Variables et indéterminées
Bonsoir,
quelqu'un pourrait-il me dire comment un logicien comprend ce qu'est une variable, ou l'indéterminée des polynômes à une variable, et comment comprendre l'une par rapport à l'autre ?
Merci.
ignatus.
quelqu'un pourrait-il me dire comment un logicien comprend ce qu'est une variable, ou l'indéterminée des polynômes à une variable, et comment comprendre l'une par rapport à l'autre ?
Merci.
ignatus.
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Réponses
C'est alors un théorème que si $P=(a_0,...,a_d, 0,0,....)$ alors $P= \displaystyle\sum_{k=0}^da_k X^k$.
Rien à voir donc avec une variable. Le mot "variable", lui, a au moins (et je crois que ce sont à peu près les seuls) deux sens; l'un informel et l'autre formel (les deux sont liés et l'informel rendu formel devient le formel).
Je m'explique. Souvent on a par exemple une fonction $f:\R^2\to \R$ et on a tendance à la représenter par $f(x,y)=$ une formule ou une définition, peu importe. Dans ce contexte, on pourra parler de "dépendance en la variable $x$ (resp. $y$)", de fonction "à deux variables" (ou une variable, ou $n$ variables), de plein d'expressions utilisant le mot "variable". Ici, c'est à comprendre en un sens informel, la variable est "l'objet qui varie", et on considère que $\R$ (ou un autre ensemble qui nous intéresse) est "fondamental" (dans le contexte), et donc si on part de $\R^2$ c'est qu'on a $2$ "variables". Ce n'est pas formel, et c'est la pratique mathématique qui nous dit ce qu'il faut comprendre quand on dit "la fonction ne dépend pas de la variable $y$".
Par exemple si on a un polynôme à $n$ indéterminées, la fonction polynomiale associée aura "$n$ variables" en ce sens informel - ce qui fait qu'on appelle parfois indéterminée variable est qu'on a des symboles qui se ressemblent ($X$ et $x$) et que souvent on identifie polynôme et fonction polynomiale, et donc $X$ est identifié à $x\mapsto x$, qu'on a tendance à noter abusivement $x$, qu'on appelle "la variable"; ce qui explique sûrement ta confusion.
Maintenant, en logique formelle, syntaxiquement on a des objets qu'on appelle "variables", qu'on représente souvent avec les mêmes symboles que les variables informelles d'avant, i.e. $x,y,x_0,...,x_n$ etc. Une variable, dans ce contexte, n'est rien d'autre qu'un symbole, et les différentes règles qui permettent de former des termes et des formules ont des parties spécifiques pour les variables. Elles "représentent" (retour dans le monde informel) des éléments du monde qui nous intéresse, et elles peuvent a priori y prendre n'importe quelle valeur, d'où le nom "variable".
ou alors il y a des différences ?
Quand je parlais de relation entre indéterminée et variable, je le voyais comme attribution d'une valeur sémantique, la variable, à un objet syntaxique, l'indéterminée. Dans quelle mesure peut-on considérer une indéterminée comme un symbole syntaxique qui s'instancie en des variables qui parcourent un certain domaine de valeurs ?
ignatus/
ignatus : On peut tout à fait considérer une indéterminée comme un symbole syntaxique (et dans ce cas là elle devient une variable au sens formel que j'ai décrit en dernier) de la manière suivante : tu fixes ton anneau $A$ une fois pour toutes, et tu considères le langage des $A$-algèbres, c'est-à-dire un langage qui a un symbole fonctionnel d'arité $1$ $c_a$ pour chaque $a\in A$, des symboles fonctionnels $0,1,+,\times$ d'arités respectives $0,0,2,2$. Si tu rajoutes les axiomes qu'il faut, un modèle de cette chose là est précisément une $A$-algèbre. Maintenant la chose amusante est que $A[X]$ est la $A$-algèbre libre sur un élément, donc dès lors que tu peux prouver $\varphi (x)$ dans la théorie que je viens de décrire, où $\varphi (x)$ est une formule à une variable libre, alors $\varphi (X)$ est naturellement vérifiée dans $A[X]$, mais mieux, si $\varphi (X)$ est vérifiée dans $A[X]$ et si $\varphi$ est une formule très simple (disons une équation quantifiée universellement) alors tu peux prouver $\varphi (x)$ !
En ce sens, l'indéterminée $X$ se manipule dans $A[X]$ comme la variable $x$ se manipule syntaxiquement dans la théorie que j'ai décrite.
Par exemple en C (c'est le seul langage que je connaisse), quand tu écris
int x=2;
le système d'exploitation réserve, quelque part dans la RAM, 4 octets (donc 32 bits) à la variable x, qui pour l'instant a la valeur 2.
Cela explique pourquoi les int ne peuvent prendre que des valeurs (entières) entre $-2^{31}$ et $2^{31}$, car le 1er bit est réservé au signe (+ ou -).
