Je donne une preuve plus facile à suivre du temps propre fini de l'uniformément accéléré (de son point de vue à lui). Dimension1, donc une seule coordonnée d'espace pou rle repère initial.
Dans le repère initial, on va regarder un "mouvement" d'une suite infinie d'individus sur l'axe des abscisses et uniformément accéléré par morceaux, avec des pauses régulières, de sorte que chacun, dans son temps propre, ressentent une accélération de g, suivie d'une pause, suivie d'une accélération de g, etc. Constance des intervalles de son point de vue. Le tout est fai de manière régulière de sorte que dans le repère initial, la distance entre les individus restent constantes
En outre, on va supposer que chaque phase d'accélération dure suffisamment longtemps pour que de son point de vue toujours, les distances (de son point de vue) soient multipliées par 10 entre lui et son prédécesseur, à l'issue de chaque accélération
Exercice de base: c'est compatible avec la "gentillesse" des accélérations commandées ci-dessus.
On convient que chaque fois qu'un individu croise l'origine, il envoie un photon dans la direction de ses successeurs (sens du mouvement).
Je vous laisse faire l'exercice que si $n$ est assez grand, l'individu $0$ ne verra jamais l'individu $n$ lui envoyer un photon. En effet, la suite des distances $d$ stabilisées entre deux personnes, perçue par l'individu $0$ est de la forme:
$d$ durant 1an, puis $10d$ durant un an, puis $100 d$ durant un an, etc. Ainsi, l'individu $0$, qui est passé à vitesse nulle à l'instant $0$ devant l'origine, verra au bout d'un certain temps les arbres défiler à une vitesse proche de la lumière, et elle ne sera jamais dépassée. Il percevra $n$, comme étant $n.km$ derrière lui, puis $10n.km$ derrière lui, puis, ainsi de suite.
Si $n$ est assez grand alors, au bout d'un moment $n$ sera perçu (en imagination) comme remontant à une vitesse folle le temps et filant vers les abscisses négatives. Jamais il ne sera perçu comme ayant un jour franchi l'origine. Ce qui fait que concrètement et non pas en imagination, l'individu $0$ ne recevra jamais un photon supposément par l'individu $n$ au moment de son franchissement de l'origine.
De retour dans le repère initial, les spectateurs "le long de la route du tour de France" verront bien l'individu $n$ franchir l'origine et émettre un photon, mais ce photon rattrapera petit à petit l'individu $0$ sans jamais l'atteindre.
Tout ça pour dire que la perception de "la vraie vie" laborantine doit être ajoutée aux géométries spatio-temporelles, sinon, on ne s'aperçoit pas "du délire" que donnent les théories et on n'achève rien. Ici préssent, on n'a pas de contradictions, mais juste l'émergence d'un point de vue rotationnel (comme la géométrie projective), où en toute tranquilité, un gars uniformément accéléré va voir à l'instant limite, disons de 17.8ans la totalité de sa dimension de mouvement concentrer en un unique point la totalité de cette dimension de l'univers extérieur.
Ca veut dire quoi et ça arrive quand ce genre de choses? Et bien la réponse est "quand on tourne". Quand une droite tourne, il arrive un moment où elle est perpendiculaire à une droite fixe. C'est probablement ce qu'il se passe dans la nature. Et je parle bien de projection. Autrement dit, puisque l'individu $0$ croit voir défiler des arbres "sous son nez", il ne commet pas d'erreur. Ils sont bien là, mais ce ne sont pas les même arbres. Il change à chaque instant de monde, et croise chaque fois des copies. Sinon, il faudrait prétendre qu'il voit "une projection" de ces arbres et ça n'aurait pas de sens, car il faudrait calculer une distance entre l'emplacement des vrais arbres et de leur point projeté (en fait ça en aurait mais ça ne changerait rien, ça INTRODUIRAIT cette distance).
J'en reviens d'ailleurs à ce propos au décalage vers rouge/bleu, tout aussi valables et donc contradictoires selon qu'on préfère un point de vue ou un autre, car il s'agit DU MEME MECANISME. Mais je vais l'expliquer mieux, en passant pluss sur les calculs sans intérêt.
A la place des photons, on va prendre des boulangers miniatures, donnés avec leur atelier, on envisage différents cas de figures.
Lorsqu'un croise un boulanger, qui va à une vitesse proche de la lumière, même si on a du mal à le suivre, il est tout à fait légitime de se forcer à penser à lui et pas son jumeau qui le suit un peu derrière et de se demander comment il va. Dans ce cas, plus on le croise vite dans le sens est->ouest, plus on est forcé de l'imagine avec une horloge tournant doucement et donc un travailleur travaillant doucement et paisiblement. C'est un exercice de base déjà détaillé ici.
Et bien ça, c'est le décalage vers le BLEU
comme vous pouvez le constater.
Maintenant si on adopte un point de vue "révolutionnaire et illégitime" d'indifférentiation des boulangers en quelque sorte, EN PRATIQUE et uniquement EN PRATIQUE et à condition qu'il soient nombreux, régulièrement espacés on aura alors la paresse de "penser" et on se contentera de regarder le boulanger à portée de main, boulanger dont il est important de noter que d'un instant à l'autre, ce n'est pas LE MËME qu'on regarde.
Dans ce cas, on voit l'horloge1 du boulanger1 indiquer 03/04/2030, puis une seconde plus tard, on voit l'horloge du boulanger DEUX, indiquer 04/04/2030, etc. Et là, on se dit "oulala, 1an déjà passé pour le monde des boulangers
Evidemment il n'en est rien, car on en regarde UN AUTRE, celui qu'on est en train de croiser. Abstraction faite du contexte, bien évidemment là, si on ne regarde que le relevé des horloges, on voit qu'il semble défiler très rapidement. Mais contrairement à la situation précédente, c'est "NAWAK" sans autre forme de justification. En continu, un même boulanger qu'on croise travaille ultradoucement et est donc "sans énergie". Mais L'IMPRESSION de mauvais élève qui a la flemme de suivre un seul boulanger et qui donc regarde paresseusement le boulanger se trouvant devant sa vitre, voit au contraire, une histoire très énergétique de boulangers qui taffent à toute vitesse.
C'est le décalage vers le ROUGE
:-D Difficile de définir ce dernier comme le choix naturel. Et point de photons dans cette histoire.
La contradiction entre les deux points de vue n'est que le début du passage douloureux et qui aurait dû se faire en amont à la logique quantique qui "indiscerne" ces boulangers quand ils sont des particules rapides.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pour ceux qui n'étaient pas là, nous avions eu une controverse avec foys au sujet du choix entre les deux approches. Foys avait finalement dit qu'il était partisant de regarder "le boulanger qui passe devant la vitre", parce que ces boulangers sont des photons (autrement dit, ce qui revient au même, il regardait l'intervalle de distance entre deux boulangers.
Pour ma part je ne considère pas ce choix comme relativiste. Je le considère comme QUANTIQUE.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Merci Foys, j'en profite pour "alléger" l'argument précédent pour ceux qui s'y connaissent** un peu mieux.
Le gars qui accélère calcule régulièrement où en est l'horloge de l'origine du repère initial. Bin, c'est simple:
Au bout d'1H, elle en est à 100,
Au bout de 2H, elle en est à 110
Au bout de 3H, elle en est à 111
Au bout de 4H, elle en est à 111.1
Etc. Autrement dit, il ne la concevra jamais comme dépassant 120 pendant son périple. Comme il était prévu qu'à l'instant où elle est sur 200, elle envoie un photon, et bien il ne recevra jamais ce photon.
** en fait, je trouve même que mon argument est bien plus simple, dit comme ça.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
La relativité restreinte ne gère pas les référentiels accélérés (*) même si on peut calculer des temps propres.
[size=x-small](*)je veux dire pas plus que la mécanique classique: on peut le faire en rajoutant des forces mais ce sont des ajouts ad-hoc. Ca ne se fait pas avec le groupe de changement de repère [/size]
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Le problème n'est pas là. Elle fournit un paradigme qui a refusé d'être regardé au delà de la géométrie et nous ont fait loupé des trucs.
"L'excuser' (comme tu le fais) en restreignant son domaine de validité est autre chose, car je ne l'accuse de rien (je suis au contraire bien content des kiffs offerts).
Je veux juste insister sur sa parenté (et non pas son conflit) avec la quantique. Pour la TQ il est parfaitement connu qu'on a un point aveugle à un niveau totalement en amont, mais pour la relativité, je pense que c'est le cas aussi et qu'on a oublié de le dire.
Et je ne crois pas un instant que les recherches actuelles en théorie des cordes ou autre vous mener où que ce soit. Il y a des choses bien plus simples et bien plus en amont à regarder.
A ce titre on peut regretter certaines mauvaises habitudes (liées aux besoins crédits et de postes) de se shooter à des calculs et de la géométrie compliquée, et voire les gens attendre 40 ou 50ans pour s'interroger sur les vrais trucs (Tu prends les quelques experts du forum, auraient-ils pris le temps de s'interroger sur A=>A et A ou sur le RPA à 20ans en recherche de poste? )
Je vais ouvrir un fil plus unifiant et général. Avec des liens pour tenter de fournir un cadre de questionnement sur infini VS indiscernable qui semble se produire à tous les niveaux.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Bonsoir
Je n'ai rien compris au coup des boulangers (et je n'ai pas envie de lire la conversation de 9 pages, donc je ne saurai pas). En revanche, j'ai peut-être mieux compris l'obsession du temps fini (et puis si je suis à côté de la plaque, ce n'est pas de ma faute, il faut être plus clair).
On est tous d'accord que pour qu'une trajectoire de type temps qui "ne s'arrête jamais", le coup du temps propre total fini sur la trajectoire implique une accélération propre non bornée (ou des saut de vitesse aussi grand qu'on veut ou aussi rapproché les uns des autres qu'on veut, si on trouve plus marrant de considérer des sauts de vitesses plutôt que des accélérations). Pour s'en convaincre, faire le test avec le coup de l'accélération propre constante, vous aller vous retrouvez à intégrer un truc du genre $\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}$, avec $x$ entre une référence et l'infini (et ça "converge vers l'infini"), on peut en suite s'en servir pour "minorer le temps propre" dans des cas d'accélération propre borné (ou des saut de vitesses majorés et suffisamment espacés).
