Groupes n commutatifs

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
De mon téléphone je peaufinerai d'un PC.

J'appelle groupe "n commutatif" un groupe qui est quotient d'un produit (éventuellement infini) de groupes tous générés par n éléments.

Par exemple les groupes 1 commutatifs sont les groupes commutatif.

Existe -t -il des énoncés purement universels qui les distinguent ou mieux encore les caractérisent?

(Purement universel veut dire des forall suivis d'une affirmation sans quantificateurs)

Merci d'avance.
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Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Un énoncé universel est stable par passage à une sous-structure, donc ça suggère que non : je ne suis pas sûr mais j'imagine que le groupe libre sur 3 générateurs n'est pas 2-commutatif, pourtant c'est un sous-groupe du groupe libre sur 2 générateurs qui est évidemment 2-commutatif
    (Inversement si tu arrives à me prouver que les groupes n-commutatifs sont stables par sous-groupes, alors la réponse est oui et c'est une conséquence du théorème HSP de Birkhoff, tu as même mieux, c'est caractérisé par des équations universellement quantifiées - mais j'y crois peu, car cela impliquerait que "n-commutatif" collapse au-dessus de $n=2$)

    PS : comment prouves-tu que tout groupe commutatif est 1-commutatif ? Cela me parait peu clair ... c'est équivalent à dire que toute somme directe de $\Z$ est 1-commutative, et ça me paraît pas clair - peut-être est-ce juste un classique que je n'ai jamais vu ?
  • christophe c
    christophe c
    Grand merci. J'aurai besoin d'y réfléchir plus rigoureusement pour digérer tes infos. J'ai peut-être été un peu vite en disant "quotient", car dans ces cas-là, je considère souvent instinctivement plutôt (et par flemme je ne le dis que si ça me parait différent) quotient de sous-groupe de quotient de sous-groupe, etc itéré
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pas besoin d'itérer :-D c'est un théorème de base d'algèbre universelle, tu n'as jamais besoin d'itérer : toute succession (finie au moins, je dois y réfléchir sinon) de produits, quotients, sous-algèbres, dans quelque ordre que ce soit revient à faire une fois : un produit, puis une sous-algèbre, puis un quotient.
    Mais dans ce cas-là si tu rajoutes sous-groupe tout collapse à partir de $n=2$, et c'est effectivement descriptible par des équations quantifiées universellement. En fait si tu rajoutes sous-groupe tout collapse si vite que c'est la classe de tous les groupes dès $n=2$ :-D (preuve : stable par produit, sous-algèbre, quotient, donc une variété. Mais elle contient tous les groupes libres finiment engendrés, donc une équation qui y est vérifiée est vérifiée par tous les groupes. Or on est décrit par des équations.)
  • christophe c
    christophe c
    Grand merci maxtimax. J'avais effectivement réalisé juste après avoir appuyé sur envoyer (et même un peu avant d'où le non envoi dans il est facile de) qu'il risquait y avoir un problème de cet ordre en me rappelant les aides qu'on m'avait fournies sur les groupes libres (entre autre qu'il y avait des groupe libres, non finiment engendrés qui sont sous-groupes du groupe libre à deux générateurs). Au moins tu confirmes.

    Je ne vois pas trop comment faire évoluer ce désir de donner un sens à une notion respectable de $n$-commutativité
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu n'as même pas besoin de groupe libre non finiment engendrés ici, tu n'as besoin que des finiment engendrés.

    Mais du coup j'essaie de répondre aux questions : pour tout $I$, existe-t-il $J$ et une surjection $\Z^J\to \Z^{(I)}$ ? Et existe-t-il $I$ et une surjection $F_2^I\to F_3$ ($F_n$ le groupe libre à $n$ générateurs) ?