Si tu fais une boucle dans ton programme, par exemple
x=x+1;
à chaque fois qu'il lira cette instruction l'exécutable ira chercher la variable x dans la case mémoire qui lui est réservée, puis il remplacera 2 par 3, 3 par 4 etc.
Cela n'a effectivement pas grand-chose à voir avec la notion de variable dans le calcul des prédicats du 1er ordre.
Les noms propres sont aussi appelés "variables libres" et le mot "variable" est un faux ami car ce sont en fait des "constantes".
Les variables liées, en principe DEVRAIENT toujours être écrite avec un LIEU qui les annoncent mais par abus de langage certains les oublient et, mais ce n'est que mon avis, je crois constater que c'est une CAUSE ENORME dans les difficultés des élèves et étudiants (je n'ai jamais vu quelqu'un avoir moins de 18 en maths quand il maitrise même minimalement leur statut)
Les indéterminées des polynômes sont de banals objets mathématiques en bonne et due forme (comme l'est $+; 75; \pi; etc$). Par exemple, quand on ne parle que des polynômes à une indéterminée, $X=(n\mapsto $ if $n=1$ then $1$ else $0)$. Pour des raisons pédagogiques, elles sont notées avec des lettres majuscules.
De manière générale, étant un donné un anneau $A$ et un ensemble $E$, tu peux considérer les éléments de $E$ comme "des indéterminées". Un polynôme (commutatif) à coefficients dans $A$ dont les indéterminées sont les éléments de $E$ est juste un élément de $A^M$ de support fini où $M$ est l'ensemble des éléments de $\mathbb{N}^E$ de support fini.
Par exemple, si $X,Y$ sont des éléments de $E$, le polynôme $XY$ est juste la fonction qui envoie tout le monde sur $0$ sauf $g$, envoyée vers $1_A$ où $g$ est la fonction qui envoie $X$ sur $1$, $Y$ sur $1$ et le reste vers $0$.
(Et pardon si redite), je tape ça à la volée, pas lu autre que 1er post)
Avec cette définition de variable, la fonction $f$ est parfaitement définie par $f(x)=3x^2-2x+1$ (sans quantificateur, ce qui va bien sûr faire râler Christophe), et il n'y a rien à reprocher à "Si $f(x)=x^2$, alors $f'(x)=2x$".
PS. Les lecteur.trice.s choqué.e.s n'ont qu'à penser que c'est un poisson d'avril. Mais pas que ...
Cette lecture peut être laborieuse certes mais si vous en venez à bout vous aurez appris quelque chose.
Ces phrases ne veulent strictement rien dire. "arbitraire"; "bien déterminé"... A quel genre de phénomène naturel ces adjectifs peuvent-ils bien renvoyer?
*******
(informellement):
1°Nommage.
En maths comme ailleurs les objets du discours ont parfois besoin d'être nommés pour la bonne compréhension de ce qui se dit. Mais au lieu d'utiliser des prénoms de calendrier ("dans la suite de l'exercice, Jean-Claude désignera le centre du cercle circonscrit au triangle dont les sommets sont Corinne, Kévin et Raymond"), les mathématiciens ont été amenés à utiliser le plus souvent des lettres seules appartenant à l'alphabet grec ou latin, majuscules ou minuscules: $a,b,c,...\alpha,\beta,\gamma$.
Lorsque les alphabets utilisés (finis) sont insuffisants (ou que l'on souhaite rendre un texte plus lisible), on a recours à des d'autres symboles ou bien on colle à côté d'une lettre un nombre ou une autre lettre écrits en petit, en bas voire en haut s'il n'y a pas de crainte de confondre avec une puissance (on appelle ça un "indice": exemple : $A_{17}$; $x^8$ ; $f_h$).
Il n'y a aucune ontologie qui se cache derrière les mécanismes de nommage des maths.
Il est vrai que la pratique des maths à fait émerger des différences statistiques importantes dans l'usage des lettres ($x$ étant largement plus utilisé que les autres). Il ne faut surtout pas y voir l'expression de quelque chose de fondamental (ça c'est une des grandes erreurs des pédagogistes) mais plutôt une coïncidence.
2° Liaison.
Lors du discours mathématique, la partie dudit discours où une lettre désigne toujours le même objet déterminé, est très variable. Cela peut aller du discours tout entier (la signification de $\pi$ comme un certain nombre issu de la géométrie, est la même dans la totalité du discours mathématique) à un paragraphe ("dans ce paragraphe, $A$ désignera un anneau commutatif") ou même à une simple formule (la lettre $x$ n'a de validité qu'entre l'occurrence du symbole$\int$ et celle de la suite de caractères $dx$ dans $\int_1^2 \log (x+\sqrt{x^2+1}) dx$, d'ailleurs il est habituellement considéré que les objets mathématiques désignés par $\int_1^2 \log (x+\sqrt{x^2+1}) dx$ et $\int_1^2 \log (k+\sqrt{k^2+1}) dk$ sont identiques, les lettres $x,k$ n'étant que des auxiliaires servant à la compréhension de la formule et substituables à d'autres. Les fonctions réelles $a \mapsto a+a^3$ et $z \mapsto z+z^3$ sont identiques.