Cela dit, bah voilà, on a éventuellement le droit de considérer des systèmes au temps propre fini et vers la fin de leurs vies ressenties ils en prendront vraiment plein les dents.
Qu'on me rassure : ce n'est pas ce genre de truc qui est sensé poser un problème logique qui nous ferait considérer que l'un d'entre eux devrait sortir de l'univers ou je ne sais quoi de vraiment pas banal ?
Pas d'accord.
Regarde le formulaire que je t'ai déjà proposé deux fois, prends la vitesse de l'objet en accélération propre dans le référentiel galiléen où sa vitesse est nulle en $t=0$ comme ils le proposent.
Donne l'expression de $\int_{t=0}^{t=+\infty}\sqrt{1-v^2/c^2}dt$ dans ce cas.
Si j'ai tort il y a deux possibilités:
- L'expression de la vitesse qu'ils proposent est fausse: j'avoue que la seule fois qu'on m'a demandé de trouver cette expression, ça fait plus de dix ans et là, j'ai la flemme de vérifier (notamment parce que ce n'est pas moi qui cherche à montrer des choses bizarres).
- Tu penses que l'intégrale que je te propose de faire n'est pas justifiée: j'ai juste calculé la "longueur d'une courbe" avec la pseudo-métrique de Minkowski.
Tu cherches à montrer des trucs inhabituels, la charge de la preuve te revient (tu nous présentes $f$?). Si j'ai tort: je veux que tu me donnes la bonne vitesse depuis un référentiel galiléen que tu fixes (et là je me retrousserai les manches et vérifierai) ou que tu me dises pourquoi je n'ai pas le droit de calculer le temps propre de cette manière sur une trajectoire "lisse" de type temps (auquel cas, on risque d'être pour le moins emmerdé).
Tu penses que l'intégrale que je te propose de faire n'est pas justifiée: j'ai juste calculé la "longueur d'une courbe" avec la pseudo-métrique de Minkowski.
En tout état de cause, il n'est jamais exlcus qu'il y ait une erreur dans ce que je t'ai dit, mais je ne pense pas et je mets en citation ce que je rejette dans ce que tu dis. Oui, je pense que tu ne calculs pas du tout le temps propre avec cette intégrale.
La preuve, je te l'ai donnée et avec un argument bien plus sécurisé que des calculs non justifiés dans leurs fondements.
1/ Tu prends 2 personnes au lieu d'une. Celui qui nous intéresse X et l'autre Y
2/ Tu supposes que Y est en permanence dans le repère initial à la position de X - $10^{99} $ années-lumière.
3/ Comme à intervalles de temps propre réguliers (suite arithmétique), $X$ fait une pause dans son accélération et passe quelques temps dans un repère galiléen, lors de ces pauses, il prend le temps de se demander (dans ledit repère!! pas dans l'initial) où se trouve $Y$.
4/ Un exercice facile consiste à s'apercevoir qu'au bout d'assez peu d'étapes, il voit $Y$ de plus en plus loin derrière l'origine du repère initial.
5/ Si tu admets que le temps propre de cette aventure pour X est inifni, il devrait y avoir un moment où il recevrait le photon supposément émis par Y quand il passe devant l'origine.
6/ Comme il fait le raisonnement qu'il ne verra jamais ce photon, car lors de ses pauses, il calculera que Y n'est pas encore passé (et de plus en plus loin de l'être) devant l'origine, tu as une contradiction avec 5, fin de l'histoire.
7/ Et je pense que tu m'accorderas que ce n'est pas pendant les nonpauses que des choses étranges se produisent pour briser cet argument: note que j'aimerais bien, je préférerais 1000 fois avoir tort et découvrir que les nonpauses (ie les phase d'accélérations tranquilles à g:= $9.81ms^{-2}$) sont sujettes à d’inouïs changements :-D "Avoir raison" ne me rapporte rien.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
La phrase suivante réclame justification (pas parce qu'il manque un "e", je m'en fous royalement, des fautes de conjugaison ou grammaire, j'en fais à la pelle, c'est le fond de l'affaire qui m'emmerde):
Oui, je pense que tu ne calculs pas du tout le temps propre avec cette intégrale.
Très bien... Voilà ce que je propose:
On reste sur un cas simple, soit $\Gamma$ une trajectoire de type temps assez lisses, c'est-à-dire qu'avec des coordonnées "standard" d'un référentiel galiléen que tu choisira, il existe une application $C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}^3)$ qu'on nommera $\vec{x_\gamma}$ telle que pour tout instant de l'espace temps noté $(t,\vec{x})$ avec les coordonnées associées au référentiel en question: $(t,\vec{x})\in \Gamma \leftrightarrow (t,\vec{x})=(t,\vec{x_\gamma}(t) )$ et enfin: $\forall t, \left(\frac{d \vec{x_\gamma}}{d t}\right)^2 < c^2$. Avec ces termes: donne ta formule permettant de calculer le temps propre écoulé entre deux instants de la trajectoire. (Remarque: c'est assez exceptionnel, mais, moi aussi, je peux mettre des phrases en gras)
Attention: Je veux que la formule respecte les conditions suivantes:
- On retombe sur nos pattes si on prend une trajectoire "fixe" dans un référentiel galiléen.
- Lorsque je change de référentiel galiléen, j'ai juste à recalculer $\vec{x_\gamma}'$ par application de la transformation de Lorentz et appliquer ta formule pour retrouver le même temps écoulé entre deux mêmes instants de la courbe $\Gamma$ (bref, que ce soit un invariant relativiste, parce que sinon on va changer d'histoire à chaque fois qu'on va changer de référentiel et ça va être chiant).
- Par contre, tu as le droit de retoucher un petit peu le côté $C^1$ pour te permettre des sauts de vitesses, mais je veux qu'on reste sur une courbe continue et qui à chaque instant conserve une vitesse définissable et raisonnable, de norme inférieure à $c$ (c'est ma définition de la trajectoire type temps, si tu parles d'autre chose, il faut le définir et prouver qu'admettre ton type de courbe ne peut permettre de raconter des histoires qui violent la causalité par "interactions entre plusieurs d'entre elles").
- Du reste, tu as toute liberté.
Techniquement, tu peux en trouver, ça a des raisons d'exister, seulement voilà:
- Celle-ci est assez simple, tandis que la tienne risque de faire formellement appel à l'accélération propre (ou le bond de vitesse propre, je sens déjà les distributions venir) et les physiciens ont une fâcheuse tendance à ne pas chercher quand ils tombent sur un truc qui, a priori, fonctionne bien et ne présente pas d'incohérence évidente.
- Le coup du bête calcul de "longueur de la courbe avec la métrique de Minkowski" reste utilisé en relativité générale. Moi je ne suis pas allé voir, mais certains prétendent que les calculs de correction d'horloge pour le GPS y ferait appel, je ne vois pas pourquoi je devrais mettre cette assertion en doute.
En ce qui me concerne, je considère que le temps propre a pour définition la "longueur" de la courbe avec pseudo-métrique de Minkowski. Tu peux considérer que c'est arbitraire et que c'est parce qu'on me l'a inculqué, mais si il est cohérent et qu'on me dit que c'est raccord avec l'expérience, je le garde jusqu'à ce qu'on change de modèle ou qu'on me mette sous le nez suffisamment de résultats expérimentaux (sérieux) permettant de dire que ce truc est complètement à l'ouest.
Bref, je refuse de considérer tes problèmes* tant que tu n'as pas: soit reconnu cette définition du temps propre, soit proposé une autre définition qui respecte les conditions que je t'ai posées (pas un truc flou, un belle formule complètement écrite, respectant le cahier des charges et qu'on conservera par la suite). Dans le second cas, je veux bien tenter de faire joujou avec, si ce n'est pas excessivement suant, mais je n'irai pas considérer que les conclusions qu'on fera sur cette théorie concerne la relativité restreinte (ce sera juste un autre truc, proche, mais un peu différent).
*: Pour le moment, je n'ai absolument rien à cirer de tout ce que tu peux dire dans tes points 1 à 7.
Pour le moment, je n'ai absolument rien à cirer de tout ce que tu peux dire dans tes points 1 à 7.
En fait, :-D, tu es en train d'écrire que la preuve que je te donne, tu ne la lis pas. Mais tu ne précises pas si tu la comprends ou pas, enfin je veux dire si tu penses peiner ou pas à la juger.
En retour tu proposes du charabia snob (ce n'est pas péjoratif, mais tu me vois, dyscalculique et âgé, prendre une journée, si ce n'est plus, alors que j'ai des corvées ingrates mais à faire, pour tenter d'acquérir ton dogme sur du calcul intégral appliqué à de la relativité (ce qui est en général, déjà, ce qui montre le problème, très déconseillé, sauf aux experts, c'est un nid à plantes) pour te trouver est ton erreur (ou la mienne si j'en fais une)?
Il ne sert à rien de dire "Lorentz, Lorentz, Lorentz", comme d'autres :-D disaient "Europe, Europe, Europe" à côté d'un calcul intégral. Ca ne fait pas preuve.
Je t'ai donné une preuve et si tu veux tu peux me dire ce que tu rejettes (au moins ce sont des lignes droites et de la RR bateau sans continuité ni intégrales courbes).
Ne prends pas ma réponse pour un refus, je te signale MON INCAPACITE à faire
Avec ces termes: donne ta formule permettant de calculer le temps propre écoulé entre deux instants de la trajectoire.
C'est comme si tu me demandais de te calculer à la main 7023564365 ^ 29 d'ici ce soir.
De nous 2, je considère que c'est toi qui as le plus de chances de pouvoir la preuve de l'autre, c'est tout. J'ai rencontré des tas de gens qui ne s'en sortent pas en relativité et qui pourtant maitrisaient sur le bout des doigts leur formules relativistes, mais ne les appliquent pas correctement.
