2019

Je suis très peu disponible mais j'ouvre déjà le fil quand je vois les délires écrit dans son homonyme et remercie foys de m'en avoir informé.

Au moins c'est un sujet non synthétique-global sur lequel j'ai tout regardé en détails niveau élèves.

Je suis sur mon téléphone mais j'ai parcouru en diagonale. Déjà en 3mn je rappelle les règles d'or à ne jamais déroger (sous peine de tomber dans le pedagogisme avec le crash qu'on sait que ça a donné)

1/ Faire des maths, c'est faire des maths. Il n'y a pas de "maths pour les élèves ou les enfants" qui seraient différentes des maths des mathématiciens ... sauf quand les mathématiciens pour pouvoir parler au bar inventent des raccourcis et créent le langage de leur spécialité (mais rien à voir avec l'école)

2/ Une définition peut poser des problèmes affectif provoquer un ressenti d'incompréhension MAIS ELLE NE DOIT JAMAIS DECLENCHER d'impression trompeuse qu'on la comprend parce qu'on l'a remplacé par une tautologie. Vendre un tautologie s'appelle une tromperie.

3/ La notion de fonction est primordiale. C'est parce qu'elle n'est PAS ENSEIGNÉE que l'enseignement des sciences achoppe (cette cause occupé une place non négligeable)

4/ Les bonimenteurs égocentriques et autres pedagos qui préfèrent leur image (égocentrisme autiste) auprès des élèves au réel ont fait énormément de mal en substitution à la définition une tautologie vide (qui évidemment provoque une e adhésion comme toute tautologie vide, puisque vide pas de problème dedans). Même si cette esbrouffe à eu lieu bien. Plus tôt que CDAL elle préfigurait peut être

En (4) j'évoque toutes les personnes qui disent du e manière ou d'une autre qu'une fonction est .. une fonction (un procédé, un algo que sais-je). Cette malhonnêteté tautologique (ça s'appelle voler un oui non consentant) merite un bon procès définitif. J'essaierai de le faire d'un PC.

gai requin · March 2019

Mais avant de définir une fonction, il faut définir ce qu'est un ensemble ce qui peut s'avérer chronophage non ?

Poirot · March 2019

@gai requin : c'est quoi la définition d'un ensemble ?

gai requin · March 2019

Mais je ne sais pas moi !

En tout cas, si on dit que pour définir une fonction, il faut d'abord se donner deux ensembles $X$ et $Y$, alors l'élève est en droit de demander ce qu'est un ensemble non ?

christophe c · March 2019

@GR: pas d'ensemble de départ et d'arrivée ça c'est assez grosse erreur du journalisme dont il ne faut pas oublier leur date de.construction.

Par contre oui fonctions et ensembles sont presque au même niveau mais j'y reviendrai la notion d'ensemble** ne posant strictement aucun problème à personne et étant la seule notion première des maths la discussion n'est vraiment pas la et comme tu verras je n'orientrrai pas mes posts sur ce non événement.

Le point crucial est la bonne compréhension de l'enfant (c'est triste mais ce sont souvent les pédagogo qui le comprenne le moins): C'EST UN ADULTE avec quelques différences.

Tenter de cacher son indigence ou son incompétence derrière l'art de ne pas perdre de matchs EN NE LES JOUANT PAS puis d'essayer de faire croire à ces "adultes" (qui y croient par confiance) qu'ayant "pas perdu", on a "donc" gagné s'appelle de mon point de vue une sorte de petit crime.

Et on a la chance avec les fonctions en maths de prendre la main dans le sac les coupables dudit.

De mon téléphone

PS vite fait: fonction = son graphe =( à l'école) sa courbe point barre. Mais j'ai besoin d'un PC.

** En dehors qu'il faut réhabiliter LE MOT (pas la notion) vue la chasse haineuse dont il a fait part des généraux et maréchaux pedagogistes.

kioups · March 2019

J'ai rien compris ! Donc j'ai tout compris... Enfin, je crois...

gai requin · March 2019

@CC : Quoi ? $f:X\to Y$, c'est pas un élément de $Y^X$ ? ;-)

Titi le curieux · March 2019

Bonjour,
En ce qui me concerne, je ne suis pas un spécialiste (et ne le serai jamais), et je n'ai étudié la théorie de la démonstration puis ZF qu'assez récemment. Cependant, je me permets de mettre mon grain de sel.

Du fait de cette étude, on va dire que j'ai deux définitions de fonctions :

* la fonction "logique" : tu mets quelques constantes dedans (et tu peux y mettre toutes celles que ton langage définit) et ça te sort une autre constante. (bon après il y a les notions de variables, termes, mais bref...).
* la fonction "ZF": un "graphe" où les éléments du domaine n'ont qu'une image.

Si la seconde me plaît beaucoup (elle permet notamment d'entrevoir ce que signifie la notion de morphisme au-delà de l'algèbre, c'est très chouette !), je remarque que la première est un peu tombée du ciel (les règles de la logique, c'est sympa avant que tu commences à parler de notion de variable et notamment d'existence, et puis dire qu'une fonction est n-aire avant de prétendre qu'on va d'apprendre à compter, ça m'ennuie un peu, on notera que les relations sont aussi victimes de ce problèmes). Cependant je constate que je ne pas faire grand-chose sans : la paire, la réunion et les parties sont des fonctions "logiques" qui sont "axiomatisées" (et les schémas d'axiomes sont encore pire, celui de compréhension est carrément une usine à fonctions "logiques" et celui de remplacement, conjugué à tout le reste permet de faire des liens entre fonctions "logiques", relations et fonctions "ZF"), et je peux me brosser si je veux produire rigoureusement la deuxième définition sans ces trucs-là. Alors on pourrait toujours tenter de proposer un gloubi boulga logique, mais, si j'ai bien suivi, c'est ce qu'ils ont essayé de faire au début (et ça laisse des traces, les notions de langages modèles sont finalement très friande d'une notion intuitive d'ensemble, quant au théorème de complétude ou la notion de skolémisation, on y mange carrément de l'induction !), et aujourd'hui, ce n'est plus trop conseillé...

En conclusion, je ne pense qu'il faut être pragmatique, il y a un moment où ça peut se mordre la queue. Alors, enseigner la notion "ZF" à un moment où on a juste besoin de donner une idée de ce que sont les fonctions "logiques" et de commencer à toucher à la notion de variable (pour faire de l'analyse et de l'algèbre élémentaire) ... ça ne me plaît pas des masses.

christophe c · March 2019

Je suis sur un pc, je peux donc préciser les choses, mais comme j'ai déjà donné ces définitions 1000 fois sur le forum, je mettrais un lien s'il ne s'agissait que de mettre ça. Je précise les névroses pédagogistes qui cryptent le problème.

