"Entiers sur..."
J'ouvre juste un fil pour regrouper en un seul post les évocations de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,1797452#msg-1797452
$A,B$ sont des anneaux commutatifs unitaires, $A\subset B$ et $u,v$ sont dans $B$.
On a reçu l'information dans le lien, elle est classique, que si $u,v$ sont tous deux entiers sur $A$ alors $u+v$ et $uv$ aussi. On peut tout obtenir assez vite à coup de déterminant.
Dans le présent post, je signale juste comment on peut surmonter la privation du déterminant.
1/ L'entièreté de $u,v$ sur $A$ fait de $C:=A[u,v]$ un anneau qui est un module de dimension finie sur $A$ (dont une famille génératrice est composée, par exemple de $1$ et d'éléments de la forme $u^nv^p$ en nombre fini).
2/ Soit $w$ un élément de $C$. Je termine le post en montrant que $w$ est entier sur $A$ (c'est à dire annule un polynôme unitaire à coefficients dans $A$), et ce, sans utiliser l'outil déterminant.
3/ On peut sans perte de généralité supposer que $A$ est noethérien, car l'affaire à laquelle on est confronté est un problème qui peut se "généraliser" (oui oui) en considérant que $C$ est de la forme $A[X,Y] / J$ où $J$ est un idéal et que $A$ est de la forme $\Z[S_1,..,S_n] / K$ où $K$ est un idéal bien choisi (les $S_i$ évoquant les coefficients des polynômes qui annulent $u,v$.
4/ Vous trouvez alors sur internet*** les lemmes suivants:
4.1/ un module de type fini sur un anneau noethérien est noethérien (pas de suite strictement croissante de sous-modules)
4.2/ Si $A$ est noethérien alors $A[X]$ l'est.
5.1/ Soit $n$ un entier. Vous avez le sous-module sur $A$ de $C$ qui est engendré par $w,w^2,w^3,...$
5.2/ Il y a donc un entier $p$ tel que $w^p$ est dans le module engendré par $w,..,w^{p-1}$ et ça y est vous avez votre polynôme unitaire annulateur
6/ Il suit qu'une question [large]vague[/large] me paraîtrait intéressante: réciproquement, "épuise-t-on" les qualités du déterminant avec ce théorème amusant sur les anneaux?
*** je recommande d'ailleurs de les prouver sans chercher de solution sur internet, ce sont des exercices ne nécessitant aucune inspiration** et n'attendant que des aptitudes linguistiques.
** au pire j'en donne une peut-être présente: [small]Si $n\mapsto J_n$ (de réunion K) est une suite croissante d'idéaux de $A[X]$ alors si $H_n$ est l'ensemble des coefficients dominants des éléments de $J_n$ qui sont de degré $n$ et si $H_n$ est le plus grand parmi tous les $H_p,p\in \mathbb{N}$ et si $F\subset K$ est un ensemble fini qui témoigne de $H_n$, ie, si tout coefficient dominant d'un élément de $K$ est celui d'un élément de $F$ alors $K$ est engendré par $F$[/small]
$A,B$ sont des anneaux commutatifs unitaires, $A\subset B$ et $u,v$ sont dans $B$.
On a reçu l'information dans le lien, elle est classique, que si $u,v$ sont tous deux entiers sur $A$ alors $u+v$ et $uv$ aussi. On peut tout obtenir assez vite à coup de déterminant.
Dans le présent post, je signale juste comment on peut surmonter la privation du déterminant.
1/ L'entièreté de $u,v$ sur $A$ fait de $C:=A[u,v]$ un anneau qui est un module de dimension finie sur $A$ (dont une famille génératrice est composée, par exemple de $1$ et d'éléments de la forme $u^nv^p$ en nombre fini).
2/ Soit $w$ un élément de $C$. Je termine le post en montrant que $w$ est entier sur $A$ (c'est à dire annule un polynôme unitaire à coefficients dans $A$), et ce, sans utiliser l'outil déterminant.
3/ On peut sans perte de généralité supposer que $A$ est noethérien, car l'affaire à laquelle on est confronté est un problème qui peut se "généraliser" (oui oui) en considérant que $C$ est de la forme $A[X,Y] / J$ où $J$ est un idéal et que $A$ est de la forme $\Z[S_1,..,S_n] / K$ où $K$ est un idéal bien choisi (les $S_i$ évoquant les coefficients des polynômes qui annulent $u,v$.
4/ Vous trouvez alors sur internet*** les lemmes suivants:
4.1/ un module de type fini sur un anneau noethérien est noethérien (pas de suite strictement croissante de sous-modules)
4.2/ Si $A$ est noethérien alors $A[X]$ l'est.
5.1/ Soit $n$ un entier. Vous avez le sous-module sur $A$ de $C$ qui est engendré par $w,w^2,w^3,...$
5.2/ Il y a donc un entier $p$ tel que $w^p$ est dans le module engendré par $w,..,w^{p-1}$ et ça y est vous avez votre polynôme unitaire annulateur
6/ Il suit qu'une question [large]vague[/large] me paraîtrait intéressante: réciproquement, "épuise-t-on" les qualités du déterminant avec ce théorème amusant sur les anneaux?
*** je recommande d'ailleurs de les prouver sans chercher de solution sur internet, ce sont des exercices ne nécessitant aucune inspiration** et n'attendant que des aptitudes linguistiques.
** au pire j'en donne une peut-être présente: [small]Si $n\mapsto J_n$ (de réunion K) est une suite croissante d'idéaux de $A[X]$ alors si $H_n$ est l'ensemble des coefficients dominants des éléments de $J_n$ qui sont de degré $n$ et si $H_n$ est le plus grand parmi tous les $H_p,p\in \mathbb{N}$ et si $F\subset K$ est un ensemble fini qui témoigne de $H_n$, ie, si tout coefficient dominant d'un élément de $K$ est celui d'un élément de $F$ alors $K$ est engendré par $F$[/small]
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Réponses
(D'ailleurs moi je dirais que la noethérianité de $ A[X] $ requiert quand même un peu d'inspiration)
Après je ne comprends pas du tout ta question vague :-S
Je ne fais que te traduire pourquoi j'ai dit "non inspirée" j'avais oublié (en utilisant des mots classiques et pas ANS)
Cela dit la multiplication par l'indeterminee X est inspirée de toute façon tu n'as pas tort.