La taille de cette portée (qui est un degré de contingence) a amené progressivement à parler de "variables" pour des lettres dont la portée est petites, ou de "constantes" ($\pi$ et une constante) mais ce raffinement de vocabulaire est juste une habitude de langage et non pas une quelconque popriété intrinsèque à l'objet désigné. En fait ce sont les attributions de noms à des objets qui sont susceptibles d'être constantes ou variables, certainement pas lesdits objets eux-mêmes.
Dans la langue courante, on fait ça avec des pronoms: "si Maximilien se suicide lui-même, il mourra". "Il" et "Maximilien" désignent la même personne dans cette phrase.Les occurences éventuelles de "Il" dans d'autres parties du discours
On ne fait pas comme ça en maths (le nombre de pronoms singuliers différents de la langue française -il,elle-est insuffisant pour ça et les pratiques qui peuvent s'en approcher -indices de Bruijn, ou carrés reliés à un symbole lieur comme dans Bourbaki- sont soit illisibles ou plutôt adaptées à une implémentation informatique, soit typographiqiement impraticables).
En maths on utilise des symboles lieurs (exemple: $\int ... d(...)$ pour délimiter la lettre qui va être utilisée et la partie du texte où ladite lettre est utilisée).
Ah non, pas du tout, je l'utilise moi-même depuis toujours ce truc (et pas qu'en enseignement, aussi pour tenter d'éclairer des controverses de bars sur ce que veut dire "variables" en physique).
Par contre, il est important de donner quelques exos pour assumer: quelle est l'image de $3$ par $x$, etc (ce qui marche, mais a la durée de vie des insectes nommés éphémères)
Et j'essaie plutôt d'utiliser $X$ plutôt que $x$ pour $x\mapsto x$.
De manière générale, toute "variable" libre qu'on ne veut pas voir comme une constante est une fonction à laquelle on a peint en blanc le "de c", où $c$ désigne ce que j'appelle souvent "le contexte".
Ces remarques (assez pratiques) sont importantes (enfin étaient) dans le secondaire quand on demande des solutions de systèmes, l'ordre alphabétique ne pouvant tenir lieu de convention absolue. Mais dans ce cas, il est assez risqué d'oublier que les solutions (qu'on peut chaligraphiquement écrire sous la forme $[x:=3; y:=11]$) sont des applications de l'ensemble de LETTRES $\{x;y\}$ dans machin et que du coup les variables, si les voit comme des fonctions sont des genre d'évaluateurs (ie $x'(f):=f(x)$) car le problème est que la souplesse de l'ensemble des contextes n'est pas un théorème (rien à répondre à un objecteur qui dirait "qui me dit qu'il existe un contexte $c$ tel que $x(c)=11$ et $y(c)=3$)
Bon de toute façon, ça ne contredit pas ce que j'ai dit au précédent post. On est en mode "transcendance pour le plaisir".
je n'ai pas bien compris le paragraphe qui m'était adressé. Il me semble faire référence à la propriété universelle que vérifie les polynômes à un nombre quelconque d'indéterminées.
J'essaierai de regarder ça demain.
Merci aux autres intervenants. Je lirai également plus attentivement vos messages demain.
En fait, derrière le problème que j'ai soulevé, il y a celui des liens entre syntaxe et sémantique que je n'ai jamais compris. J'espère que j'y verrais un jour un peu plus clair.
ignatus.
Ces phrases ne veulent strictement rien dire.
Tout en nuance ! :-)
Dans l'arithmétique de Peano, on a la constante 0. Aux dernières nouvelles, il n'est pas interdit d'enrichir le langage d'une constante k, accompagnée de l'axiome "k = s(s(0))" par exemple. Une réalisation de ce langage est la donnée d'un ensemble A, de deux éléments $\overline {0}$ et $\overline {k} $ de A, d'une application $\overline {s} $ : A $\rightarrow $ A, d'une application $\overline {+} $ : A×A $\rightarrow $ A, etc.
La formule "y = s(x) + k" est une relation à deux variables libres x et y. Pour une réalisation donnée, et pour chaque assignation d'un élément $\overline {x}$ de A à la variable x, et d'un élément $\overline {y}$ de A à y, on peut évaluer cette relation : elle est vraie ou fausse selon que $\overline {y}$ est égal à $\overline {s}(\overline {x} ) \overline {+} \overline {k} $ ou non.