En ce qui me concerne, je considère que le temps propre a pour définition la "longueur" de la courbe avec pseudo-métrique de Minkowski. Tu peux considérer que c'est arbitraire et que c'est parce qu'on me l'a inculqué
Ca ça ne veut rien dire du tout, ce n'est même pas faux, c'est trop vague. Idem pour tes propos sur l'expérience, là, on est sur un problème bien défini et sans ambiguité, complètement formel de RR. Tout le passage qui suit, ne fera pas avancer notre désaccord, pour un problème bien défini et grossier comme le présent.
Celle-ci est assez simple, tandis que la tienne risque de faire formellement appel à l'accélération propre (ou le bond de vitesse propre, je sens déjà les distributions venir) et les physiciens ont une fâcheuse tendance à ne pas chercher quand ils tombent sur un truc qui, a priori, fonctionne bien et ne présente pas d'incohérence évidente.
- Le coup du bête calcul de "longueur de la courbe avec la métrique de Minkowski" reste utilisé en relativité générale. Moi je ne suis pas allé voir, mais certains prétendent que les calculs de correction d'horloge pour le GPS y ferait appel, je ne vois pas pourquoi je devrais mettre cette assertion en doute.
Je ne sais même pas, alors que je suis quelqu'un de prudent, si le paradigme calculatoire sur les mollusques graduées (que sont les repères de la relativité générale) change "trop de choses", JUSTEMENT pour éviter ou "contrer" le résultat que je signale. Rien a priori ne rendrait invraisemblable ce genre de choses, puisque quand tu vas sur l'étoile polaire en 3H, dans ton repère la Terre a bien souvent dépassé la vitesse de la lumière, puisqu'il a existé de longs moments où elle était à 2H lumière de ta pomme. Or si cet état de fait ne joue aucun rôle ici sur mon exemple simple, en RG, la nécessité de revoir cet perception des repères globaux était incontournable.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
La vitesse abstraite de la causalité est CONSTANTE en ce sens qu'elle est mesurée au même nombre dans TOUS les repères. (J'ai donné la raison, c'est une preuve, pas un "constat" expérimental, à partir de moins que l'altitude où vole le problème).
Je n'ai pas vu la preuve dans les messages avant, est-ce que j'ai mal regardé ?
Dans ce message et d'autres ultérieurs on montre que le "temps propre" tel qu'il est défini dans les textes de "ces gens qui font des calculs" est la SEULE application qui satisfait quelques hypothèses très simples.
Tout d'abord montrons des généralités.
Soit $\left (E,\| \cdot \| \right )$ un espace vectoriel normé réel et $Q$ une forme quadratique continue sur $E$ (ce qui sera automatiquement vérifié en dimension finie). On notera $\Phi: u,v \mapsto \frac{1}{2} \left (Q(u+v)-Q(u) - Q(v) \right )$ la forme polaire de $Q$. Rappelons que $\Phi(u,u)=Q(u)$ pour tout $u\in E$. La continuité de $Q$ est équivalente à celle de $\Phi$.
Soient $a,b\in \R$ tels que $a\leq b$ et $f: [a,b]\to E$ une fonction dérivable.
1°) Si pour tous $s,t \in [a,b]$ on a $Q\left ( f(s) - f(t) \right ) \geq 0$ alors pour tout $x\in ]a,b[$, $Q(f'(x)) \geq 0$.
Soit $x\in ]a,b[$, $V$ un voisinage de $0$ tel que $x+V\subseteq ]a,b[$ et $\varepsilon: V \to E$ une fonction continue en $0$, telle que $\varepsilon(0)=0$ et $f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h \varepsilon (h)$ pour tout $h\in V$. Alors pour tout $h$ non nul dans $V$, $$
0\leq Q\left ( f(x+h)-f(x)\right ) = h^2Q\left ( f'(x) +\varepsilon (h)\right )= h^2\left [ Q\left(f'(x) \right ) +2\Phi \left ( f'(x),\varepsilon (h) \right ) +Q\left ( \varepsilon (h)\right ) \right ] \tag i$$ ce qui montre la positivité de $Q\left(f'(x) \right ) + 2\Phi \left ( f'(x),\varepsilon (h) \right ) +Q\left ( \varepsilon (h)\right )$ et en faisant tendre $h$ vers zéro on voit que $Q\left ( f'(x)\right)\geq 0$ par passage à la limite dans l'inégalité.
2°) Soit désormais $f:[a,b]\to E$ une fonction continue et $\mathcal C^1$ par morceaux satisfaisant la condition de 1°) i.e. $Q\left ( f(s) - f(t)\right ) \geq 0$ pour tous $s,t$. Alors la quantité $\tp Q a b f := \int_a^b \sqrt{Q\left ( f'(s)\right )} ds$ vérifie les propriétés suivantes: 2.1°) Pour tous $n\in \N$, $a_0=a < a_1,... < a_n = b$, si pour tout $i$, la restriction de $f$ à $]a_i,a_{i+1}[$ est affine (i.e. si $f$ est affine par morceaux), on a l'égalité $$
\tp Q a b f = \sum_{i=1}^n \sqrt{Q \left (a_{i+1} - a_i \right )} \tag{ii}$$
2.2°) Pour toute isométrie linéaire continue $\gamma$ de $(E,Q)$ (i.e: $Q \circ g = Q$) on a $$
\tp Q a b f = \tp Q a b {\gamma \circ f} \tag{iii}$$
2.3°) Pour tous $c,d\in \R$ tels que $c < d$ et toute application $\mathcal C^1$ $\varphi: [c,d] \to [a,b]$ telle que $\varphi'(x) \geq0$ pour tout $x$, on a $$\tp Q a b f = \tp Q c d {f \circ \varphi} \tag{iv}$$
Ces propriétés sont quasi-immédiates:
2.1° découle d'un simple calcul, à l'aide de l'égalité $f'(t)=\frac{f(a_{i+1}) - f(a_i)}{a_{i+1}-a_i}$ valable pour tout $i\in \{1,...,n\}$ et tout $t$ dans $]a_i, a_{i+1}[$
2.2° est dû au fait que $(\gamma \circ f)' = \gamma \circ \left ( f'\right )$ (car $\gamma$ est linéaire)
2.3° provient d'un simple changement de variable.
3°) Continuité. 3.1°) Soit $A$ une partie bornée de $E$. Soit $(g_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions continues par morceaux de $[a,b]$ dans $A$ convergeant simplement vers $g:[a,b] \to E$. Alors $$
\int_a^b \sqrt {Q \left (g_n (s) \right )} ds \underset {n \to +\infty}{ \longrightarrow} \int_a^b \sqrt {Q \left (g (s) \right )} ds \tag{v}$$
Comme $Q$ est continue, il existe un réel $M>0$ tel que $|Q(v)| \leq M\|v^2\|$ (edit: $M\|v\|^2$: le signe carré en dehors des normes c'est mieux ;-) )pour tout $v\in E$ et par suite, $\left \{Q \left (g_n(t) \right ) \mid t \in [a,b], n \in \N \right \}$ est une partie bornée de $\R$, contenue donc dans $[-A,A]$ pour un certain $A>0$ et le résultat découle du théorème de convergence dominée (avec la fonction $x \mapsto \sqrt A$ pour majorer les autres).
Ce résultat entraîne que $f \mapsto \tp Q a b f$ est une application continue pour un certain nombre de distances "raisonnables" sur l'espace des fonctions continues et $\mathcal C^1$ par morceaux (par exemple $g \mapsto \|g\|_{\infty} + \|g'\|_{\infty}$).
A suivre ...
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Salut, Edit: en réponse à christophe, pardon à O.J et Foys, je viens de voir vos messages après rédaction et n'ai pas le courage de modifier quoi que ce soit...
Je vais rester cool* en ce qui concerne "les longueurs de courbes", parce que j'ai préféré utiliser une expression raccourcie et un peu vague plutôt que d'expliquer un truc que personne ne prétendant connaître la relativité serait sensé ignorer... Donc j'explique:
Tu sais comment on calcule la longueur d'une courbe dans un espace métrique euclidien ouh... la vache! heureusement que personne ne l'a relevé celui-là (ou une variété riemannienne ou dieu-sait-quoi), ben là c'est presque pareil: Je suis dans mon référentiel galiléen, il est beau, il a toutes les bonnes propriétés que j'aime, je peux y écrire l'expression d'un beau tenseur d'ordre 2 nommé $g$ et qu'est partout pareil (là je le met en double covariant, flemme de mettre des indices partout, je veux conserver les conventions précédentes, parce que voilà...) et pour l'occasion on va lui mettre un petit 1 "en haut à gauche" des $-\frac{1}{c^2}$ sur le reste de la diagonale et puis des 0 partout ailleurs. Tu veux demander pourquoi je définis un truc pareil? À quoi ça correspond? C'est simple, en fait je n'y connais que dalle à la relativité, mais je suis un gros connard et j'invente des notions comme ça, parce qu'elles me plaisent et que je trouve ça cool de faire des trucs chelous pour que personne n'y pige rien avant de fusiller quiconque viendrait me contredire, ça me donne une sensation de puissance (bon en fait, je n'ai peut-être pas tout inventé, j'ai bien modifié une ou deux conventions pour l'occasion, mais on peut s'autoriser à foutre les $c$ où ça nous arrange ou changer tous les signes si on établit une convention et qu'on s'y tient).
Bref, dans mon référentiel galiléen, ma courbe $\Gamma$ je peux la paramétrer en fonction de $t$ (le temps dans le réf gal en question) à l'aide de l'application: $t\mapsto \gamma(t)= (t,\vec{x_\gamma})$ (je l'ai dit, je conserve mes conventions, je me fais chier à en poser, pas toi, alors on garde les miennes!). Tu noteras bien que l'application en question est dérivable en fonction de $t$, sa dérivée $\gamma'$ est d'expression $\forall t, \gamma'(t)=(1,\vec{v})$ on se rappelle que $\forall t, \vec{v}^2< c^2$.