    Si la réponse à la question 1 est oui, et celle à la question 2 est non, ta notion est intéressante puisqu'elle généralise bien la commutativité, et ne collapse pas dès le deuxième étage. Seulement je soupçonne que la réponse aux deux est non (j'y réfléchis), auquel cas ta notion ne collapse pas dès $n=2$, mais ne généralise pas la commutativité.
  • christophe c
    christophe c
    Bon courage et merci d'y réfléchir à ma place du coup!! J'imagine que tu voulais parler de surjections morphiques car "surjection tout court :-D ... )
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    :-D oui naturellement, je parle de morphismes ici
  • Maxtimax
    Maxtimax
    J'ai pas beaucoup avancé mais j'ai trouvé en ligne le résultat suivant : deux groupes libres finiment engendrés ont la même théorie du premier ordre (voir ici par exemple). En particulier si, comme je le soupçonne, la classe des quotients de produits de $F_2$ est décrite par une certaine sous-théorie de $F_2$ (typiquement les formules de la forme $\forall \exists ... \forall \exists p \approx q$, elles sont préservées par produit et quotient si le raisonnement que j'ai fait à vélo marche; et j'ai l'impression que si un groupe satisfait les mêmes alors il est dans la classe engendrée, mais je ne sais pas encore le prouver), alors elle contient $F_3$ (car la sous-théorie en question de $F_3$ coïncide) et donc ça voudrait dire qu'il y a bien une surjection $F_2^I \to F_3$.
    Donc ma conjecture a changé : je pense maintenant que la réponse à 1 est "non" et à 2 "oui", mais je ne suis pas beaucoup plus avancé sur mes preuves...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe : si je ne me suis pas trompé dans le fil d'algèbre intitulé "Un théorème de Baer", je peux conclure pour la question 1 : si $\Z^I\to \Z^{(\N)}$ est un morphisme surjectif, alors en passant aux $\hom(-,\Z)$ on a un morphisme injectif $\Z^\N\to \hom(\Z^I, \Z)$, mais là $\hom(\Z^I,\Z) \simeq \Z^{(I)}$ (c'est le contenu du fil en question), et ça on voit facilement que c'est impossible (en premier lieu parce que $\Z^\N$ n'est pas libre, alors que tout sous groupe de $\Z^{(I)}$ l'est )
  • christophe c
    christophe c
    Je lirai à tête reposée tous tes derniers posts (à l'exception du dernier que je sais ne pas parvenir à comprendre, j'ai remarqué que ces notations me sont insurmontables, je sais donc d'avance que ça m'échappera.

    Tout le reste m'a l'air accessible, mais je prendrai le temps. Un immense merci (mais vu les réponse à ce que tu appelles 1 et 2 de toute façon ça se confirme, ma question était relativement vide).

    Par contre attention, je n'ai jamais été fan des groupes, c'était une sorte de "tentative rapide" pour tester une direction. Je suis plutôt fan de trouver une continuum entre le totalement commutatif (le commutatif au sens classique) et le totalement non commutatif). La présente voie se ferme je dirais (tu m'as convaincu dès tes premières réponses), donc pour être franc, j'en chercherai probablement plus d'autres en termes de temps que j'y consacrerai plutôt que de comprendre si la présente porte est fermée avec un cadenas de chez Fichet Bosh ou avec un antivol de vélo.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Je viens de tomber par hasard sur une définition de $n$-commutatif, je ne sais pas si elle te plaira ou ira dans la direction qui t'intéresse, mais je te la donne à tout hasard : $G$ est $n$-abélien si $x\mapsto x^n$ est un morphisme de groupes $G\to G$. Tout groupe est alors $1$-abélien, un groupe est $2$-abélien si et seulement s'il est abélien ($(xy)^2 = x^2y^2 \implies yx = xy$, réciproque évidente), et tout groupe abélien est $n$-abélien pour tout $n$.

    Il y a apparemment un théorème de structure (d'Alperin) sur ces groupes : tout groupe $n$-abélien ($n\neq 0,1$) est un sous-quotient d'un produit direct d'un groupe d'exposant divisant $n$, d'un groupe d'exposant divisant $n-1$ et d'un groupe abélien; et réciproquement tout ces sous-quotients sont $n$-abéliens.
  • christophe c
    christophe c
    Merci max, c'est effectivement assez inspiré comme idée. La définition s'appliquant aux anneaux, ça nous donne aussi un sens pour "anneau n-abélien"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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