Lorsque je dis que dans l'expression "y = s(x) + k", k est une constante qui désigne un objet bien déterminé (l'élément $\overline {k}$ de A qui est fixé par la donnée de A, et qui de plus vaut $\overline {s}(\overline {s}(\overline {0}))$ si A est un modèle) et que x et y sont des variables qui désignent des objets arbitraires (les éléments $\overline {x} $ et $\overline {y} $ qui peuvent être choisis de manière arbitraire et quelconque dans A), est-ce que je dis vraiment des énormités qui ne veulent strictement rien dire et qui vont me valoir de la part des cardinaux de ce forum, je commence à le pressentir, un décret d'appartenance au contingent bien fourni de ceux qui ne comprennent rien aux mathématiques? :-)
@Martial : merci pour ton éclairage du côté de l'informatique.
@christophe c : tu dis que les indéterminées sont de banals objets mathématiques. Je suis tenté de ne pas être d'accord, car elles vérifient une propriété universelle. Martimax indique que cette propriété universelle permet d'identifier une indéterminée avec une variable syntaxique.
Dans ton deuxième message, à la suite Foys et GaBuZoMeu qui choisit un contexte particulier, tu identifies variable avec un nom propre de symbole qui joue le rôle d'une fonction qui, dans un contexte donné, de "faible étendue", nomme un objet. La distinction entre constante et variable ne devient plus que 'une mesure de l'étendue de validité d'un nommage, donc d'un contexte suffisamment souple.
La question "naïve" que j'aimerais poser est celle-ci : la distinction entre nom propre et objet nommé est-elle toujours évidente et claire ?
ignatus.
Je vais reformuler et détailler. Lorsque tu as un anneau $A$, tu as un langage du premier ordre associé, qui a les symboles que j'ai décrits plus haut. Tu as aussi une théorie associée, qui mérite le nom de "théorie des $A$-algèbres". C'est des axiomes écrits avec ces symboles (que je n'ai pas décrits, mais qui sont relativement évidents) qui sont tels qu'un modèle de ladite théorie c'est précisément une $A$-algèbre.
Bon. Tu as une $A$-algèbre particulière, $A[X]$ qui a un élément particulier, $X$. Ce $X$ c'est l'élément "générique" d'une $A$-algèbre. Déjà, c'est un élément d'une $A$-algèbre, donc tout ce que tu pourras prouver sur un élément quelconque sera vrai pour $X$ (donc dès que tu peux prouver $\forall x, \varphi (x)$ dans ladite théorie, tu sais que $\varphi (X)$). Par contre c'est un élément générique, mais ce n'est pas n'importe quel élément : par exemple il vérifie $X-1\neq 0$, alors qu'évidemment ce n'est pas le cas de tous les éléments ($1$ par exemple !).
Donc on voit bien déjà que ce n'est pas le cas que n'importe quelle formule vérifiée par $X$ est prouvable pour tout $x$.
Comment faire un lien entre "propriétés de $X$" et propriétés prouvables ? Bah simplement tout élément $x$ d'une $A$-algèbre $C$ est l'image de $X$ par un morphisme d'algèbres. Ces morphismes d'algèbres ne préservent pas toutes les formules (par exemple, pas les négations, ni les implications,...). Par contre si $p=q$ est une équation à une variable libre écrite dans le langage que j'ai décrit plus haut, et si $X$ la vérifie ($p(X)=q(X)$), alors elle, elle est préservée par morphismes, donc $p(x)=q(x)$. Par théorème de complétude, $\forall x, p(x) =q(x)$ est prouvable syntaxiquement dans la théorie que j'ai décrite. Tu peux augmenter la complexité des énoncés qui ont cette propriété un tout petit peu, en rajoutant des "et", des "ou" et des "il existe" à quelques endroits, mais c'est à peu près tout (et tu peux augmenter le nombre de variables bien sûr)
Merci pour tes éclaircissements et ta patience.
La question que je me pose, au vu de ton dernier message, et qui rejoint ma question initiale, est dans quelle mesure on peut considérer l'indéterminée X comme un symbole.
Je ne sais pas vraiment ce qu'est une théorie, mais apparemment, elle doit être comprise en un sens syntaxique. Il n'y a que des symboles qui constituent les objets d'une théorie, au moins tous ceux d'arité 1.
Maintenant A[X] est un modèle de la théorie des A-algèbres. En ce sens, X est un banal objet, comme dirait christophe c. Dans ce modèle, qui peut jouer le rôle d'un contexte, X possède certaines propriétés, a priori en plus de ceux conférés par la théorie syntaxique.
1ère question naïve : Quand on passe d'une théorie à un modèle de cette théorie, a-t-on un moyen de déterminer les propriétés supplémentaires que peuvent posséder les objets de ce modèle ? Et donc, peut-on déterminer d'avance si dans un modèle donné d'une théorie, un objet jouera un rôle disons "générique", c'est-à-dire ici une propriété universelle (mais on pourrait spécifier le terme de "générique") ?