Bon ben $\gamma'(t) g \gamma'(t)$ (c'est mal dit, hein? oui ben, ça me plait comme ça!) c'est bêtement égal à $1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}$.
T'ai-je donné assez d'information pour connecter cette histoire de "longueur de courbe", mes scandaleuses incantations de "Lorentz" (dont les transformation conserve la) "pseudo-métrique de Minkowski" et les fameux $\int_{truc}^{bidule} \sqrt{1-v^2/c^2} d t$ que je fous partout???
Je précise que cette sombre histoire a probablement un vague rapport avec la définition du temps propre que j'utilise et que je suppose qu'en s'emmerdant un peu moins de trois siècles, un surhomme serait peut-être (je dis bien: peut-être) montrer l'invariance de ces intégrales par changement de référentiel galiléen (J'oubliais de préciser: Merde! C'est gratuit, mais celui-là, il me fait réellement plaisir).
Maintenant que j'ai vaguement donné des informations sur une notion qui n'était a priori pas connu de certains intervenants d'un fil soi-disant discutant de relativité restreinte je règle mes comptes avec le mec qui m'a dit:
Si des expressions comme trajectoire de type temps te dérange, c'est vaguement compréhensible, j'avais oublié comment on appelait ça, a priori on appelle ça des lignes d'univers (mais honnêtement, grosse flemme de vérifier le sens précis de cette expression). Mais je considère que j'avais donné assez d'informations sur ce que j'entendais par là pour qu'un mathématicien sache s'en emparer.
Mais que le type qui cause de temps propre ou de je ne sais quoi d'autre sans chercher à définir les termes nomme ça du "charabia snob", ça me reste en travers de la gorge.
J'ai rencontré des tas de gens qui ne s'en sortent pas en relativité et qui pourtant maitrisaient sur le bout des doigts leur formules relativistes, mais ne les appliquent pas correctement.
Une information probablement pertinente! Tu peux être un peu plus précis? Je veux dire vraiment précis, pas comme quand tu parles de temps propre ou que tu lèves de soi-disant paradoxes sans réellement préciser de quoi on parle.
Attends.... Je viens de comprendre: on parle de moi en fait!
Être suffisamment formaté pour être capable de faire un truc doit généralement signifier ne pas s'être appliquer à le comprendre? (ouais! cool! pas de prise de tête! trop content!)
Ah... Ces péquenots tout juste bon pour mettre les mains dans le cambouis... D'où se permettent-ils de me contredire?
J'ai oublié... tu peux me rappeler? C'est qui le snob?
j'ai des corvées ingrates mais à faire, pour tenter d'acquérir ton dogme sur du calcul intégral appliqué à de la relativité
Est-ce qu'un chasseur tente de lever des lièvres sans observer un minimum le terrain de chasse? Qu'est-ce qu'on fait là si tu as réellement mieux à faire?
Rien a priori ne rendrait invraisemblable ce genre de choses, puisque quand tu vas sur l'étoile polaire en 3H, dans ton repère la Terre a bien souvent dépassé la vitesse de la lumière, puisqu'il a existé de longs moments où elle était à 2H lumière de ta pomme. Or si cet état de fait ne joue aucun rôle ici sur mon exemple simple, en RG, la nécessité de revoir cet perception des repères globaux était incontournable.
Tu es en train de me dire que c'est rarement très malin de parler de comparaison de vitesse de deux objets éloignés en relativité générale? Je pose la question parce que la première phrase est au moins aussi difficile à interpréter que mon coup des longueurs de courbe, je ne peux interpréter correctement que la seconde. Bordel! sans blague? Comment j'ai pu passer à côté de ça?
J'admire ta manière de te foutre de ce que peuvent penser et dire les gens avant de les traiter d'abrutis. Je t'ai signalé que cette histoire de correction d'horloge en relativité générale, parce qu'elle est liée à la notion de temps propre et que ce fameux calcul intégral est justement un des trucs qui conserve tout son sens en relativité générale (du coup, ce ne serait peut-être pas si con de s'y intéresser monsieur l'analyse-c'est-bon-pour-les-clampins) et que ça a même donné une application technologique. Comment dans des conditions pareilles as-tu pu t'imaginer que je n'étais pas un minimum initié à la relativité générale. De fait, je ne pas beaucoup plus qu'initié, mais quand dans un précédent message j'écris ça: "parce que moi j'ai juste eu le droit à une loi de conservation locale, qui n'avait, à mon avis, aucun sens globale en l'absence de référentiel sûr", comment parviens-tu à en en déduire que ce genre de problème a pu échappé à mon questionnement? (un petit "Merde" me paraît de nouveau pertinent).
pour te trouver est ton erreur (ou la mienne si j'en fais une)?
[...]
je suis quelqu'un de prudent
C'est vraiment dommage que tu ne puisse pas présenter ta preuve après toutes ces choses édifiantes que tu m'as enseignées, je suis dans les meilleurs dispositions pour la lire.
Pour la prudence, peut-être que ce que je fais là ne l'est pas non plus, mais j'ai envie de dire que c'est parfois discutable.
Après si tu préfère d'une part considérer que faire des références assez directes à des formalismes utilisables est complètement à coté de la plaque et que d'autre part, tes baratins sans définitions sont plus proche de "l'analyse logique de la relativité" que du torchon de Bergson ou des conneries que peuvent débiter des élèves de terminales à qui on a fait l'erreur d'enseigner "des bases de relativité", libre à toi!
Amuse-toi bien avec tes descriptions de l'univers depuis une référence accéléré sans cadre formel. Tu serais le meilleur logicien du monde que je n'aurais quand même pas envie de rester sur ce fil à tourner en rond.
Je ne suis pas prêt d'y remettre les pieds. Supposons que moi aussi, j'ai mieux à faire.
À plus
* Je n'ai pas pu tenir parole, et ne suis pas vraiment resté cool, désolé, mais tu m'as vraiment mis en rogne.
avant de lire le post de titi quand-même je me dois d'adresser UN MERCI GEANT A FOYS DONT CA NE M ETONNE PAS QU IL SE SOIT INVESTI.
Mais quand j'ai fait défiler la fenètre, autant ne pas mentir, je ne suis même pas foutu de trouver s'il a ou pas confirmé ou infirmé mes dires. Sans même parler de suivr eles calculs que mon faible niveau ne me permettrait au mieux de comprendre au bout de plusieurs jours de scrutage.
J'espère que d'autres en profiteront vite par contre. .
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@ OJ: l'équivalence de la continuité entre $Q$ et $\Phi$ provient des formules:
$\forall x\forall y\in E, \frac{1}{2}\left (Q(x+y) - Q(x)- Q(y)\right ) = \Phi(x,y)$ et $\forall z\in E, Q(z)=\Phi(z,z)$ (d'autres formes bilinéaires peuvent peut-être donner $Q$ mais j'ai défini $\Phi$ comme ça dans mon post).
D'autre part si $Q$ (et donc $\Phi$) est continue, il existe $M\geq 0$ tel que pour tous $x,y\in E$, $|\Phi(x,y)| \leq M \|x\| \|y\|$ (continuité des applications multilinéaires définies sur des espaces vectoriels normés) et donc pour tout $x$ (en posant $y:=x$) on a $|Q(x)| = |\Phi(x,x)| \leq M\|x\| \|x\| = M\|x\|^2$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Foys: c'est parce que tu as écrit $\varphi$ dans ta phrase au lieu $\Phi$, et oui pour la deuxième, $Q$ est forme bilinéaire pas linéaire. Je ne parlais pas de maths mais de fautes de frappe même si moi j'ai fait une erreur de maths lol.
mais quand dans un précédent message j'écris ça: "parce que moi j'ai juste eu le droit à une loi de conservation locale, qui n'avait, à mon avis, aucun sens globale en l'absence de référentiel sûr", comment parviens-tu à en en déduire que ce genre de problème a pu échappé à mon questionnement?
Je n'ai jamais dit que ça t'a échappé, je t'ai dit que la RG traite peut-être AUTREMENT le problème discuté, et que n'étant pas compétent en RG, je ne peux pas savoir.
Et merci pour ton brice de Nice, excellentissime. Mais, je n'ai pas réellement compris si tu voulais que je le vois comme une preuve. Comme je te l'ai dit, je ne suis pas compétent (après en une journée, si si, je pourrais peut-être discuter des intégrales, mais moins qu'une journée, je suis trop faible pour le faire en quelques heures). Donc, je ne peux MEME PAS te répondre. Je ne peux EN PARTOCULIER pas te dire que je suis convaincu.
Par contre, je ne demande qu'à me tromper. J'adore ça. Mais je préfère y aller en détails. Alors ce que je vais faire, je vais à nouveau te rédiger une preuve qui cette fois-ci SERA PRESQUE formelle, et tu me diras "sans peiner" l'étape que tu rejettes. Mais ça va pas etre dans les 5mn. (Peut-être ce soir, mais je veux manger avant)
Je nele ferais pas si ton style brice de Nice + une certaine façon de t'exprimer ne m'avait pas convaincu que tu sera en mesure de lire et critiquer. Pardonne-moi de ne pas l'avoir fait avant, mais, comme je ne m'y connais pas en calcul, je suis hésitant à partager un argument formel (et très long à rédiger) avec chaque passant. L'an dernier j'y ai laissé des heures devant un gars qui s'appelait Ltav et si je n'avais pas eu la chance que des experts (Foys et surtout, qui a passé du temps à répondre dans tous les sens à Ltav, GBZM) soient venus confirmer mes dires, ça aurait été en pure perte pour moi.
Comme je ne vais pas sur les fils, et que je juge rarement les gens, ton pseudo titi, me disait quelque chose, mais sans plus, je ne savais si tu étais un gars qui passait parlà, et voulait se taper une petit discussion sur des trucs qu'il connait mal, ou sincère.
Maintenant je te crois sincère.
Et je vais aussi attendre le verdict de foys (qui n'a pas transigé***), car s'il me dit que je me trompe ON (toi comme moi) gagner&a du temps.
Remerci pour ta délicieuse prose de vestaire, ça fait du bien en plein confinement de croiser des hommes qui s'expriment avec virilité ludique et une forme de jeunesse habituée des bars de nuit.