1/ L'avantage est qu'avec la notion de fonction, on a à la fois les idioties récentes (mais elles sont très largement couvertes par CDAL et deviennent des anecdotes) et les moins récentes.

2/ De tout temps les maths ont été très mal enseignées et c'est de la faute de personne

3/ Avant le crash (quand il y avait encore des maths enseignées à l'école) on avait un succès de 5% (voir TIMS). Après c'est devenu bien sûr 0, (le $0.4\neq 0$ provient de ceux qui acquiert des maths MALGRE et non grace à l'école), mais déjà la perte de $95\%$ était énorme, quand on sait que l'inspiration ne commence qu'au niveau L2 et que la difficulté des maths est égale à peu de choses près à celle d'apprendre à lire (autrement dit, dans un système qui serait sain, ou bien on n'enseignerait pas du tout les maths, ou bien vers 8-9ans, tout enfant non handicapé mental grave aurait un L2 de maths en gros)

4/ Mais parmi les gros travers des pédagos, on en a qui sont récents (4.1), et d'autres qui ont toujours eu cours (4.2) .

5/ Parmi ces derniers (4.2) il y a les suivants :

5.1/ Le fait pour le prof de maths de se croire meilleur en maths que ses élèves (ça c'est rien), mais d'avoir besoin de le croire (ça c'est très conséquent).

5.2/ Le fait pour le prof de maths de vouloir "être compris" (mais dit comme ça ça a l'air normal alors que ce qu'il faut comprendre c'est "le fait de vouloir être aimé et reconnu dans sa supériorité"

5.3/ un besoin purement psy de vouloir infligé aux autres ce qu'on a subi soi-même: si on a taffé dur pour avoir l'agreg ou autre, on (c'est inconscient) supporte mal les gosses de seconde qui ont 18 sans rien faire, etc. On "a besoin" de défendre la thèse que sans travail on échoue en maths (qui même si elle n'est pas totalement fausse, l'est à disons 91%, donc trompe et détruit énormément d'élèves (qui, plus ils travaillent, lpus ils deviennent nuls en maths, les blessures infligées par "le travail" les conduisant à la situation irréversible de ne pas vouloir renoncer à leur sac à dos au moment de traverser le fleuve à la nage, donc à abandonner et rester près de leur sac à dos (le truc qui contient "les ennemis de mes ennemis sont mes amis, une fonction c'est un procédé, on barre en haut et en bas, on enlève les parenthèses, équation: on ajoute le même poids des deux côtés, etc, etc")

5.4/ Le fait d'utiliser des mensonges et des escroqueries (c'est humain) pour parvenir à "construire" les non-réalités 5.1 et 5.2. Lesdites sont:

6.1/ Le grand classique: prétendre qu'il ne faut pas enseigner les maths aux enfants comme on les enseignerait aux experrts

6.2/ se déclarer satisfait et même "gagnant" quand on arrache à "oui, j'ai compris" à l'enfant (ou même un oui, ok" tout court.

6.3/ Le fait de faire semblant de croire de l'enfant parle le langage mathématique (et donc interdire et combattre pour ça, toute tentative d'enseignement dudit langage, de peur de voir démasqué que les maths sont faciles) et donc de s'amuser à lui "expliquer le fond" en considérant que ses difficultés viennent de son infériorité mentale "de fond". Exemple: donner des usines à gaz épouvantable pour additionner ou multiplier les nombres relatifs (en faisant semblant de croire que les enfants ne savent pas le faire naturellement, etc)

6.4/ Le fait de tenter (et de mener combat pour ça) d'identifier match non joué avec match non perdu = match gagné.

7/ Exercice pour les lecteurs: la seule notion de fonction remplit extrêmement bien ce rôle.

7.1/ Elle permet de valoriser le prof en disant "c'est abstrait on va y aller doucement". Les programmes sont scandaleux, ils écrivent "c'est un objectif de fin d'année" (ça n'a aucun sens, une définition n'est pas et ne peut pas être un objectif, c'est une information formelle, point barre)

7.2/ Ses différents avatars faux offrent aux pedagogo incompétents en maths des discours vides (et même nocifs, voir exemple) des plages entières de prétextes pour pontifier/

7.3/ Le "oui" est facile à obtenir et la quasi-totalité des gens SINCERES (autrement dit, je vais jusqu'à enlever les tricheurs "conscients"), c'est à dire qui arrêteraient s'ils prenaient conscience de leur erreur, "se nourrissent d'un "oui" vide extorqué à l'enfant par des procédés pas plus honnêtes que les criminels qui passent aux assises et prétendent que la jeune fille de 13ans était "consentante pour".

7.3.1/ La quasi-totalité, même des manuels écrits, proposent la tautologie vide "une fonction est une fonction". L'une des pires que j'ai connu, et je n'en veux pas ni ne l'accuse de rien car il enseigne dans le supérieur et avait écrit un livre: $<<$ on dit qu'on s'est donné une fonction $f$ (de..dans..) quand pour chaque $x$ on s'est donné un unique élément $f(x)>>$

C'est clair qu'on comprend puisque ça ne contient strictement rien d'autre que "une fonction est une fonction" (à peu de choses près).

8/ Au prochain post, j'expliquerai (en détails et c'est pour ça que c'est long), qu'une définition "à lécole" ça doit opérer, autrement dit, on ne vous demande pas votre accord, on vous demande de DISTINGUER, quand vous la lisez ce qui en est une et ce qui n'en est pas une.

Math Coss · March 2019

Euler, Cauchy, Fourier, Borel et tant d'autres, qui comprenaient parfaitement ce qu'est une fonction, auraient été bien surpris qu'on la décrive comme une partie du produit cartésien de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée. Pour eux, cela ressemblait plus à un programme de calcul qu'à une collection de couples ou de flèches dans un diagramme sagittal.

Lequel de ces messieurs aurait pu dire que « $2=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ » ? C'est une façon efficace de coder le nombre deux dans un système formel en vogue depuis un siècle mais ça ne traduit absolument pas l'idée pour laquelle les nombres ont été introduits et il n'y a aucune raison de penser que cette façon de coder « deux » sera toujours utilisée d'ici un siècle ou deux.

Rescassol · March 2019

Bonjour,

Hé bé !! Heureusement que le pouvoir de nuisance et d'insulte de CC est limité à deux sous forums !!......

Cordialement,

Rescassol

christophe c · March 2019

Je ne suis pas encore dispo pour continuer, mais de la part de vous 2 qui êtes quand-même supposés intelligents, une telle réponse à côté de la plaque est étonnante (même si Rescassol se contente d'une insulte gratuite, ça lui arrive de temps à autre, je ne sais pas pourquoi)

Donc je me répète, je n'ai jamais dit qu'une tautologie est quelque chose de faux. C'est tout de même me faire un procès bien malhonnête (et ne me faites pas croire que c'est une étourderie due à une lecture en diagonale de vos parts).