La propriété universelle permet de dire que si l'indéterminée X vérifie une formule raisonnable,alors cette formule est vérifiée par tous les objets de tous les modèles de la théorie des A-algèbres. D'après le théorème de complétude, dis-tu, elle est vérifiée par tous les objets de la théorie syntaxique. La solution d'un problème universel permet donc, de transporter des propriétés portées par l'élément générique de la solution, à tous les éléments de la théorie syntaxique sous-jacente. En ce sens, l'indéterminée X joue le rôle d'un substitut d'un élément syntaxique. Plus généralement, l'élément générique de la solution d'un problème universel se substitue partiellement à un élément syntaxique d'une théorie donnée. Un moyen de démontrer des théorèmes dans une théorie syntaxique serait donc de trouver la solution d'un problème universel posé dans le cadre des modèles de cette théorie.
J'aurais besoin d'informations sur ce que veut dire "générique". Cela me fait penser à une sorte d'objet initial dans la théorie des catégories. Aurais-tu la gentillesse de m'éclairer sur ce point ?
Enfin, j'aimerais poser une question beaucoup plus philosophique. La définition proposée de variable repose sur la capacité, non ambiguë, de nommer des objets. Or, les objets n'apparaissent qu'une fois qu'on les a nommés. Cela suppose donc une vision platoniste, dans laquelle il y a un monde d'objets bien identifiés. La variable est donc toujours mal définie, car elle est tributaire de la connaissance, nécessairement historique, que l'on a du monde des objets. Peut-on, sans contradictions, postuler l'existence d'un monde d'objets bien définis, que l'on découvre graduellement ? En définitive, la question est : peut-on, sans contradictions, qu'il y a indépendance et distinction nette entre syntaxe et sémantique ?
ignatus.
Malheureusement ta première question est "trop" naïve et donc je ne peux pas y répondre précisément; enfin je ne trouve pas de réponse pertinente.
Le lien avec les objets initiaux est que $(A[X], X)$ est initial dans la catégorie dont les objets sont les paires $(C,x)$ où $C$ est une $A$-algèbre, $x\in C$ et un morphisme $(C,x)\to (D,y)$ est un morphisme de $A$-algèbres $C\to D$ envoyant $x$ sur $y$ (si tu en connais un peu plus, c'est précisément dire que c'est un objet initial dans la catégorie des éléments du foncteur d'oubli $U$, i.e. $\int_{A-\mathbf{Alg}} U$; et ce n'est pas surprenant parce que $A[X]$ représente $U$ via $\hom(A[X], C) \to U(C), f\mapsto f(X)$; et la situation générale est que si $F:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$, alors $B$ représente $F$ si et seulement s'il existe $x\in F(B)$ tel que $(B,x)$ est initial dans $\int_{\mathcal{C}}F$; et $x$ nous donne explicitement l'isomorphisme $\hom(B,-) \to F$ - c'est du Yoneda tout bête)
Je ne sais pas si j'ai compris votre remarque, mais je ne précisais pas ce que j'entendais par exister, ni par objet. Je peux alors préciser la question philosophique : est-il possible de circonscrire ce qu'est un objet de manière à ce qu'une distinction nette entre syntaxe et sémantique puisse être formulée ?
Si l'objectif de votre remarque est de soutenir que cette distinction est vaine, quelle(s) conséquence(s) en tirer sur la définition de variable que vous avez donnée et cette capacité à nommer des objets ?
ignatus.
Non je voulais dire que:
1°) Un nom n'est pas la chose désignée par ce même nom ("$p$ est un nombre premier" est un abus de langage pour dire "$p$ désigne un nombre premier").
2°) Un nom peut désigner quelque chose.
3°) Un nom peut très bien ne rien désigner du tout.
4°) Les noms peuvent apparaître dans des textes ayant un sens et dans des raisonnements corrects indépendamment du fait
que ces noms désignent quelque chose ou non.
En particulier il n'est jamais nécessaire, préalablement à un raisonnement, de montrer que les noms employés désignent quelque chose (contrairement à une croyance se réclamant de la philo et répandue comme une maladie).
Prenons un exemple.
"Puisque Mamababa est la mère de Gabrigabriella et puisque Gabrigabriella est la mère de Nunucha, Mamababa est également la grand-mère de Nunucha".
-Est-ce que cette phrase est intelligible? J'ose espérer que oui.
-Est-ce que le raisonnement sous-entendu dans cette phrase est correct? Oui (en supposant que les mots mère/fille ont leur sens habituel).
-Est-ce qu'il est nécessaire que les prénoms employés dans cett phrase soient vraiment portés par des personnes sans quoi la phrase n'aurait aucun sens? Bien sûr que non!!!! D'ailleurs il est peu plausible que quelqu'un porte un prénom aussi tarte. Ca n'empêche en aucune manière ladite phrase de vouloir dire quelque chose.