*** S'il transige, il est fort probable qu'il ne se trompe pas. Il me connait, sait que je ne parle pas à la légère, donc si pas d'accord, il va tirer et je serai mort :-D (enfin condamné à chercher ce qui ne va pas).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Bon titi, je vais m'attaquer à une preuve complète. Mais avant:
1/ je n'arrive déjà pas à voir en quoi ton intégrale se propose d'intégrer le temps propre. Tu ne le dis pas toi-même ou j'ai loupé l'endroit. Tu intègres une fonction d'accord, mais à aucun moment tu écris que c'es tle temps propre.
Je veux bien être ignare, mais je suis sincère. Pour moi la lettre gamma minuscule n'est pas "magiquement" une représentation de la variation infinitésimale du temps propre.
Si tu dénotes (tu peux l'appeler $f$) franchement que la viaration infinitésimale du temps propre (tous calculs faits dans le repère initial et aucun autre), promis je regarderai son dénominateur).
ensuite nos deux approches ne sont pas si différentes, sauf que je somme une suite pas une intégrale. Bon, ça change peu de choses. Et ensuite, incapable de calculer, je fais un raisonnement qui me semble précis (donc apte à être contesté si besoin) pur prouver que cette somme est finie.
A noter que même si je n'y comprends rien à ses calculs, je trouve foys prudent, et je "parie" qu'il explique tranquillement qu'une intégrale est encore une limite de somme de suites. Comme li dit, il avancera aux posts ultérieurs.
Et je vous admire à vouloir traduire le problème ici précis en termes de l'invariant $dx^2-cdt^2$. Mais je n'ai à peu près jamais rencontré personne qui résolve des problèmes comme ça (je ne parle pas de moi) en dehors de professionnels aguerris. Et là, je parle quand ce sont des $\Delta$ majuscules et des vitesses contantes. Tout simplement parce qu'on ne se rend compte de rien, même si les calculs sont justes.
Bon, je commence tranquillement au post suivant à te rédiger ma preuve "rien que pour toi".
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
1/ un point matériel que je vais appeler le voyageur va faire un voyage qu'il considèrera comme uniformément accéléré par morceaux. Accélération constante
2/ Ce sontles moments où il n'accélère pas qu'on va considérer. Durant ces moment il reste à vitesse constante.
3/ Il part dans le direction "vers $+ \infty$"
4/ On ne peut pas pour le moment donner l'équation de sa position ni de son temps propre car c'est compliqué, vu que pour lui l'accélération est constante mais pas pour le repère initial.
5/ Ce gars sera le voyageur $0$. On va en fait considérer une suite et même une fonction de $\Z$ à valeurs dans les voyageurs, dont voici les définitions.
6/ à l'instant t (du repère initial), la position du voyageur $n$ est $f(t) + n$ et ce durant toute l'histoire.
7/ Nous nous intéressons principalement à le vie du voyageur $0$. $f'(0)=0$. De plus, on admet que l'histoire se déroule depuis toujours et continuera toujours, autrement la fonction $f$ est paire $\forall t: f(-t) = f(t)$
A SUIVRE.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
8/ On convient que pour tous $n,t$, quand $f(t) = -n$, le voyageur $n$ (qui est alors à la position $0$) émet un photon vers $+\infty$.
9/ Je vais donc te prouver (enfin si je ne fais pas d'erreur moi-même), qu'il existe un $n$ tel que le photon émis par $n$ ne dépassera JAMAIS le voyageur $0$, autrement dit qu'il existe $t,n$ tel que $f(t) = -n$, vérifiant
$$\forall t'>t: c(t'-t) -n < f(t)$$
10/ Il suivra que j'ai raison. Est-ce que tu es d'accord déjà avec ce préambule? (Sinon, ce serait idiot de continuer).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
J'ai un argument a priori IMPARABLE qui va pouvoir t'petre confirmé par foys et toute personne ayant un tant soit peu déjà travaillé en RELATIVITE RESTREINTE basique de chez BASIQUE!
Même pas besoin de repères ou quooi ou qu'est-ce que. Et foys , fervent défenseur du décalage vers le rouge devant l'Eternel, s'il trouve une erreur alors je serai vachement content de ME TROMPER;
T'es prêt? Alors tiens-toi bien c'est parti et accorche-toi, parce que je suis au regret de te dire que ..
tu vas comprendre!
Voici mseirus-dames l'histoire de Titi vivant un mouvement accéléré avec des pauses à vitesse constante pour manger un sandwich.
Mais heureesement, nous avons eu le bon gout de baliser son voyage. Au début cheque minute, il voit un photon par mn le dépasser et il est tout content. En fait, nous le décor dans le répère d'origine on a juste prévu qu'une file infinie de photons vogue vers $+\infty$ espacés d'une minute lumière. Donc il les voit passé car il est encore arrêté.
photon1 - photon2 photon3....
Il accélère une premiere fois, assez longuement, puis .. pause sandwich.
photon 1500, puis 2 minutes plus tard, photon 1501, puis encore 2mn plus tard, photon 1502.
"Ha Ha se dit-il, j'ai changé de repère, maintenant pour moi l'espacement entre 2 photons est de 2 minute -lumière.
Bon bon, le sandmwich est fini. Il refait à nouveau exactement la même chose. Il accélère (gentiment, et assez longtemps), puis repause.
photon 5078, puis QUATRE MINUTES PLUS TARD, photon 5079, photon 5080 encore 4 minutes après. Olala se dit-il, quand je fais ma pause maintenant, je croise 4 fois moins de photons qu'au début. Je ne peux pas les attendre, car ils sont très espacés.
Il redémarre, puis repause: photon 1405 puis HUIT MINUTES PLUS TARD, photon 1406
Bouuuuu. maintenant je ne vois que 2 photons par pause.
And SO ON
Au bout d'un certain temps. Bon, j'espère que j'aurai de la chance car il y a maintenant un temps d'écarts de 10 ans entre deux photons. Donc c'est vraiment un coup de bol quand il y en un qui me double. C'est comme les eclipses. Heureusement que j'ai la vie éternelle, car quand je serai arrivé au bout, je n'aurai été doublé que par un nombre fini de photons. Il peut même faire le calcul:
80 + 40 + 20 + 10 + 5 + 2.5 + 1.25 +....
Somme du nombre de photons qui le doublent par pause sandwich.
Maintenant explique-moi comment il peut être doublé par une infinité de photons dans ces conditions
Pour arriver à faire que cette somme soit infinie mon cher titi, faudra vraiment que tu me prouves que juis vraiment devenu encore 10 fois plus dyscalculique ou que tu me trouves à quels moments, des photons en profiteraient pur le doubler en loucedé pendant ses phases d'accélération!!
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
NB: il existe des applications $f,g$ croissantes et dérivables de $\R_+$ dans lui-même et telles que $f(x)<g(x)$ pour tout $x\in \R_+$ et $f'(x) >g'(x)$ pour tout $x$. Par exemple $g:=x\mapsto x+\frac{1}{1+x^2}$ et $f:=x\mapsto x$.
Donc attention au coup du "le photon rattrapera le vaisseau car il va plus vite que lui", ce n'est pas forcément vrai (il y a un horizon pour les mouvements accélérés, cf https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_motion_(relativity)).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Cela étant la vraie formule du temps propre a été donnée dans le post de Titi le curieux. On ne comprend pas comment tu déduis la finitude du temps propre de la finitude du nombre de photons reçus.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Christophe c est en train de faire un tour de passe passe. Le problème vient du fait qu'il veut faire un raisonnement physique en dehors du cadre mathématique de la relativité générale ou de la RR. La physique mathématique de la RG (idem en RR) définit de maniere exacte ce qu'est une trajectoire de type temps ou de type espace ou nulle. Il faut des conditions de régularité assez poussés (cf. The Large Scale Structure of Space Time de Hawking & Ellis Cambridge University Press 1973). Tant qu'on se limite à un nombre fini d'accélérations décélérations pas de problème, mais si le nombre d'accélérations décélérations de son observateur bien que dénombrable est infini; qui garantit par conséquent à nos amis de la physique mathématique que la trajectoire obtenue soit assez régulière pour être définie di manière correcte et donc de pouvoir calculer de facon correcte le temps propre sur la susdite trajectoire ?
La conclusion du raisonnement de Christophe C se fait à l'infini et c'est là tout le problème de physique et mathématique.
C'est un problème mal défini tout simplement, qui n'a aucune réponse correcte dans le cadre de la RR ou RG. Si Christophe c veut esquisser une nouvelle théorie de la relativité où son problème serait bien définie du point de vue mathématique qu'il procède mais il faudra alors verifier que sa théorie décrit bien l'univers physique.
2/ Je ne fais pas la moindre relativité générale ici
3/ Je décris une histoire simple, d'une grand-mère qui roule sur une route infinie: elle part de 0, elle roule une minute pour atteindre 3km/h, puis essouflée, elle se repose, donc roule à la vitesse contante atteinte pendant 1an, puis, bien reposée, ayant pris quelques vitamines dans son sac à dos, elle re-roule une minute pour atteindre 6km/h. AND SO ON. Et attention, elle fait chaque fois ça, bien évidemment dans son nouveau repère. Le repère initial n'est pour elle qu'un décor qui défile.
4/ Bien évidemment, il n'y a ni vélo, ni grand mère, ni gravité, mais un simple point mobile, qui adopte cette histoire de grand-mère, parti du point gradué $0$ du repère initial, à la vitesse initiale $0$. Histoire qui bien évidemment, va ressembler longtemps à une histoire très classique, je pense que personne ne niera qu'on croise tous les jours des grands-mères à vélo, ayant adopté une vie Vegan et verte.
5/ On peut donc THEORIQUEMENT théoriquement décrire son âge à tout instant $t$ du repère initial. A $t$, elle a $f(t)$. Par exemple, de manière infime, après sa première accélération qui l'a menée à rouler à 3km/h, et durant un certain nombre de mois, elle aura constamment 70 + (t - 0.000...31974) ans (j'admets qu'elle a 70ans à l'instant $0$, où le tout petit nombre décrit son très léger rajeunissement dû à la première accélération.