Je le redis, de manière isolée, sans rien autour, pour les mal-comprenants:

Une tautologie, c'est vrai, mais utilisée à titre de définition c'est vide. Mais j'insiste, c'est bien vrai (je n'ai jamais dit que c'est faux). Encore une fois je n'ai jamais dit que ne pas jouer un match c'est le perdre, j'ai juste rappelé que ne pas jouer un match ce n'est pas le gagner, et autant être clair, j'accuse tout à fait, je ne m'en cache pas les gens qui refusent de le perdre en utilisant l'option de refuser de le jouer d'être des fuyards en rase campagne.

Mais en aucun cas, je ne leur attribue un score de match perdu.

Face à l'enfant c'est grave, car on arrache ainsi des "oui" qui ne sont pas des consentements et qui pourtant ne comptent pas. Il n'y a pas que dans l'indigence éducative qu'on trouve des gens qui refusent de définir les fonctions correctement, même dans le large domaine sciences et périphérie, on trouve régulièrement des huluberlus qui ne disent "rien de faux", à qui on est obligé de rappeler qu'ils ne disent rien tout court et de leur faire un cours sur les notions de reproducbilité et de falsifiabilité pour (espérer que) ils comprennent la vacuité de leur "théorie soit disant scientifique".

Ce n'est pas un monopole des enseignants de tenter de voler des "oui".

Rescassol · March 2019

Bonjour,

> même si Rescassol se contente d'une insulte gratuite, ça lui arrive de temps à autre, je ne sais pas pourquoi

Comme d'habitude, tu déformes.
T'accuser d'insulter n'est pas t'insulter.

Cordialement,

Rescassol

kioups · March 2019

Je ne sais pas si je dois m'en réjouir, mais j'ai l'impression de faire tout le contraire du prof de maths caricaturé par christophe... Du coup, je suis utile à mes élèves ou bien ?

Titi le curieux · March 2019

@kioups : si tu es pragmatique, mais que tu sais généralement répondre aux questions et que tu as la patience de lire ceux qui dérivent un peu. Moi, je dis que ça va (mais je ne risque pas de devenir inspecteur, même prof, ça risque de ne pas être évident ^^).

AitJoseph · March 2019

Mais une fonction est un ensemble ....

christophe c · March 2019

Rescassol a écrit:

Comme d'habitude, tu déformes.
T'accuser d'insulter n'est pas t'insulter.

Bin si, ce sont les 2 seules lignes que tu as postées et elles sont très dégradantes, elles font ref à ma circonscription, elles ne répondent à rien de ce qui a précédé, bref, elles sont une agression avachie. En gros, si tu avais un pistolet dans la vraie vie (et non sur un forum), tu tirerais sur un passant comme ça parce que l'envie t'en prend ou qu'un physique te déplait. Personnellement, c'est comme ça que j'ai ressenti ton intervention, je ne vois même pas de quelle manière, du reste, tu as choisi ton heure, ton jour, ton sujet. J'essaie de deviner mais ce n'est pas évident.

Titi le curieux · March 2019

@AitJoseph : je dirais plutôt que c'est un machin qui te renvoie un bidule quand tu mets un truc dedans. Le coup de l'ensemble, c'est juste le mode le plus exploitable qu'on connaisse à ce jour dans les domaines qui nous intéressent (quand ça nous intéresse).

christophe c · March 2019

Je n'ai toujours pas le temps de développer l'aspect technique, désolé, je suis au taf, mais je rappelle que peu importe que "fonction" veuille dire "ensemble", "pomme"; "poire" ou n'importe quoi d'autre dans mon intention d'ouvrir ce fil, (j'ai ouvert bien d'autres fils pour ça), ce qui comptait pour moi c'était (et je ne l'aurais pas fait sans avoir reçu un MP d'une personne démoralisée par les incroyables âneries dites dans le fil homonyme par QUELQUES intervenants (pas tous), car je n'aurais même peut-être jamais vu le fil en question) de pondre un fil où je vais détailler le plus que je vais pouvoir la notion d'opérabilité, de falsifiabilité résidant dans le devoir des définitions (c'est à dire taper le plus fort possible contre les tendances graves* chez bcp de pedago à remplacer un devoir de définir par une effet de manche consistant à énoncer une tautologie quand ils ne savent pas quoi dire)

* et je ne demande pas du tout qu'ils soient pendus, je ne les considère pas comme commettant "ce petit crime" de manière totalement consciente. J'ai commencé par poster une opinion détaillée sur leur raison d'agir de la sorte, je ne suis pas resté dans l'ambiguité ou dans le sous-entendu, j'ai été cash.

christophe c · March 2019

@kiuops: c'est quoi "le prof décrit par cc"?

kioups · March 2019

5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4

Dom · March 2019

Bon, soyons beau joueur :
Une droite est un espace affine de dimension 1.

On n’a rien à cacher, non ?

Je précise très sérieusement : cela ne me gêne pas qu’on donne des vraies définitions.
Cependant on peut aussi ne pas en donner si c’est jugé imbitable.
Le jugement est subjectif.

Christophe, que proposes-tu pour définir une droite ?

Aussi je te prie de ne pas me qualifier de bonimenteur (je ne sais pas si c’est le cas car je suis intervenu dans la discussion de l’autre fil).

Cidrolin · March 2019

On m'a appris que : 85506

Foys · March 2019

$\newcommand{\Iff}{\leftrightarrow}$
$\newcommand{\e}{\overline \in}$
Bonjour Titi

Titi le curieux a écrit:

et je peux me brosser si je veux produire rigoureusement la deuxième définition sans ces trucs-là.

On se place en logique du premier ordre sur un langage contenant un seul symbole de relation à deux arguments "$\e$".

On introduit les abréviations suivantes: $x,y,f$ étant des lettres
$Eq(x,y)$ abrège: $\forall z\left [(x\e z) \leftrightarrow (y \e z)\right ]$.
$Paire(p,x,y)$ abrège $\forall t\left [t \e p \leftrightarrow \left (Eq (t,x) \vee Eq(t,y) \right )\right ]$
$Couple(c,x,y)$ abrège $\forall t \left [t \e c \leftrightarrow \left (Paire(t,x,x) \vee Paire(t,x,y) \right ) \right ]$.

Et enfin:

$Fonction(f)$ abrège: $\left (\forall d \left [d \e f \to \exists a,b\left ( Couple(d,a,b) \right ) \right ] \right ) \wedge
\forall u ,v,x,y,z \left [\left (Couple(u,x,y) \wedge Couple (v,x,z) \wedge u \e f \wedge v \e f \right) \to Eq(y,z)\right ]$

Cette définition n'a recours à aucun axiome.

***************

Les axiomes jouent un rôle en théorie des ensembles mais pas celui de permettre une définition; il s'agit plutôt de garantir que les objets x qui satisfont "Fonction(x)" sont bien ceux qui ont le comportement de (graphes de) fonction au sens où on l'entend habituellement.