-Est-ce que la compréhension de la phrase marron nécessite des capacités d'abstractions surhumaines du simple fait que les (pré)noms employés dedans ne désignent personne? J'oe espérer que non?
Bon ben en maths c'est la même chose qui se passe (mais les noms sont des lettres).
[size=x-small]A l'attention des futurs parents, je signale que mes messages ne sont pas à prendre comme source d'inspiration.[/size]
En outre, il y a une restriction à la portée de votre propos. C'est que pour qu'une phrase ait un sens, elle doit référer, directement ou indirectement, à une certaine réalité. C'est bien parce qu'il y a des mères et des filles que je peux me permettre d'utiliser des noms farfelus qui ne désignent personne sans que pour autant ma phrase en devienne insensée.
Pour ce qui est des maths, on peut contrer cette restriction. La réalité mathématique, ou en tout cas sa connaissance, n'est jamais stable et évolue historiquement. Ce qui fait que les énoncés pourvus de sens ne sont pas fixés, mais réfèrent toujours, directement ou indirectement, à la réalité mathématique ou à sa connaissance lors de l'énonciation.
Je me rends compte que cela n'a aucune incidence sur la définition des variables. Les constantes restent des constantes, et les autres sont des variables. L'univers dans lequel elles puisent leurs objets peut varier, elles n'en restent pas moins des variables. Mais, en assimilant les variables à des fonctions, on s'interdit de les représenter comme ensembles, il me semble, suivant la définition que vous avez donné de fonction dans un autre fil.
ignatus.
ignatus.
La partie technique de ton dernier message est très intéressante, mais j'ai du mal à la comprendre. Je vais la travailler et voir si je peux en tirer quelque chose par rapport à ma problématique. Merci.
ignatus.
"p est un nombre premier" est un abus de langage pour dire "p désigne un nombre premier")
Certainement pas !
"p est un nombre premier" est parfaitement correct. C'est : "p désigne un nombre premier" qui est un abus de langage !
Ce qui est correct c'est : "la lettre "p" désigne un nombre premier".
On n'est décidément pas sur la même longueur d'onde ! :-)
Quand tu dis "Jean est parti à la plage", tu ne dis pas que quatre lettres sont parties à la plage !
Mais tu peux dire que " "Jean" a quatre lettres".
Ne vois-tu pas la différence ?
"p" est une lettre (la 16eme et "q" la 17eme de l'alphabet).
Si p était une lettre, pose-toi la question, comment pourrait-on se permettre, et quel sens cela aurait-il d'écrire sur une feuille de papier :
p = q
?
Au premier ordre, il y a d'autres manières de faire. Un exemple ici: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1791040,1791284#msg-1791284 ("Eq(x,y)" s'écrit plutôt "x=y" habituellement).
Je reviens sur ton affirmation :
"p est un nombre premier" est un abus de langage pour dire "p désigne un nombre premier")
Admets-tu que c'est comme si tu disais :
"Jean va à la plage" est un abus de langage pour dire "Jean désigne la personne qui va à la plage"
Si tu rejettes l'analogie, qu'est-ce qui la rend fautive ?
Si tu l'admets, pourquoi n'acceptes-tu pas ma réponse :
"Jean va à la plage" est parfaitement correct,
C'est "Jean désigne celui qui va à la plage" qui est un abus de langage, la phrase correcte étant " "Jean" désigne celui qui va à la plage".
Jean ne désigne rien du tout. Jean, c'est celui qui va à la plage.
Ce qui désigne celui qui va à la plage, c'est "Jean", autrement dit un prénom, comme "p" est une lettre, qui désigne un nombre premier.
?
Dans quelle mesure le procédé d'arithmétisation de la syntaxe intervient-il dans cette problématique de nommage, de distinguer symboles et objets symbolisés ?
J'espère ne pas avoir dit de bêtises...
ignatus.
"Mon frère rime avec rivière" ne veut rien dire. Mon frère ne rime avec rien, d'ailleurs, je n'ai pas de frère. C'est bien sûr l'expression "mon frère" qui rime avec le mot "rivière" et la façon correcte de l'exprimer est :
" "Mon frère" rime avec "rivière" ".
Apparemment, Foys refuse cette convention. Pour lui, écrire "p désigne un nombre premier" ne pose pas de problème, et je ne suis pas d'accord.
Néanmoins, comme tu ne l'argumentes pas, je suis réservé sur ta prise de position. Lorsque je parlais du 1er théorème d'incomplétude, je faisais référence à l'arithmétisation de la syntaxe. Celle-ci est entièrement basée sur un procédé de codage qui distingue noms de constantes, noms de fonctions, noms de prédicats, etc... La démonstration du théorème d'incomplétude porte en son coeur cette activité de nommage, en distinguant p et "p".