6/ Le problème que nous décrivons ici est un exercice de calcul de taupin (que je ne sais pas faire de manière calculatoire) qui est:
6.1/ Version cc: $f$ est strictement croissante et majorée
6.2/ Version Foys prudent et titi, ardie: $f$ tend vers l'infini.
7/ Cette question a une réponse et j'espère que j'ai tort. J'espère que la version cc est fausse!!!!
Pourquoi? Parce que comme j'ai une "preuve" qu'elle est vraie et surtout que je viens de passer 2H à en examiner TOUS LES DETAILS, je suis maintenant convaincu qu'il me faut attendre le calcul EXACT que vont faire titi et foys. Car s'ils ont raison, j'ai une conséquence inouie ET DEDUITE de ça.
8/ S'ils ont tort, ce sera très décevant, car j'aurais raison, mais alors hélas ma conséquence DEDUITE (donc sans ajout d'axiome) s'envolera à jamais dans la longue liste de mes rêves déçus.
9/ Afin de ne pas les décourager de prouver qu'ils ont raison, je ne donne pas la preuve que j'ai raison. Sinon, je risque de tordre le cou à la motivation.
10/ Le problème est bien défini, formel, il n'est pas question ici de me répondre de bonne foi que la main invisible qui va accélérer le point grand-mère n'existe pas in the real world, et que in the real world, toute accélération corporelle est corrélée avec de l'énergie qui la permet et des déformations induites d'espace-temps.
Ca s'appellerait de la malhonnêteté intellectuelle. Ce n'est pas que cen'est pas pertinent, mais on ne fait de la science comme ça. Il faut tirer fort sur les axiomes pour que le jus sorte. Quitte à voir après.
En outre "in the real world" la TQ s'applique très vite et la RR comme la RG deviennent fausses. Donc pas de pertinence.
11/ J'attends avec gourmandise la somme de la série grand-mèrienne proposée, te vive les grand-mères, elles nous sont précieuses.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Tout d'abord, je crains un petit imbroglio dont je suis responsable dans le précédent et qui expliquerait peut-être pourquoi christophe me dit que j'explique juste la formule du temps propre avec des "$\gamma$" : quand j'ai nommé $\Gamma$ ma trajectoire, c'est parce que j'ai l'habitude de nommé $\Gamma$ n'importe quelle courbe (je ne sais plus d'où j'ai pris cet usage...). Du coup, j'ai utilisé un $\gamma$ en indice pour une fonction "$\vec{x_\gamma}$" qui avait un rapport avec une courbe et enfin nommé une fonction $\gamma$ (la fonction $t\mapsto (t, \vec{x_\gamma})$, sans que celle-ci là ait un rapport direct avec $\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Du coup dans le contexte ça peut prêter à confusion surtout quand j'écris $\gamma(t)g\gamma(t)$ (en oubliant de préciser $d\gamma/dt$ au lieu de juste $\gamma$) sans rien préciser de ce que j'entends par là ("application de la forme quadratique g à $d\ (t, \vec{x_\gamma}) / dt$").
Précision concernant la définition du temps propre:
Il n'y a pas de "preuve" que les fameuses intégrales correspondent au temps propre, tout simplement parce qu'en fait on définit le temps propre par rapport à l'une ou l'autre de ces intégrales (et après on a juste à prouver qu'elles donnent toutes la même chose).
Il n'y a pas, à ma connaissance, une définition du temps propre d'un objet en accélération avec des histoires de "comptage de photons" provenant d'un point "fixe dans un référentiel galiléen", comme semble le penser christophe (je ne vois pas ta définition du temps propre, j'en déduis donc une de ce que je perçois de ton discours).
La définition est donc, comme l'a précisé Foys, liée au fait qu'il n'existe qu'une seule forme quadratique "compatible" (liée à ce qu'on appelle la pseudo-norme de Minkowski) avec la relativité, d'où mon raccourci de la "longueur entre deux instants de la trajectoire de la courbe" (note: c'est une convention, en relativité, on appelle "instant" un point de l'ensemble "espace-temps" $E$, de $\mathbb{R}^4$ si tu préfères, les mots "point" ou "élément" ayant probablement des définitions trop flous dans la culture physicienne)...
N'ayant pas sa définition du temps propre, j'avais mis au défi Christophe de nous la définir en disant qu'il était possible d'en inventer. On peut en effet en trouver des tonnes mais d'expressions dégueulasses, et qui n'ont a priori pas d'intérêt. Un exemple simple et faisant quand même appel au vrai temps propre:
Admettons la définition du temps propre, mais il se trouve que moi, je ne suis pas au courant, mais par chance, j'ai une horloge qui fonctionne très bien, mais qui a juste un petit défaut: lorsqu'elle subit une accélération propre $\vec{\alpha}$ (je le note comme je veux), elle "ralentit", sa "vitesse de comptage du d'un facteur $e^{-\vec{a}^2/a_0^2}$ (avec $a_0$ une constante qui dépend de l'objet). L'expression du "carré de l'accélération propre d'un système en fonction de sa vitesse et son accélération dans un référentiel galliléen est d'expression (si je n'ai pas fait d'erreur, et puis c'est probablement simplifiable): $\alpha^2(v,dv/dt)= \gamma^3\left( 2\frac{d\gamma}{dt}\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{d t} + \gamma \left(\frac{d \vec{v}}{dt}\right)^2 \right) -c^2 \left(\frac{d\gamma}{d t}\right)^2$ avec $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 -\frac{\vec{v}^2}{c^2}}}$.
Du coup, si je n'utilise que cette horloge, je peux prétendre que l'expression que l'expression du temps propre entre deux instant d'une trajectoire de type temps, repérés par $t_0$ et $t_f$ dans je ne sais quel référence galiléen sera d'expression: $\int_{t_0}^{t_f} \exp\left(\left(\frac{\alpha(\vec{v},d\vec{v}/dt)}{a_0}\right)^2\right) \sqrt{1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}} dt$ (au lieu de $\int_{t_0}^{t_f} \sqrt{1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}} dt$). C'est bête, mais cette expression (parmi d'autres), respecte les conditions que j'avais proposé à christophe.
Donc voilà, le temps propre tel qu'on le propose est plutôt une définition, parce qu'on l'estime correct et qu'on aurait bien du mal à en trouver une plus simple.
Expérience de l'objet qui ne recevra pas tous les photons qu'on lui enverra:
Ce qu'on peut en déduire assez immédiatement c'est que la fonction (définie sur $\mathbb{R}^+$) $x(t)-ct$ est bornée (la fonction $x$ est la position de l'objet en accélération dans le référentiel de départ, supposé galiléen, et $t$ le paramètre temps qu'on associe à ce même référentiel de départ), la vitesse étant toujours définie, on obtient juste que la fonction $t\mapsto \int_{t'=0}^{t'=t} 1-\frac{v}{c} dt'$ est bornée, ce qui est insuffisant pour déduire la convergence du temps propre (toujours d'expression $\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt'$) et si on va chercher l'application "numérique" (bon là, je la re-pompe, toujours au même endroit), l'accélération propre constante ou "très régulière" suffit à échapper à des photons. Du coup la mémé sur son vélo (on est bien d'accord pour dire que les +3km/h toutes les minutes c'est à chaque fois par rapport au référentiel où elle était 1 minute avant?) doit avoir une durée de vie infinie tout en échappant définitivement à des photons émis à partir de je ne sais quel date depuis son point de départ (qui lui n'a pas accéléré).
Personnellement, je ne vais pas faire d'application numérique (pour calculer ce que ça donne exactement quand l'accélération est faite par à-coup ou calculer savoir à partir de quel $t$ les photons émis du point de départ n'atteigne plus la grand mère) mais je suis plutôt sûr de ce que je dis. En ce qui concerne la mémé, c'est déjà cruel de la condamner à pédaler pour l'éternité, on ne va pas en plus lui demander de faire de la mécanique quantique. A priori, elle n'en a pas besoin pour ce qu'elle fait.
Du coup la mémé sur son vélo (on est bien d'accord pour dire que les +3km/h toutes les minutes c'est à chaque fois par rapport au référentiel où elle était 1 minute avant?) doit avoir une durée de vie infinie tout en échappant définitivement à des photons émis à partir de je ne sais quel date depuis son point de départ
personnellement, je ne vais pas faire d'application numérique (pour calculer ce que ça donne exactement quand l'accélération est faite par à-coup ou calculer savoir à partir de quel $t$ les photons émis du point de départ n'atteignent plus la grand mère) mais je suis plutôt sûr de ce que je dis
Il me reste à attendre le renforcement*** ou la contradiction de foys avec ton propos. Mais ça sent le supertruc final. En effet, "la preuve" que je donne du contraire est très simple (ce que j'appelle contraire est qu'une infinité de photons la dépasseront), donc, avec nos deux arguments, on devrait avoir une conclusion assez spectaculaire. (hélas pas $0=1$ est un théorème de ZF, car il s'agit de physique, mais un très très beau truc).
*** à noter que foys a déjà validé ta formule explicitement, il l'a écrit "la formule du temps propre de titi est correcte". J'espère qu'il continuera de valider!!!! (J'ai )peu près suivi ton argumentation cela dit, mais la partie calculs ne me parle quand-même pas énormément, faut bien le dire, j'ai même passé pas loin de 30mn à m'assurer ce matin, en tournant dans le jardin de ma résidence que $\int [x\mapsto \sqrt{1 / (1+x^2)}]$ converge "au même titre que" $[x\mapsto 1/x]$ (enfin diverge au même titre je veux dire). Je fais gagner du temps à tout le monde en me mettant de coté dans les calculs.