Exemple de tels axiomes:
(AE) L'extensionnalité: $\forall x,y \left [Eq(x,y) \leftrightarrow (\forall z, z \e x \leftrightarrow z \e y)\right ]$.
(AP) L'axiome de la paire: $\forall x, y \exists tPaire(t,x,y)$

Ces axiomes entraînent à eux seuls que "Paire", "Couple" "Eq" (égal) sont bien ce à quoi on pense:
En effet:
-(o) La relation $Eq$ est réflexive, symétrique et transitive (immédiat).

-(i) Si $c,d,x,y$ sont tels que $Paire(c,x,y)$ et $Paire(d,x,y)$, alors $Eq(c,d)$.
En effet par (AE) il suffit d'établir que pour tout $t$, $t \e c \Iff t \e d$. Mais cela revient à
$\left (Eq (t,x) \vee Eq(t,y) \right ) \Iff \left (Eq (t,x) \vee Eq(t,y) \right )$ qui est évident.

-(ii) Si $c',d',x,y$ sont tels que $Couple(c',x,y)$ et $Couple(d',x,y)$ alors $Eq(c',d')$.
En effet par (AE) il suffit d'établir que pour tout $t$, $t \e c' \Iff t \e d'$. Mais cela revient à montrer que pour tout $t$,
$\left (Paire(t,x,x) \vee Paire(t,x,y) \right ) \Iff \left (Paire(t,x,x) \vee Paire(t,x,y) \right )$. Encore une fois c'est évident.

-(iii) Pour tous $m,n,u,v$, si $Eq(m,n)$ et si $Paire(m,u,v)$ alors $Paire(n,u,v)$. En effet: soit $t$ quelconque;
Si $t \e n$ alors, $t \e m$ par (AE) donc $Eq(t,u)\vee Eq(t,v)$ par définition de paire.
Si réciproquement $Eq(t,u)$ ou $Eq(t,v)$ alors $t \e m$ donc par (AE), $t \e n$.
D'où $Paire(v,m,n)$.

-(iv) Pour tous $x,y$, il existe un unique $c$ tel que $Couple(c,x,y)$.
L'unicité a été vue en (ii). Pour l'existence, soient $a,b$ tels que $Paire(a,x,x)$ et $Paire(b,x,y)$ (AP). Soit $k$ tel que $Paire(k,a,b)$. On vérifie que $Couple(k,x,y)$, en effet:

1.
Soit $t\e k$. Alors $(\gamma)$ $Eq(t,a)$ ou $Eq(t,b)$. De plus:
$(\alpha)$ Si $Eq(t,a)$ alors (o) $Eq(a,t)$ et comme $Paire(a,x,x)$, on a (iii) $Paire (t,x,x)$
$(\beta)$ Si $Eq(t,b)$ alors (o) $Eq(b,t)$ et comme $Paire(b,x,y)$, on a (iii) $Paire (t,x,y)$.
$(\alpha),(\beta)$ et $(\gamma)$ entraînent que $Paire(t,x,x)\vee Paire (t,x,y)$.

2.
Soit $t'$ tel que $(\gamma_0)$ $Paire(t',x,x)\vee Paire (t',x,y)$.
$(\alpha_0)$ si $Paire (t',x,x)$, comme $Paire(a,x,x)$, on a (i) $Eq(t',a)$.
$(\beta_0)$ si $Paire (t',x,y)$, comme $Paire(b,x,y)$, on a (i) $Eq(t',b)$.
$(\alpha_0),(\beta_0)$ et $(\gamma_0)$ entraînent que $Eq(t',a) \vee Eq(t',b)$ et donc que $t' \e k$. D'où le résultat voulu.

(vi) (unicité des constituants d'un couple): Pour tous $c,x,y,x',y$ si $Couple(c,x,y)$ et $Couple(c,x',y')$ alors $Eq(x,x')$ et $Eq(y,y')$
Soit (AP) $\theta$ tel que $Paire(\theta,x,y)$. (def1)
Alors $\theta\in c$. Donc $Paire(\theta, x', x')$ ou $Paire (\theta,x',y')$.
La preuve consiste en une distinction pénible mais mécanique de cas.
[small]Supposons d'abord $Paire (\theta,x',x')$ (1).
Alors comme $x,y \in \theta$, on a $Eq(x,x')$ et $Eq(y,x')$(*).
Soit (AP) $\theta'$ tel que $Paire(\theta',x',y')$. Alors $\theta'\e c$ et donc $Paire(\theta',x,x)$ ou $Paire(\theta',x,y)$
Si $Paire(\theta',x,x)$ (1.1) alors comme $y' \e \theta'$, on a $Eq(y',x)$ puis $Eq(y',x')$ et enfin $Eq(y,y')$ par (*), transitivité et symétrie).
Si $Paire(\theta',x,y)$ (1.2) alors, toujours puisque $y'\e \theta'$, on a ou bien $Eq(y',y)$ et donc $Eq(y,y')$ par symétrie, ou bien
$Eq(y',x)$ et (o) et (*) entraînent $Eq(y,y')$.

Supposons $Paire(\theta,x',y')$ (2).
Soit (AP) $\xi$ tel que $Paire(\xi, x, x)$. Alors comme (o) $Eq(x,x)$, on a $x\e \xi$. De plus, $\xi \e c$ par définition de $Couple$. Donc $Paire (\xi, x',x')$ ou $Paire(\xi,x',y')$.
Si $Paire (\xi,x',x')$ (2.1) alors:
comme $x \e \xi$ et donc $Eq(x,x')$ ou $Eq(x,x')$ et donc $Eq(x,x')$. Comme $y \in \theta$, par (2),
$Eq(y,x')$ (et alors $Eq(y,x)$ puis $Eq(y,x')$ par (o); Comme $y'\e \theta$ via (2), on a (def1) $Eq(y',y)$ et donc $Eq(y,y')$, ou bien $Eq(y',x)$ et donc $Eq(y',x')$ puis $Eq(y',y)$ et $Eq(y,y')$) ou bien simplement $Eq(y,y')$.
Si $Paire (\xi,x',y')$ (2.2) alors $Eq(y',x)$ et $Eq(x',x)$;et donc $Eq(x',y')$; par suite, si $t\in \theta$, $t \e x'$ ou $t \e x'$ car $t \e y'$ et on applique (AE): cela entraîne $Paire(\theta,x',x')$ et on est ramené au cas 1 ci-dessus: on a $Eq(y,y')$ et $Eq(x,x')$.[/small]