Je ne suis donc pas convaincu sur le fait que ce théorème n'ait rien à dire sur votre problème. Mais je n'ai ni le savoir, ni le recul, ni le temps, ni le talent pour en dire plus... A moins que tu m'aides !!
ignatus.
ignatus.
Néanmoins, comme tu ne l'argumentes pas, je suis réservé sur ta prise de position.
Ce n'est pas une prise de position, c'est une simple question de bon sens !
Déjà, quand j'avais treize ans, mon (excellent) bouquin de géométrie plane donnait l'exercice
Critiquer la déduction suivante :
La bise fait rage.
Or, rage est un nom commun.
Donc la bise fait un nom commun.
Bien sûr, quand on rédige correctement la seconde prémisse (Or, "bise" est un nom commun), le sophisme s'évanouit !
Tous les auteurs de manuels de logique (élémentaires) que j'ai eu l'occasion de lire, je viens encore de le vérifier, Tarski, Quine, Curry, Church, Kleene, énoncent explicitement cette convention. Serais-je donc le seul sur ce forum à l'utiliser ? :-)
Lorsque je disais que tu n'argumentais pas, c'était par rapport à ton affirmation que cette convention de nommage n'avait rien à voir avec les théorèmes de Gödel.
ignatus.
Si on essaie de formaliser ce raisonnement on aura un problème à caue de ça.
Quel sens y aurat-il à vouloir déduire quelque chose de "La bise fait rage et "Jacques" est un nom propre" pour prendre un autre exemple ?
À nouveau, tu esquives la question de fond qui est de reconnaître que "p désigne un nombre premier" est une formulation incorrecte. J'abandonne.
Soit $p$ un nombre premier ?
Foys, lorsque tu parlais du symbole qui ne désigne rien, en fait c'est le cas où le symbole se prend lui-même pour objet : p est utilisé pour désigner la lettre p, et on peut user comme convention pour symboliser ce mécanisme de l'écrire "p".
ignatus.
En outre, je dirais qu'une variable est une fonction, mais qu'une fonction n'est pas un ensemble. Les ensembles forment une partie des fonctions, mais ne représentent pas toutes les fonctions. À l'appui de cette affirmation je dirais, qu'est-ce qui empêche de définir une fonction sur une classe d'objets ?
Ignatus.
Donc, si on veut formaliser une notion de langage qui utilise le raisonnement par récurrence, les fonctions ne doivent prendre qu'un nombre fini d'arguments, et par conséquent, les variables ne sont pas des fonctions.
Ignatus.
Ton "par conséquent" n'a aucune valeur, tu te mélanges complètement les pinceaux. L'addition est une opération à deux arguments, mais tu peux très bien additionner deux fonctions (et ça retourne une fonction).
Ignatus.
Si ce schéma d'interprétation est accepté, qu'est-ce qui distingue variable et constante à présent puisque ce sont toutes les deux des termes ? Est-ce que c'est là qu'on doit faire intervenir la notion de modèle ? En tout cas, la notion de variable comme fonction semble dénote d'une confusion entre la syntaxe et la sémantique. La fonction se comprend uniquement du point de vue syntaxique, alors que l'acte d'associer un objet à une variable fait passer du niveau syntaxique au niveau sémantique. Variables et constantes sont donc distinguées au niveau de ce passage de la syntaxe à la sémantique.
ignatus.
ignatus.
J'ai très peu de dispo et clique sur les fil en gras, ce qui n'est pas un critère car j'ai dû en ouvrir de mon téléphone, puis zapper.
Globalement, j'ai l'impression (malgré une non lecture et un parcours en diagonale), j'ai l'impression que tu te compliques la vie très très excessivement.
Peut-être le mieux serait que tu oublies le mot "variables" qui n'est qu'une commodité dans les livres pour ne servir qu'à une seule chose: dire qu'on en dispose d'une infinité. Il n'est en effet pas très pratique de construire des systèmes avec un nombre fini (enfin, ce n'est pas difficile, mais ça oblige à introduire des aspects anthropomorphiques "gratuits" peu harmonieux avec l'idée qu'on découvre et non pas qu'on invente les maths)
Syntaxiquement, tu n'as que des mots, point barre. Des règles de déductions (ou plus généralement d'inférences) s'appliquent et c'est tout.
La "sémantique" ** (déjà essaie de définir le mot "sémantique" tu vas voir comme tu vas galérer) est un terme "social" (au sens social à l'intérieur de la communauté platonicienne des mathématiciens).
Tout le reste c'est des maths, point barre, autrement dit, ce ne sont pas des métamathématiques, ce sont des mathématiques (ou de la logique si tu préfères, mais ça revient au même ici). Dans ce cadre le mot "sémantique" renvoie à un résumé pour dire que "c'est là qu'on parle de modèles, de complétude, qu'on utilise le signe $\models$ et non plus le signe $\vdash$, etc (flemme de mettre les guillemets).
