Hyperréels comme corps valué

Bonjour,

J'ai des questions assez basiques concernant les ultrapuissances de $\mathbb{R}$, dont je n'arrive pas à intuiter si elles sont indécidables dans ZFC:


On prend un ultrafiltre non principal $\mathcal{U}$ sur $\mathbb{N}$ et l'on note $\mathbb{R}_{\mathcal{U}}$ l'ultrapuissance de $(\mathbb{R},+,\times,<)$ modulo $\mathcal{U}$.

L'ensemble $A$ des éléments finis (= encadrés par des entiers) de $\mathbb{R}_{\mathcal{U}}$ est un anneau local dont l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est l'ensemble des infinitésimaux (ainsi que zéro). Le groupe quotient $\Gamma_{\mathcal{U}}:=\mathbb{R}_{\mathcal{U}}^{\times} / A^{\times}$ peut être ordonné par $x A^{\times}\prec y A^{\times}$ ssi $x^{-1} y \in \mathfrak{m}$, autrement dit ssi $\mathbb{Z}.y <|x|$. On appelle ce groupe ordonné le groupe de valeur, et on peut également le présenter à l'aide de la notion équivalente de valuation naturelle.

Premières questions: peut-on déterminer à quoi ressemble $(\Gamma_{\mathcal{U}},+,\preceq)$?
En particulier, est-il isomorphe à $(\mathbb{R}_{\mathcal{U}},+,<)$?

Un corps réel clos de groupe de valeur $\Gamma$ peut toujours se plonger, avec l'axiome du choix, dans le corps $\mathbb{R}\varepsilon^{\Gamma}$ de séries généralisées (dites de Hahn) à coefficients réels et exposants dans $\Gamma$. Ce sont les fonctions $\Gamma \rightarrow \mathbb{R}$ à support bien ordonné, avec somme point par point et produit de Cauchy. On peut faire en sorte que le plongement soit "clos par troncature": les segments initiaux de séries formelles qui sont dans l'image sont dans l'image.

D'où:
Dernière question: existe-t-il, dans le cas de $\mathbb{R}_{\mathcal{U}}$, de tels plongements que l'on pourrait décrire synthétiquement?

Je me demande notamment si ces questions sont décidables dans ZFC.


Réponses avec l'hypothèse du continu:
En admettant l'hypothèse du continu, on peut caractériser $\mathbb{R}_{\mathcal{U}}$ en tant que corps ordonné comme l'unique corps ordonné saturé de cardinal $\aleph_1$ et en tant que groupe ordonné comme l'unique groupe ordonné saturé de cardinal $\aleph_1$. Du reste, comme $\Gamma_{\mathcal{U}}$ est aussi saturé de cardinal $\aleph_1$, il est bien isomorphe en tant que groupe ordonné (quoique non naturellement) à $\mathbb{R}_{\mathcal{U}}$.
On a aussi d'après la première caractérisation un isomorphisme entre $\mathbb{R}_{\mathcal{U}}$ et le corps $\mathbf{No}(\omega_1)$ des nombres surréels de longueur dénombrable. Ce dernier est (canoniquement) isomorphe au corps $\mathbb{R}\varepsilon^{\mathbf{No}(\omega_1)}_{\omega_1}$ des séries de Hahn dont les supports sont dénombrables, donc on obtient $\mathbb{R}_{\mathcal{U}} \cong \mathbb{R}\varepsilon^{\Gamma_{\mathcal{U}}}_{\omega_1}$, ce que l'on peut prendre comme exemple de ce que j'entends pas "plongement synthétiquement descriptible".