(vi) Egalité de Leibniz: (Schéma de théorèmes): si $P$ est une formule du premier ordre sur le langage $\left \{\e \right \}$ et si $x,y,t$ sont des lettres, alors (AE) entraîne $Eq(x,y) \to P(t:=x) \to P(t:=y)$ et $Eq(x,y) \to P(t:=y) \to P(t:=x)$.
En effet le résultat est évident pour des formules atomiques (en l'espèce toutes de la forme $a \e t$ ou $t \e a$), cf (AE).
On se cantonne aux formules écrites avec $\e$, $\to$, $\forall$, $\perp$.
On raisonne par induction sur la taille de la preuve (en déduction naturelle pour faire simple) en se basant sur les faits simples suivants:
-C'est encore évident si $P$ n'a pas de variables libre (exemple: $\perp$).
-On a toujours pour tous énoncés $A,A',B,B'$:
$\left [A\to A'; A' \to A; B \to B'; B' \to B\right ] \vdash (A \to

\to (A' \to B')$ (et aussi $(A' \to B') \to (A \to

$ par symétrie). (Immédiat).
-Si $\alpha,\beta$ sont des variables distinctes, si $\beta\neq x$, $\beta \neq y$ et si $\beta$ n'est pas libre dans la liste d'énoncés $\Lambda$ alors si $(AE),\Lambda \vdash P(\beta)(\alpha:=x) \to P(\beta)(\alpha:= y)$ alors
$(AE),\Lambda \vdash \forall \beta, \left [P(\beta)(\alpha:=x) \to P(\beta)(\alpha :=y) \right ]$; donc si de surcroît
$(AE),\Lambda \vdash \forall \beta, P(\beta)(\alpha:=x)$, on aura aussi $(AE),\Lambda \vdash \forall \beta, P(\beta)(\alpha:=y)$.

*******

Pour les autres propriétés des fonctions on introduit d'autres axiomes (schéma de remplacement etc).

Foys · March 2019

Math Coss a écrit:

Euler, Cauchy, Fourier, Borel et tant d'autres, qui comprenaient parfaitement ce qu'est une fonction, auraient été bien surpris qu'on la décrive comme une partie du produit cartésien de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée. Pour eux, cela ressemblait plus à un programme de calcul qu'à une collection de couples ou de flèches dans un diagramme sagittal.

Ce serait bien d'arrêter de mettre tout et n'importe quoi dans la bouche des anciens. Pourquoi pas un script en scratch aussi.
Le concept de calcul n'était de toute façon pas le même à cette époque (ordinateurs?). Le nôtre date au moins des années 30.

christophe c · March 2019

De mon téléphone : @kioups les points que tu signales sont des points que je dénonce et non pas que je "recommandé". donc si "tu n'as pas ces travers" tu n'es pas critique au nom d'eux ici par moi.

kioups · March 2019

Voilà, ben, je sais à peu près lire quand même...

christophe c · March 2019

@dom: une définition étant une abréviation ET RIEN D'AUTRE tu peux répondre toi même . De mon téléphone.

PS: << f est une fonction >> abrège << pour tous x,y,z si (x,y) et (x,z) sont dans f alors y=z>>

Pour n'importe quoi d'autre comme mot idem. À toi de voir ce qui te plaît. Les caricatures idiotes tentant de ridiculiser les MM quand la plupart des témoins encore vivant ducrent les fraises et quand on imagine bien les tensions et les difficultés annexes purement administrativo-carrieristes qui allaient t avec et peuvent à elles seuls entraîner que certains en aie t gardé un mauvais souvenir me paraissent inouïes à une époque où c'est TRES EXACTEMENT LE total opposé qui est pratique 50 ans plus tard et qui a provoqué le crash qu'on sait. Je respecte ces mauvais souvenirs mais de la à en faire des argument ICI ...

Dom · March 2019

Bon, tu ne réponds pas.
Je l’avais parié.

« Tu peux trouver tout seul » est un aveu.

Je suis d’accord sur plein de choses, mais là tu avoueras que pour « droite » c’est un peu différent, quand même.

christophe c · March 2019

Ce qui est rigolo dans l'autre fil est que des tas d'intervenants qui NE SAVAIENT PAS définir le mot fonction jusqu'à très récemment sont piqués à vif et tombent en "crise haineuse" (avec insulte à l'appui par exemple j'y suis traité de censeur+bonimenteur fou).

Or s'ils pouvaient ouvrir les yeux et "sortir d'eux" réaliser que leur incompétence SUR CE POINT n'était pas très grave que de toute façon on s'en fout que trucmuche mort ou la retraite ayant pris tel ou tel pseudo anonyme sur un forum ne savait pas définir le mot fonction et ne parvenait tout juste qu'à l'utiliser pédagogiquement (en classe ou au max jusqu'à caped ou agreg interne)

Personne ne cherche à humilier personne.

Par contre tenter de faire croire que "c'est dur ou subtil" voire pire que "ça n'existe pas" parce que soi même on avait une lacune (autrement dit "se battre politiquement" pour refuser aux autres un accès qu'on n'a pas eu par aigreur) ne me paraît acceptable. Ceux qui font ça se déshonorent. Surtout sur un tel forum DE MATH où de nombreuses fois la définition de ce mot est BANALEMENT rappelé car le sujet est autre et que les étudiants qui taffnt ont besoin de ne pas tourner autour du pot (et ce sont des fils qui existent depuis 10ans où je ne suis JAMAID intervenu!!)

christophe c · March 2019

Dom je suis sur mon téléphone je ne sais même pas de quoi tu parles. Tu veux une abréviation du mot "droite"? C'est ça?

J'utilise souvent << d est une droite>> abrège << il existe a,b, c : (a,b) n'est pas (0,0) et d est l'ensemble des points (x,y) tel que ax+by+c =0>> dans le secondaire par exemple mais tu es ridicule avec ton histoire de pari car je ne t'avais même pas lu. Je rappelle qu'on utilise le plan canonique IR ^2 dans le secondaire à cause de geogebra et que sinon le mot "droite" n'a pas de définition intrinsèque il est comme le mot "ouvert" d'un espace topologique.

zenxbear · March 2019

@christiphe C, je n'ai pas compris. Je devrais parler de la fonction, mais de la correspondance x à y ? Du coup unifier fonction et graphe, et pas apporter une distinction artificielle entre expression d'une fonction et représentation graphique d'une fonction ?

christophe c · March 2019

De mon téléphone d'un. Endroit captant mal: il n'y a rien du tout à unifier une fonction c'est son graphe et ça n'a jamais été autre chose et jamais non plus été traité comme autre chose ni utilisé comme autre chose. D'un PC je soignerai le présent post en latex si tu veux. Il y a "une légère nuance" qui NE CONCERN EN RIEN LE PREsENT DEBAT qui veut jez les catégories par exemple qu'on a ajouté départ et arrivée mais ça ne change rien au sujet discuté.

Par ailleurs pas plus que Paris est un mot de 5 lettres une fonction est un "procédé".

Dom · March 2019

Christophe,

C'est ta réponse "trouve tout seul" qui est ridicule.