Lors de mon premier post, (je crois qu'il n'y en qu'un) je ne sais plus si j'ai dit que la seule utilité du mot variable devrait être pour parler de "variables liées", et que pour le reste on a affaire à des CONSTANTES (autrement dit des noms propres).
Ca ne contredit pas les goûts ou suppléments que peut apporter GBZM, mais il te faut garder à l'esprit qu'il les apporte en aval (autrement dit pour experts déjà habitués à reconnaitre une variable liée d'une variable libre (je devrais d'ailleurs parler d'occurrence liée/libre) au moment où se demande comment économiser de l'encre pour ne plus lier des variables explicitement (avec un lieur en encre noir), tout en gardant des conventions univoques permettant de retrouver (ou en tout cas, ne pas se tromper) le statut desdites liaisons.
Fonctions, ensembles, etc, rien à voir. Syntaxiquement, les fonctions et relations permettent juste de fixer des arités au moment de programmer tout ça dans un ordi, ça ne va pas plus loin. Sémantiquement, tout ceci est sans importance, il n'y a que des ensembles (ou que des fonctions, ou que des objets, peu importe) ou selon les gouts et les théories très faibles et peu platoniciennes, des objets de différents niveaux (appelés "types").
** j'applique la convention de GG pour simplifier
j'ai lu ton post ce matin. Je ne comprends pas pourquoi tu veux esquiver la technicité, alors que c'est exactement ce que je demande...
Pour revenir au livre dont parlait Foys, les auteurs, au moment même de s'expliquer sur les variables, précisent que le débat est compliqué parce qu'il faudrait définir les termes de substitution et d'interprétation. Tu as toi-même parlé de contexte dans ton premier post, et je te pose la question : qu'est-ce qu'un contexte, mathématiquement parlant ? GBZ et toi-même avaient assimilé variables et fonctions, éléments qui entrent dans la signature d'un langage. J'ai donc été amené naturellement à me poser des questions autour de cette "identification" que vous vous effectuiez. J'y ai vu de la confusion. Je me trompe peut-être, mais alors expliquez moi mon erreur.
Tu as l'air, il me semble, de reconnaître cet à peu-près dont tu as fait preuve, en sous-entendant que syntaxiquement, fonctions et variables sont différentes, et sémantiquement, tout est ensemble. Mais même ça est contestable, est-ce-qu'une fonction définie sur une classe est représentable par un ensemble (ça ressemble à du Yoneda tout ça...) ? Est-ce que la notion de modèle interdit les collections trop "grandes" ?
Le concept de catégorie syntactique me semble très intéressant au niveau de ces questions qui touchent aux relations entre syntaxe et sémantique. Pourrais-tu m'en dire plus ?
ignatus.
1/ Les maths "authentiques", si tu préfères n'ont ni type d'objets, ni variables. Uniquement des constantes (et des variables liées, évitables elles aussi)
2/ Pour des raisons peu profondes, on peut rendre un poil plus confortable le langage (ou plutôt certains exposés ou conférences) en introduisant une notion de variable (de vraies variables), qui ne sont que des constantes un peu déguisées pour préparation psychologique des auditeurs
3/ Une fois qu'on est "entré dans les eaux remuantes", et donc à l'intérieur de tel ou tel aspect, tu as des tas de gens, et des tas d'amusements qui consistent à utiliser le mot "variable" d'une autre façon. Mais dans ce cas, même s'il y a des ressemblances, ce ne sont que des homonymes.
Exemples:
3.1/ on peut "s'amuser" à voir les indéterminées des polynômes comme des variables
3.2/ on peut s'amuse à voir les fonctions des physiciens comme des variables, ce qui permet de ne pas écrire l'argument (que j'ai appelé le contexte dans ce cas, c'est l'angle de vue que signale GBZM)
3.3/ etc
4/ Par contre c'est quand t'es dans l'aquarium. Comme je ne sais pas à quel niveau tu souhaites discuter, j'ai démarré par les bases.
5/ N'oublie pas que la définition du mot "mathématique" c'est "recherche de certitudes absolues formelles (ce qu'on appelle théorèmes)" et donc que tu ne risque pas d'avoir "de la technicité" au commencement (sinon, tu es disqualifié d'emblée, la complexité rendant douteuse la nature certaine de ses productions)
6/ Oublie bien vite les catégories, sauf si tu entres dans une sous-grotte sous-marine de l'aquarium et que tu veux visiter des aspects ultra-particuliers. C'est effectivement rigolo d'y recoder ces choses (comme ça l'est pour d'autres de tout rtaduire en équations diophantiennes, puisqu'elles forment un système universel), mais ça ne donnera rien "au démarrage". C'est plutôt pour les experts souhaitant développer des paradigmes élaborés qui s'adaptent à leurs passions. Si tu es expert, pas de souci, mais si tu ne sais pas distinguer une occurrence liée et une occurrence libre, c'est à éviter.