Autour de Schwarz

Je n'enregistre pas cette demande dans iefd car elle n'est pas assez précise
Soit $E$ un evn (ou un Banach si besoin, ev sur $\R$).

Soit $f: E\to \R$ dérivable 3 fois sur $E$. Soit $u,v$ dans $E$.

Comme $f'$ va de $E$ dans $L(E,\R)$, donc

$$\phi(f,u): x\mapsto f'(x)(u)$$

va de $E$ dans $\R$. Je note $\sigma(f,u,v) := \phi(\phi(f,u), v)$.

De plus je note $T:=$ l'ensemble des $f\in \R^E$ qui sont dérivables 3 fois.

L'ensemble suivant, inclus dans $E^2$ me semble intéressant et dépend a priori de la norme, mais d'une manière que je ne saisis pas vraiment clairement:

$$\{(u,v)\in E^2\mid \forall f\in T: (f,u,v)\ est \ vert\}$$

Avez-vous des informations ou trouvezriez-vous des choses à ce propos? Merci d'avance!