Mais passons les enfantillages.

Tu définies les droites comme ça, hum...fais-tu de même en classe de 6e ? (le niveau où on commence à en parler, hormis la primaire)

christophe c · March 2019

Tu ne poses pas tes questions avec assez de précision. Je te réponds généreusement et tu me balances APRES "et en sixième"?

Rédige un post précis que je traiterai d'un PC dans ce cas tu oublies que je réponds de mon téléphone.

kioups · March 2019

Ben oui, Dom, franchement, fais un peu d'efforts !

Dom · March 2019

Christophe,

Quelle la définition de « droite » qui est dans le cours d’un élève de 6e ?

Même question pour « nombre » ?

Là franchement, tu te fiches du monde. En quoi ce n’est pas clair ?

On dirait un blaireau (que tu n’es pas !) qui cherche à gagner du temps.
Je m’attends à une pirouette quand même, je te regarde.

Cordialement cependant, maintenant je te connais (sur le forum).
Bizarre. Sur des sujets précis, j’espère que tu ne vas pas t’embourber car alors sur les autres sujets, comment vas-tu rester crédible ?

Je reconnais être quelque peu incisif, ne m’en veux pas.

christophe c · March 2019

Tu n'es pas incisif tu es pathétique. Comme si je "peinais" à reconnaître mes erreurs ou comme si tu m'avais déjà vu AU MOINS UNE SEULE FOIS en 40000 messages "chercher à gagner du temps". Bon comme tu as fait l'idiot à 3 reprises (et j'ignore pourquoi tu te places dans cette posture supérieure auto-decidee) tu n'auras rien.

Apprends à t'exprimer d'une manière normale on n'est pas en train de jouer à qui a la plus grosse j'ai ouvert ce fil dans un but précis je n'ai jamais caché ou sous entendu l'existence de notions premières et n'ai pas tant de temps que ça à perdre.

Dom · March 2019

Tu es maladroit et insultant mais je ne t'en tiens pas rigueur.

Chacun appréciera.

Sans rancune !

Ludwig · March 2019

Je suis sur ma tablette et j'aurais bien voulu poster un message avec deux ou trois mots en MAJUSCULES, mais là je n'ai pas le temps.

christophe c · March 2019

"chacun appréciera" ** (signé dom). Je m'adressais à toi et personne d'autre et j'espère ne pas avoir été insultant en tout cas ce n'était pas du tout mon intention.

Tu n'es pas le seul je trouve que trop d'intervenants font douter de leur spontanéité en donnant effectivement l'impression qu'ils sont "aux jeux du cirque" au temps des Romains et s'adressent plus aux tribunes qu'à leur vis à vis.

Foys · March 2019

Pourquoi vous ressortez l'épouvantail de la droite-affine-au-collège-des-méchants-épigones-de-Bourbaki-des-années-70? Ca n'a rien à voir avec les fonctions (qui sont l'objet de ce fil)!!

Rescassol · March 2019

Bonsoir,

Dom a écrit:

Tu es maladroit et insultant mais je ne t'en tiens pas rigueur.

CC a écrit:

j'espère ne pas avoir été insultant en tout cas ce n'était pas du tout mon intention.

Bravo ! Il n'est pire sourd .......... Bon, c'est comme d'habitude.

CC a écrit:

Bon comme tu as fait l'idiot à 3 reprises (et j'ignore pourquoi tu te places dans cette posture supérieure auto-decidee) tu n'auras rien.

Le grand Maître Gourou distribue les bons et les mauvais points ! Quelle attitude méprisable !

Cordialement,

Rescassol

Titi le curieux · March 2019

@Foys: Bonsoir,
Je ne sais pas trop si ça valait le coup de mettre des bouts de démonstrations après les tirets (à la limite c'est vrai que j'avais mis l'extensionnalité sous le tapis, mais à la limite un rappel à l'ordre du type: c'est la conjonction de l'axiome en question et de l'axiome d'extensionnalité qui définie la fonction aurait suffit). J'avoue cependant la dernière (égalité de Leibniz) m'a un peu scotché, parce que les trucs du genre élimination de l'égalité, dans le système que j'ai appris, c'est dérivable des règles logiques générales (j'ai appris à nommer celle qui importe le plus dans cette expression "élimination de l'égalité", le reste se fait principalement avec l'introduction de l'implication et celle de la conjonction), et je ne vois pas ce qui change entre son expression dans le langage de ZF ou un autre, sauf pour cette histoire d'induction, qui m'avais échappée parce que je ne savais pas que les règles de logiques ne s'appliquaient qu'aux formules atomiques.

Sur le fond du sujet, le coup de désigner la paire (et par itération le couple), puis dire que l'axiome n'est là que pour le justifier a posteriori, ça m'étonne un peu, c'est purement sémantique, mais ça fait plus du genre "les axiomes sont là pour sélectionner le champs des possibles", alors que je les vois plutôt comme définissant les seuls outils utilisables dans la construction du machin. En outre le fait d'associer ces fonctions avec leurs graphes (notions qui vient après) me dérange un peu (j'ajoute ça dans la rubrique: "les trucs qui font que je n'aime pas tant que ça la logique"), surtout qu'on ne pourra pas se permettre de désigner ces fonctions sur tout le langage mais à chaque fois seulement sur la partie qui nous intéresse (ce n'est pas grave, mais je trouve ça un poil gênant). Enfin on désigne clairement une notion de fonction préexistante dans la notion de langage, à quoi sert-elle? (maintenant que je ne peux plus citer la paire, l'union les parties, ou même des machins plus évolués comme le couple ou l'intersection, je ne suis pas capable d'en désigner une seule dans un quelconque langage).

christophe c · March 2019

Rescassol? Redescends sur Terre. En dehors de constater ta "détestation" (bien connue ici) de ma personne il ne m'est même pas possible de dater ou trouver ce qui déclenche ces petits accès de haine.

Ou alors fais un effort et ponds quelque chose sans implicite.

Rescassol · March 2019

Bonjour,

> Rescassol? Redescends sur Terre.

J'y suis, et toi, tu es sûr d'y être ?

> En dehors de constater ta "détestation" (bien connue ici) de ma personne

Je n'ai rien contre ta personne, je ne te connais pas.
Je me contente d'observer le personnage que tu montres ici.

> il ne m'est même pas possible de dater ou trouver ce qui déclenche ces petits accès de haine.

Je n'ai pas de haine envers toi, je critique ton comportement ici.

> Ou alors fais un effort et ponds quelque chose sans implicite.

Je n'ai pas vocation à faire une étude exhaustive de tes innombrables pavé assez imbitables.
J'observe seulement comment tu traites autrui.
Tu ne réponds jamais sur le fond, tu dissertes à longueur de pavé, et si quelqu'un n'est pas d'accord, tu l'accuses de troller, pas de vraie réponse.
Dans mon message précédent, je cite et tu fais semblant de ne pas t'en rendre compte.

