Définition d'un ordinal

Par exemple, ça marche !

Comme tu as ouvert un fil avec ce titre, je te re-propose quelques définitions alternatives et fais quelques remarques.

1.1/ La notion d'ordre étant très anthropomorphique, le point le plus important n'est pas $\forall x\in S: (a\in x$ ou $a=x)$, mais

$$ \forall x: (x\in a \to x\notin S)$$

1.2/ Cela résulte de la RICHESSE et la longueur de la définition du mot "ordre strict".

2/ Du coup, dans le cadre ordinal, je ne conseille pas forcément cette approche à fort nombre d'octets, car j'ai remarqué qu'elle peut :

2.1/ être trompeuse pour les débutants
2.2/ Nécessiter des usages du raisonnement par l'absurde empilés.

3/ Dans "la vie concrète", les choses nous arrivent sous forme de simples préordres (le mot "préordre" est synonyme parfait de "relation transitive"). En quotientant par $(x,y) \mapsto [xRy$ et $yRx]$, on récupère un ordre, mais c'est "déjà" du taf.

4/ J'en profite capricieusement, pour que ce post ne soit pas trop pauvre et ayant peu de dispo, pour te rappeler l'approche équivalente mais alternative qui concerne les ordinaux que je t'ai signalée dans l'autre fil:

4.1/ En prenant comme définition $x$ est un ordinal est une abréviation de $x$ est l'ensemble de ses sous-ensembles qui sont différents de $x$ et qui sont des ensembles transitifs, tu gagnes les fait que les ordinaux sont bien ordonnés par $\subseteq$ en 3 lignes avec l'avantage que $\subseteq$ est DEJA un ordre.

4.2/ Tu disposes d'un schéma qui te permet de villégiaturer les dimanche après-midi à la campagne via:

$$ [x\ est \ bleu]:= [\forall y: (y\in x)=(y\subseteq x\ et \ (x,y)\ est\ TrucBidule)]$$

4.3/ Ce schéma est apaisant. Il te permet de "sortir de l'académisme histoire de respirer", puis d'y revenir après. Ca t'apporte un esprit critique et une indépendance déductive propre.

4.4/ Les ordinaux sont les ensembles définis par le schéma où $TrucBidule:=\{(x,y)\mid x\neq y$ et $y$ est transitif$\}$

4.5/ Mais tu pourrais aussi étudier les Gloutons:

4.5.1/ $x$ est un Glouton abrège $\forall y: [(y\in x)=(y\subseteq x$ et $y\neq x)]$

Après quelques dizaines de minutes de recherche, je suis sûr que tu vas ressentir une petite jouissance personnelle à faire la liste exhaustive des Gloutons et découvrir un petit truc philosophique concernant la science. tu remarquerais qu'il y a peu de gloutons et beaucoup d'ordinaux, bien qu'ils aient le même ADN.

Il faut que tu précises ce que tu entends par "cela prouve". Vu que le résultat que tu mentionnes après est vrai, je peux difficilement répondre "non", mais vu que je ne vois pas le chemin immédiat que tu fais pour arriver audit résultat, je peux difficilement répondre "oui".

D'ailleurs dans mon pdf, la preuve est juste après.

Ta preuve n'est pas complète : Il faut rajouter une disjonction de cas, là tu traites le cas $\alpha \subset \beta$, et l'autre cas est similaire avec $g^{-1}$. De plus dire que $x$ est comparable à $y$ n'apporte rien.
Mais oui, tu as raison : j'ai refait une preuve sans trop de raison

Non, le $g$ que tu définis n'a a priori aucune raison d'arriver dans $\beta$, d'où la disjonction de cas.
Pourquoi vouloir comparer $x, g(x)$ ?