Groupes n commutatifs
De mon téléphone je peaufinerai d'un PC.
J'appelle groupe "n commutatif" un groupe qui est quotient d'un produit (éventuellement infini) de groupes tous générés par n éléments.
Par exemple les groupes 1 commutatifs sont les groupes commutatif.
Existe -t -il des énoncés purement universels qui les distinguent ou mieux encore les caractérisent?
(Purement universel veut dire des forall suivis d'une affirmation sans quantificateurs)
Merci d'avance.
J'appelle groupe "n commutatif" un groupe qui est quotient d'un produit (éventuellement infini) de groupes tous générés par n éléments.
Par exemple les groupes 1 commutatifs sont les groupes commutatif.
Existe -t -il des énoncés purement universels qui les distinguent ou mieux encore les caractérisent?
(Purement universel veut dire des forall suivis d'une affirmation sans quantificateurs)
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Réponses
(Inversement si tu arrives à me prouver que les groupes n-commutatifs sont stables par sous-groupes, alors la réponse est oui et c'est une conséquence du théorème HSP de Birkhoff, tu as même mieux, c'est caractérisé par des équations universellement quantifiées - mais j'y crois peu, car cela impliquerait que "n-commutatif" collapse au-dessus de $n=2$)
PS : comment prouves-tu que tout groupe commutatif est 1-commutatif ? Cela me parait peu clair ... c'est équivalent à dire que toute somme directe de $\Z$ est 1-commutative, et ça me paraît pas clair - peut-être est-ce juste un classique que je n'ai jamais vu ?
Mais dans ce cas-là si tu rajoutes sous-groupe tout collapse à partir de $n=2$, et c'est effectivement descriptible par des équations quantifiées universellement. En fait si tu rajoutes sous-groupe tout collapse si vite que c'est la classe de tous les groupes dès $n=2$ :-D (preuve : stable par produit, sous-algèbre, quotient, donc une variété. Mais elle contient tous les groupes libres finiment engendrés, donc une équation qui y est vérifiée est vérifiée par tous les groupes. Or on est décrit par des équations.)
Je ne vois pas trop comment faire évoluer ce désir de donner un sens à une notion respectable de $n$-commutativité
Mais du coup j'essaie de répondre aux questions : pour tout $I$, existe-t-il $J$ et une surjection $\Z^J\to \Z^{(I)}$ ? Et existe-t-il $I$ et une surjection $F_2^I\to F_3$ ($F_n$ le groupe libre à $n$ générateurs) ?
Si la réponse à la question 1 est oui, et celle à la question 2 est non, ta notion est intéressante puisqu'elle généralise bien la commutativité, et ne collapse pas dès le deuxième étage. Seulement je soupçonne que la réponse aux deux est non (j'y réfléchis), auquel cas ta notion ne collapse pas dès $n=2$, mais ne généralise pas la commutativité.
Donc ma conjecture a changé : je pense maintenant que la réponse à 1 est "non" et à 2 "oui", mais je ne suis pas beaucoup plus avancé sur mes preuves...
Tout le reste m'a l'air accessible, mais je prendrai le temps. Un immense merci (mais vu les réponse à ce que tu appelles 1 et 2 de toute façon ça se confirme, ma question était relativement vide).
Par contre attention, je n'ai jamais été fan des groupes, c'était une sorte de "tentative rapide" pour tester une direction. Je suis plutôt fan de trouver une continuum entre le totalement commutatif (le commutatif au sens classique) et le totalement non commutatif). La présente voie se ferme je dirais (tu m'as convaincu dès tes premières réponses), donc pour être franc, j'en chercherai probablement plus d'autres en termes de temps que j'y consacrerai plutôt que de comprendre si la présente porte est fermée avec un cadenas de chez Fichet Bosh ou avec un antivol de vélo.
Il y a apparemment un théorème de structure (d'Alperin) sur ces groupes : tout groupe $n$-abélien ($n\neq 0,1$) est un sous-quotient d'un produit direct d'un groupe d'exposant divisant $n$, d'un groupe d'exposant divisant $n-1$ et d'un groupe abélien; et réciproquement tout ces sous-quotients sont $n$-abéliens.