Je peux venir sur le forum n'importe quand, tu offres toujours le même spectacle permanent depuis des années.

Cordialement,

Rescassol

christophe c · March 2019

Hélas encore de mon téléphone je réponds à JLT qui lui au moins est sérieux.

1/ Bon oui je reconnais que foys exacerbe PAR LA FORME LONGUE ET TECHNIQUE les agressivités de ses vis à vis dans l'autre fil, MAIS:

2/ La notion de fonction et je pèse mes mots N'A JAMAIS POSÉ de problème à quelque élève que ce doit qui vienne de l'élève.

3/ On a (je l'ai décrite un peu plus haut) une névrose NATURELLE de l'enseignant qui VEUT que ce qui lui pose problème à lui même pose problème AUX ELEVES. C'est un transfert.

4/ On a une lacune des enseignants (probablement plus forte aujourd'hui qu'il y a 30ans ) que je m'explique pas mais qui doit être dû à un simple bug idiot et contingent qui est que EUX ne sa ent pas donner la définition de fonction.

5/ Mais ça n'a STRICTEMENT aucun sens ni légitimité de voir les fonctions comme un problème pour les élèves. Crois moi ce dont LES MATHS et non pas LES FONCTIONS les problèmes des élèves.

6/ Je suis en désaccord total avec ce que tu dis dans ton post (le dernier avant 10h today) car tu entretiens ou enterrines l'idée d'un problème et pour le coup en crée un avec une non définition (qui fait ensuite se planter math Coss pourtant professionnel des maths quand il te répond).

7/ Je le redis et le répète car l'ai beaucoup dit dans ce fil une définition doit être opérante et formelle ET RIEN D'AUTRE. Une définition N'est PAS l'Alpha et l'oméga qui rend inspiré. Elle doit juste permettre de distinguer sans appel possible ce qui est bleu et ce qui n'est pas bleu (une fois défini le mot bleu) qu'à d l'auteur ET LUI SEUL à correctement pris la responsabilité de poser clairement une question.

8/ Ça s'applique aux fonctions comme à tout le reste des maths. La définition doit permettre pour tout w à l'interroge de dire si w est où n'est pas une fonction. Et en cas de difficulté de localiser l'atome qui l'empêche de répondre.

9/ Bref tout ceci et tout l'autre fil est totalement délirant, en ce que pour juste se cacher qu'eux mêmes ne savent pas où ne l'ont appris que récemment des professionnels avec une carence ont inventé toute une théorie bidon (qui n'a rien à voir avec pour ou contre le journalisme ou les oubliées MM depuis 50 ans, on n'est pas là pour servir les besoins psychanalytique de gerard0)

10/ J'ai rappelé en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1791040,1791300#msg-1791300 de quelle expression << f est une fonction>> est une abréviation et ton post n'est rien d'autre qu'une sorte "de preuve" que les fonctions du secondaire ... en sont bien. Il ne faut pas tout confondre.

11/ Et je reconnais qu'il y a peut être un peu de volonté provocatrice espiègle dans le soin que le médaillé Field foys apporte aux formalismes de ses posts mais vu les insultes assez inouïes que Gérard lui adresse, c'est assez humain. Gérard est vraiment devenu pathétique (ils sermonnent des étudiants continuellement quand ils ouvrent des fils avec des "apprends ton cours" en vexé plein et de plus dans de nombreux fil ne sait même pas faire les exos posté quand même et se retrouve obligé de s'excuser. Je ne vais pas l'enfoncer ou tirer sur l'ambulance chacun ses moments de crise mais il devrait se "détendre" ou quelque chose comme ça personne n'échappe à l'âge et tout le monde est très content d'avoir reçu de sa part des informations sur la spécialité statistique. Mais il devient un peu trop agressif (il a toujours été dogmatique mais bon..)

christophe c · March 2019

@Rescassol: tu prétends m'avoir cité mais il n'y a aucun lien entre tes paroles insultantes ou agressives et les citations. Et non je dis à quelqu'un qu'il trolle quand JE PENSE SU'IL TROLLE. Et mes argumentations ne te convainquent peut être pas mais tu es en contradiction avec toi même tu dis qu'elles sont longues mais qu'elles sont courtes et ne contiennent que des accusations que mes contradicteurs trollent. J'ai du temps à perdre zlors selon toi.

christophe c · March 2019

Bon, jene dispose hélas pas d'une liberté de temps énorme, mais je suis sur un pc.

1/ J'ai donné en début de post un avis sociologique sur l'horreur du refoulement d'ignorance ou de carence chez "le prof lambda". Mais cette critique doit être comprise positivement: ils ne sont pas moralement fautifs car on leur demande toute la journée de ne jamais défaillir et par un bas-du-frontisme naturel dans ce corps de métier, ils peuvent confondre (sans être fautifs) ça avec "ne jamais avouer "je ne sais pas" à leur classe". C'est une des raisons (chez moi tout est cohérent et relié) pour laquelle je préconise, dans le tout autre cadre, celui de la discipline comportementale, des outils de facturations neutres car si les profs sont conditionnés à ne jamais dire "je ne sais pas", c'est parce qu'on leur justifie ça (leurs chefs, leurs ipr, dont on sait où ils ont mené le système scolaire) par "sinon vous allez perdre de l'autorité".

2/ Il faut comprendre que (mais ce n'est qu'un exemple, mais il a l'avantage que ça se voit bien sur lui) que c'est ça l'origine du fait que les profs cachent à leurs élèves leur lacune de ne pas connaitre la définition du mot fonction. Et on voit dans l'autre fil, les idioties mais surtout les SENTIMENTS de désespoir-agressivité que ça génère chez certains. (2 citations de Gérard à mettre à l'edit)

3/ J'en viens maintenant àl'aspect technique:

3.1/ En un certain sens, rien n'est faclie en maths. Se cacher derrière la difficulté supposée de tel concept est purement et simplement un mensonge. Aucun enseignant de ce forum ne prouvera correctement que la somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, à cause de présence de variables liées qui les envoient tous dans le décor puisqu'ils ont presque tous non pas étudié les maths en profondeur, mais juste pass des concours de culture un peu amélioré (il fallait faire des exercices).

3.2/ Je pense que je pourrais compter quasiment par milliers le nombre de fois (dans mon expérience) où j'ai vu des pseudo-pédagogo inventer que les élèves ont du mal à distinguer A=>B et B=>A. Et je ne parle même pas des non solutions qu'ils proposent qui aggravent assez irréversiblement les choses (quand on décrète qu'il y a un problème, il arrive souvent qu'on le fasse sortir de Terre et que ça en devienne un).