Rien à voir, comme il s'agit d'un titre de paragraphe dans ton post, tu as écrit "tout" au lieu de "tous", donc je pense que tu préfères le savoir et corriger.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Bah, si tu veux un peu de détail: pour l'accélération propre constante, clique ce lien (toujours le même, c'est quand même pratique les formulaires). Pour un cas d'à-coup régulier, tu pourras faire un encadrement. Si tu utilises l'expression du $x(t)$ qu'ils donnent (donc là, on revient à l'accélération constante), on voit assez bien l'asymptote d'équation $c(t-c/a)$, et si tu reste près du "lance-photon", tu sais donc que tu peux l'éteindre après une durée de $c/a$ (avec 3 km/h/min, a priori, ça donne un truc de l'ordre de 680 ans) et on a déjà vu que le temps propre de la mémé n'est pas borné. Moi, ça me suffit.
Merci, je vais repasser sur tout ça de toute façon, là, j'attends une réaction de foys. Je serais étonné à ce qu'il n'air pas pensé à ce que je pense, et donc il va peut-être nous revenir avec un pack complet d'arguments. Cette histoire est passionnante car de manière assez grossière, j'avais depuis longtemps choisi le point de vue borné (par mes arguments, et IR étant complet, je pliais l'affaire). Je m'étais fait à cette idée sans plus de procès, et j'en parlais peu.
Mais si elle a le temps de vieillir jusqu'au bout dans notre univers, là, ça rebat les cartes et devient au delà du kiff.
J'essaie d'économiser l'écran blanc qui m'explose les yeux et ma presbytie, c'est pour ça que je ne reste pas trop connecté, hier je l'ai payé je voyais vraiment tout flou en fin de journée.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Oui, c'est ça, on a une suite géométrique de raison dans $]0,1[$. Sa somme est finie. Par contre, je pense que foys et titi ont raison, mais j'attends de voir comment ils le démontrent car j'ai une conséquence gigantesque.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Oui, c'est ça, le nombre de photons par instant discret (supposés choisis, par exemple la minute) qui le doublent est multiplié par une constante dans $]0,1[$ pour un mouvement uniformément accéléré.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ce que tu as supposé apparemment christophe c, est que le nombre de photons reçus par la grand-mère est égal à son temps propre (plus une fonction bornée ou quelque chose comme ça) alors qu'il n'en est rien.
$\newcommand{\tp}[4]{\mathcal L^{#1}_{#2,#3} \left ( #4\right )}$
Soit $c>0$. On se place dans $\R^4$ muni de la forme quadratique $q:=(t,x,y,z) \mapsto c^2t^2-x^2-y^2-z^2$. On note $Q:=\frac{1}{c^2}q$.
Soit $I$ un intervalle et $f: I\mapsto \R^3$ une fonction. On pose $\theta (f)= s \in I \mapsto \left (s, f(s)( \right ) \in \R^4$. On obtient donc une fonction à laquelle on peut appliquer les raisonnements et opération du message en lien.
De plus: 3°) il y a équivalence entre:
i)$f$ est $c$-lipschitzienne ($\R^3$ étant muni de sa norme euclidienne usuelle)
ii) pour tous $u,v\in I$, $q\left ( \theta (f)(u) - \theta (f) (v) \right ) \geq 0$
iii) pour tous $u,v\in I$, $Q\left ( \theta (f)(u) - \theta (f) (v) \right ) \geq 0$
l'équivalence entre ii et iii provient simplement de la définition de $Q$ (qui vaut $\frac 1 {c^2} q$), quant à i <=> ii, cela découle, pour tous $u,v$ de l'égalité $q\left ( \theta (f)(u) - \theta (f) (v) \right ) = c^2 |u-v|^2 - \|f(u) - f(v)\|^2$. Cette quantité est positive si et seulement si $\|f(u) - f(v)\| \leq c|u-v|$.
On suppose désormais $f$ continue et $C^1$ par morceaux. Alors $\theta(f)$ l'est aussi et on pose, pour tous $a,b\in I$ tels que $a<b$, $\tau_{a,b} (f) := \tp Q a b {\theta (f)} = \frac{1}{c}\tp q a b {\theta (f)}$ (cf lien).
4°) On a les égalités $$\tau_{a,b} (f) =\frac{1}{c} \int_a^b \sqrt{c^2 - \|f'(s)\|^2} ds= \int_a^b \sqrt{1 - \frac{\|f'(s)\|^2}{c^2}} ds \tag{vi}$$ par un simple calcul.
Lorsque $f$ est affine par morceau, $\theta(f)$ l'est aussi. De plus le caractère affine par morceaux d'une fonction est invariant par changement de repères lorentziens et dans ce cas $\tau_{a,b}(f) = \sum_{k=1}^n \sqrt {Q\left (\theta(f) (a_{i}) - \theta (f) (a_{i-1}) \right)}$ où $a=:a_0 < ,..., < a_n:=b$ est une suite de réels tels que $f|_{]a_{i-1},a_i [}$ est linéaire pour tout $i$ (cf lien).
Si $f$ est constante, $\tau_{a,b} f = b-a$.
Cette dernière propriété revient à dire que dans un repère où $f$ est constante, $\tau_{a,b} (f)$ est égal à la "durée" de $f$.
$\tau$ est ce que le monde entier (sauf peut-être christophe c) appelle le "temps propre" de $f$ entre $a$ et $b$.
*****************************
$\newcommand{\et}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf T}}}$
$\newcommand{\ex}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf X}}}$
$\newcommand{\ey}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf Y}}}$
$\newcommand{\ez}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf Z}}}$
Soit $E$ un espace affine réel de dimension $4$, $q$ une forme quadratique de signature $(1,3)$ sur la direction $\vec E$ de $E$ et $(0,\et,\ex,\ey,\ez) $un repère affine tel que pour tous $t,x,y,z\in \R^4$, $q(t\et+x\ex+y\ey+z\ez)= c^2t^2-x^2-y^2-z^2$.
Soit maintenant $\tau'$ une application de l'ensemble des applications $c$-lipschitziennes affines par morceaux d'un segment dans $\R^3$ telle que 1°) $\tau'$ respecte la relation de Chasles (pour tous $p,q,r\in \R$ tels que $p\leq q \leq r$ et toutes $f:[p,q]\to \R^3$ et $g:[q,r]\to \R^3$, $\tau'_{p,q} f + \tau'_{q,r}(g) = \tau'_{p,r} (h)$ où $h$ est une fonction telle que $h|_{[p,q]}=f$ et $h|_{[q,r]} = g$).
2°) $\tau'$ coïncide avec la durée (la longueur de l'intervalle de définition) pour toutes les fonctions constantes
3°) $\tau'$ est invariante par changement de repère lorentzien (applications affines de $E$ dans $E$ dont la partie linéaire est dans la composante connexe du neutre du groupe des isométries de $q$. Je l'énonce comme ça pour simplifier mais on peut décrire algébriquement ce sous groupe. Naturellement, une application invariante par la totalité du groupe d'isométries va vérifier ça mais le sous groupe en question est celui des changements de repères qui ne renversent pas le sens du temps et préservent l'orientation de l'espace -i.e. ont un déterminant positif).
Alors (via de simples calculs) sous les hypothèses vertes ci-dessus, pour tous $n\in \N$ $a_0,...,a_n\in \R$ tels que $a_{i-1}<a_i$ pour tout $i\in \{1,...,n\}$ et toute $f\in C^0\left ( [a_0,a_n]\right )$ dont la restriction pour tout $i$ à $[a_{i-1}, a_i]$ est affine, on a l'égalité
$\tau'_{a_0,a_n} (f) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{c} \sqrt{c^2(a_k - a_{k-1} )^2 - \|f(a_k) - f(a_{k-1})\| ^2 } = \sum_{k=1}^n \frac{1}{c} \sqrt {q \left ( \theta(f)(a_k) - \theta(f) (a_{k-1}) \right )}$ autrement dit:
[size=large]$\tau'_{a_0,a_n} (f) = \tau_{a_0,a_n} (f)$ avec les notations du paragraphe précédent.[/size]
$\tau' = \tau$ s'appelle le temps propre de $f$ entre $a$ et $b$. Si on prolonge $\tau'$ à toutes les fonctions $C^1$ par morceaux par continuté dans un sens raisonnable, la notion de temps propre obtenue va coïncider avec celle du premier paragraphe d'après mon message en lien.
D'autre part on peut concernant les seules fonctions affines par moceaux, faire tout ce qui précède dans la théorie des corps réels clos et donc: IL N'Y A PAS DE CONTRADICTION (théorie complète et décidable).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Merci Foys!!! Ton post va m'être précieux. Comme je le disais hier, je pensais me tromper en ayant finalement retrouvé par mes propres moyens que le temps propre est infini (je raisonne sans calcul) et donc que titi et toi aviez raison, et donc j'attendais un argument formel avec des intégrales car je ne savais pas traiter les cas non affines par morceaux.
[large]Il est donc clair que je me suis trompé[/large], et d'ailleurs, tu comprends bien "comment j'ai fait" pour me tromper, puisque comme tu le dis à juste titre, j'ai considéré que quand on reçoit une somme finie (je parle continument: flux de photons, ici) de photons, on vit un temps fini.
Mais, c'est génial car ça m'apporte beaucoup plus d'avoir eu tort que d'avoir eu raison dans le cas présent.
Effectivement, la perception de Mamy quand elle a un âge infiniment grand (à la fin des temps), puisqu'on sait maintenant qu'elle atteindra cette âge à vélo, est que l'origine du repère initial est à une distance finie*** d'elle. Or le fait qu'elle vive éternellement dans ce monde** lui permet avec des complices de jouer aux laborantins avec cette distance finie.
** d'où que je préférais me tromper pour ne pas être face à "mais elle n'aura pas le temps"
Un très grand merci à vous deux et une invitation aux lecteurs courageux à voir dans cette contine le modèle des trous noirs. En effet, la distance finie de l'origine à la Mamy et l'arrêt de l'horloge de l’origine (du moins de ce qu'en reçoit la Mamy via les photons qui en partent, décrit très exactement le phénomène trou noir. Et ça va très loin, car en fait, de toute part les photons reçus par la Mamy à l'infini lui arrivent ... de cette origine, sauf s'il venaient RIGOUREUSEMENT de l'avant de la Mamy. Autrement dit un point va se mettre à remplir tout le ciel de la Mamy et ce point est l'origine du repère initial où elle y verra le temps s'arrêter et à distance finie d'elle (une distance a priori oscillante, mais par un calcul on doit pouvoir trouver UN point à distance constante dans le cadre d'un mouvement uniformément accéléré, et non pas affine par morceaux.