3.3/ La notion de fonction n'échappe pas à cette règle, mais avant de continuer (en (4)), je veux rappeler dans ce (3) quelques préliminaires indispensables. Je ne posterai peut-être pas tout d'un coup

3.4/ En maths comme ailleurs on utilise des mots séparés par des espaces pour écrire. Des règles régissent ça qui s'appellent au choix la syntaxe ou la grammaire.

3.5/ La plus rgave (et plus générale) des turpitudes enseignantes dans le secondaire consiste à ne pas distinguer correctement (ni même parfois en avoir conscience) le mot de ce qu'il désigne. Autrement dit, de ne pas distinguer la ville de Paris elle-même et le mot de 5 lettres Paris. Les exemples de ça sont nombreux, on en trouve à chaque coin de rue:

3.5.1/ Confusion entre une équation et une phrase, qui sont notées pareilles (l'équation $[3x+1=7x; inconnue\ x]$ (c'est à dire l'ensemble $\{x\mid 3x+1=7x\}$, les équations n'existent qu'en pédagogie, il n'y a pas d'éuqations en maths) est confondu PAR LES PROFS (alors les élèves victimes de cette faute je ne vous dis pas) avec la phrase $[3x+1=7x]$)

3.5.2/ $<<3+5$ n'est pas un produit, c'est une somme$>>$ (je rappelle que je n'ai pas la mémoire courte et que certains experts défendent cette faute, mais, une fois de plus, c'est dans un cadre tout à fait différent où on parle de recherche fine, pas de chiards de 14ans)

3.5.3/ une fonction est un procédé de calcul

3.5.4/ Des parenthèses peuvent disparaitre

4/ La notion de fonction:

4.1/ Il l'objet mathématique "fonction" qui est un des plus simples et banal pour les élèves (ils connaissent $+$ depuis le CP) et

4.2/ il y a la syntaxe attachée à la façon dont on utilise le nom d'une fonction dans une phrase.

4.3/ AVANT TOUT CES DEUX CHOSES SONT DIFFRENTES et RADICALEMENT DIFFERENTES!!!!

4.4/ Elles sont tout autant différentes que les deux occurences du mot Dieu (jeles numérote) dans la devinette sans contenu célèbre $<<Dieu_1$ n'a pas de défaut, or ne pas exister est un défaut donc $Dieu_2$ existe$>>$ (cit1)

4.5/ Il ne faut pas être méprisant, on a pu voir sur ce forum DE MATHS à quel point certaines personnes sont attachées à leurs erreurs. Cet attachement résulte du fait qu'elle les ont tellement souvent et tellement longtemps commises que leur arracher les illusions qu'elles ont construites en leur intérieur affectif équivaut à une véritable "amputation de bonheur intellectuel" (Voir les réactions ultra agressives de Gérard, mais aussi dans le passé d'intervenant totalement désespérés de devoir renoncer à la musique que leur avait procuré cit1.

4.6/ A SUIVRE, j'ai un peu mal à la main: résumé de la suite:

4.6.1/ $<<f$ est une fonction$>>$ est une abréviation totalement triviale et sans mystère de $<<\forall x,y,z:$ si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y=z>>$

Bon, par volonté d'aller vite, j'ai utilisé des sigles savants premiers, mais j'ai déjà donné plus haut l'abréviation pour enfants.

4.6.2/ A la différence de bien des concepts mathématiques, cette abréviation ne pose strictement aucun problème.

4.6.3/ Par contre, ci-dessus, il s'agit de banale sémantique. Sur la plan grammatical, la notion de fonction (ensembles compris, qui sont des fonctions à valeurs dans $\{vrai; faux\}$) produit un intérêt, une "difficulté (pour tous, pas pour les élèves) et une richesse qui mérite un post très complet. Je vais le taper. MAIS ATTENTION, il s'agira de grammaire, et ça n'aura rien à voir avec les fonctions (métaphore: je vais taper 50 lignes techniques sur les mot de 5 lettres paris, et ça n'a rien à voir avec la ville d'où je suis en train de taper ce post)

4.6.4/ Cet aspect grammatical doit être regardé en face. Ca ne sert strictement à rien de déblatérer des idioties confuses, vagues et glauques, interminables, comme c'est fait dans l'autre fil par des profs victimes de confondre signifiant et signifié, où on puise 55.7% de propos pour construire un post forumique dans la syntase et 44.3% de propos dans la sémantique!!!

4.6.4Digression / Ca me mènerait trop loin, mais la recherche récente a démontré que le type du nom d'un objet de type A est de type non(A). Il suit qu'on réalise la plus grosse faute qui soit (selon ce théorème, ce n'est pas une opinion) en confondant ou mélangeant nom d'un trucet truc lui-même. Je ne REdétaillerai ce point que s'li y a une forte demande car l'exposer est chronophage. Pour la fin de l'aspect technique du la grammaire règlementant les usages du mot "fonction", A SUIVRE.

christophe c · March 2019

Faisant d'une pierre deux coups, j'ai renseigné les abréviations (qui ne posent aucun problème ni au lycée ni au collège, ni même à l'école primaire en tant que telles (au langage près évidemment): http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1788740,1792170#msg-1792170

Je rappelle que la convention qui statue une abréviation n'est pas l'alpha et l'omega de l'aventure que mèneront ensuite les gens autour de la notion ainsi désignée par un mot.

On peut ajouter les abréviations "gamines" suivantes:

$[b$ est une image de $a$ par $c] := [(a,b)\in c]$

$[b$ est une antécédent de $a$ par $c] := [(b,a)\in c]$

On peut faire remarquer que $[c$ est une fonction $\iff$ tout élément a au plus une image par $c]$ ou même le prendre comme définition (ce n'est que de la redite).

A noter que le naturalisme doit toujours être la priorité: vous dites un truc entre adulte sans vous poser de questions, et bien il faut dire la même chose aux enfants. L'enfant n'est pas un abruti à qui on doit réserver des horreurs vides. "Avoir une seule image" est couramment utilisé entre adultes du secondaire, et leur tendance à la supprimer une fois devant une classe est une (parmi moult) des névroses déviantes (maladies professionnelles) du métier.

Tout se résume en : à l'école primaire, ce n'est ni un e option ni une question d'opinion, c'est un devoir éthique d'annoncer la commutativité par:

$$ \forall a,b: a\times b = b\times a$$

et non pas par

$$a\times b = b\times a$$

Contrairement aux propos des apprentis sorciers qui tentent de faire écho aux pulsions d'envie d'être compris. Il est NORMAL et sain que l'enfant demande alors pourquoi on a mis des signes bizarres à gauche.

On croise actuellement plus de 95% des lycéens (et collégiens) dont la première mutilation a été cette privation et qui la gardent comme un handicap toute la vie. Encore si c'était un accident. Mais on croise aussi énormément de malfaisant qui tentent de faire passer ça pour un choix réfléchi et non une bêtise (et qui s'auto-revendiquent compétents en psychologie de l'enfant).

Définition fonction

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