Je raconterai ultérieurement ce qu'ils font.
*** ie dans les repères de la mamy, la distance entre elle et l'origine du repère initial est BORNE. Il ne dépasse pas un certain nombre. Ona un phénomène d'accordéon.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je profite que le fil remonte pour répondre à ta question OJ: si la sup de vitesse de causalité dépendait du repère, il suffirait de se servir d'un autre repère pour améliorer sa propre sup.
On a longtemps été habitués à penser cette sup comme infinie, d'où le côté surprenant depuis la RR.
Cependant, je crois que c'est une "erreur" qui ne concerne pas que la physique: la seule façon "raisonnable" de justifier la transitivité du parallélisme est ... de faire se couper les droites sur un horizon dont on prétend qu'il a une nature de droite.
Je crois que c'est un peu pareil pour les réflexions relativistes: le projectif permte de mieux voir.
J'en reviens à la Mamy: ce que je n'avais pas dit, c'est qu'il y a une infinité de Mamys :-D, et elles se suivent toutes en cohérence, et papotent entre elles en faisant du vélo.
Le photon émis à 15H qui n'atteindra jamais la première Mamy, n'atteindra pas non plus les autres. Ce qui permet à la première Mamy de trouver une contradiction dans le fait que l'origine se trouve à une distance finie, donc face à un numéro fini de Mamy-clone.
Plus spectaculairement encore, la première Mamy pourrait très bien être seule, mais arrivée à une vitesse suffisante, sortir de la sacoche de son vélo ses dépliants de chez IKEA et son petit singe en lui demandant d'aller se mettre face à l'origine pour comprendre ce qu'il se passe. Le singe lui dirait alors "C'est bon Mamy, je suis en face, je te confirme bien qu'il y a un photon émis toutes les heures et que l'horloge ne bouge pas de 14h59....
Bref, on voit que le formalisme de la RR ne convient absolument pas à un certain nombre de situations "en principe possibles".
C'est certes connu, mais négligé. La principale cause de ça, à mon avis ça a été de vouloir maintenir cet étrange principe d'unimonde que rien ne justifie, et même que beaucoup de choses de tous les jours contredisent, à commencer par notre violation aisée, malgré notre continuité du TVI.
J'ai l'impression que si on creuse, bon, il faut y aller assez violemment certes, car il ne s'agit que d'une géométrie, on obtiendra à peu près les mêmes interrogations que celles produites quantiquement.
Un exemple simple d'ailleurs est que l'indépendance causale interdit toute régularité de la fonction-destin (ie l'application qui à chaque point de l'espace associe sa couleur), puisque sinon, la moindre différence quelque part, en entraine une partout (principe des zéros isolés)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
J'ai calculé la position d'un mobile en accélération uniforme par rapport à son temps propre $\tau$, dans un espace-temps de dimension 2 (1 d'espace+1 de temps).
Soit $\R^2$ le système de coordonnées du référentiel $R_i$ qui est immobile. On peut se ramener à $c=1$, donc la forme quadratique $Q$ est $(dy)^2-(dx)^2$. Soit $m=\pmatrix{ x \\ y}$ les coordonnées du mobile dans le référentiel $R_i$. Alors le référentiel $R_m$ du mobile est $(m, \dot{m},e)$. En effet, la masse du mobile ne varie pas au cours du mouvement, donc on peut supposer que $Q(\dot{m})=(\dot{y})^2-(\dot{x})^2$ est constant égal à $1$. Alors, on a $e=\pmatrix{\dot{y} \\ \dot{x}}$. Car $L(\dot{m},e)=0$ et $L(e,e)=-1$, où $L$ est la forme bilinéaire associée à $Q$.
La vitesse du mobile augmente, dans son référentiel $R_m$, de $dv$ en un temps $d\tau$, donc $\dot{m}(\tau+d\tau)=\dot{m}(\tau)+(dv)e$.
Si l'accélération est constante, $a:=\frac{dv}{d \tau}$, alors on a $\ddot{m}=ae$.
Donc $\ddot{x}=a\dot{y}$ et $\ddot{y}=a\dot{x}$.
Si les conditions initiales sont $x(0)=y(0)=0$ et $\dot{x}(0)=0$ et $\dot{y}(0)=1$, on trouve:
$x=\frac{1}{2a}e^{a \tau}+\frac{1}{2a}e^{-a \tau}-\frac{1}{a}$, et $y=\frac{1}{2a}e^{a \tau}-\frac{1}{2a}e^{-a \tau}$.
j'essaie de me former à la version "axiomatique" de la relativité restreinte, i.e. essayer de démontrer que "si un ensemble d'observateurs munis de référentiels se décrivent les uns les autres et voient tous les photons aller à vitesse constante, alors ils vivent tous dans l'espace-temps de Minkowski".
Dans le bouquin que je lis, l'auteur annonce fièrement que tout sera déduit de l'invariance de la vitesse de la lumière, mais... quand il étudie deux référentiels, dont l'un est en mouvement par rapport à l'autre dans la direction $v$, alors il suppose que les longueurs sont inchangées dans les directions orthogonales à $v$.
Est-ce que cette hypothèse est nécessaire ? Peut-elle être déduite de postulats d'apparence plus primitive ?
George Abitbol: le plus simple est probablement le point de vue consistant à dire que l'univers (de la relativité restreinte) est un $\R$-espace affine $V$ de dimension $4$, sur la direction duquel il existe une forme quadratique $q:V \to \R$ de signature $(1,3)$.
Les "changements de repères lorentziens" sont les fonctions affines de $E$ dont la partie linéaire est dans la composante connexe du neutre dans le groupe orthogonal de $q$.
NB: soit $f:V\to V$ une fonction telle que pour tous $x,y\in E$, $q(f(y)-f(x))=q(y-x)$. Alors $f$ est une bijection affine.
Cela provient du lemme plus général suivant pour tout corps commutatif $K$ de caractéristique différente de $2$: soit $W$ un $K$-espace vectoriel de caractéristique différende de $2$ et $W$ une forme quadratique non dégénérée sur $W$. Soit $g:W \to W$ une fonction telle que $g(0)=0$ et, pour tous $x,y\in W$, $q(g(y)-g(x))=y-x$. Alors $g$ est un isomorphisme linéaire (commencer par établir l'identité $\varphi (g(s),g(t))=\varphi (s,t)$ pour tous $s,t\in W$).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Réponses
Dans le repère initial, on va regarder un "mouvement" d'une suite infinie d'individus sur l'axe des abscisses et uniformément accéléré par morceaux, avec des pauses régulières, de sorte que chacun, dans son temps propre, ressentent une accélération de g, suivie d'une pause, suivie d'une accélération de g, etc. Constance des intervalles de son point de vue. Le tout est fai de manière régulière de sorte que dans le repère initial, la distance entre les individus restent constantes
En outre, on va supposer que chaque phase d'accélération dure suffisamment longtemps pour que de son point de vue toujours, les distances (de son point de vue) soient multipliées par 10 entre lui et son prédécesseur, à l'issue de chaque accélération
Exercice de base: c'est compatible avec la "gentillesse" des accélérations commandées ci-dessus.
On convient que chaque fois qu'un individu croise l'origine, il envoie un photon dans la direction de ses successeurs (sens du mouvement).
Je vous laisse faire l'exercice que si $n$ est assez grand, l'individu $0$ ne verra jamais l'individu $n$ lui envoyer un photon. En effet, la suite des distances $d$ stabilisées entre deux personnes, perçue par l'individu $0$ est de la forme:
$d$ durant 1an, puis $10d$ durant un an, puis $100 d$ durant un an, etc. Ainsi, l'individu $0$, qui est passé à vitesse nulle à l'instant $0$ devant l'origine, verra au bout d'un certain temps les arbres défiler à une vitesse proche de la lumière, et elle ne sera jamais dépassée. Il percevra $n$, comme étant $n.km$ derrière lui, puis $10n.km$ derrière lui, puis, ainsi de suite.
Si $n$ est assez grand alors, au bout d'un moment $n$ sera perçu (en imagination) comme remontant à une vitesse folle le temps et filant vers les abscisses négatives. Jamais il ne sera perçu comme ayant un jour franchi l'origine. Ce qui fait que concrètement et non pas en imagination, l'individu $0$ ne recevra jamais un photon supposément par l'individu $n$ au moment de son franchissement de l'origine.
De retour dans le repère initial, les spectateurs "le long de la route du tour de France" verront bien l'individu $n$ franchir l'origine et émettre un photon, mais ce photon rattrapera petit à petit l'individu $0$ sans jamais l'atteindre.
Tout ça pour dire que la perception de "la vraie vie" laborantine doit être ajoutée aux géométries spatio-temporelles, sinon, on ne s'aperçoit pas "du délire" que donnent les théories et on n'achève rien. Ici préssent, on n'a pas de contradictions, mais juste l'émergence d'un point de vue rotationnel (comme la géométrie projective), où en toute tranquilité, un gars uniformément accéléré va voir à l'instant limite, disons de 17.8ans la totalité de sa dimension de mouvement concentrer en un unique point la totalité de cette dimension de l'univers extérieur.
Ca veut dire quoi et ça arrive quand ce genre de choses? Et bien la réponse est "quand on tourne". Quand une droite tourne, il arrive un moment où elle est perpendiculaire à une droite fixe. C'est probablement ce qu'il se passe dans la nature. Et je parle bien de projection. Autrement dit, puisque l'individu $0$ croit voir défiler des arbres "sous son nez", il ne commet pas d'erreur. Ils sont bien là, mais ce ne sont pas les même arbres. Il change à chaque instant de monde, et croise chaque fois des copies. Sinon, il faudrait prétendre qu'il voit "une projection" de ces arbres et ça n'aurait pas de sens, car il faudrait calculer une distance entre l'emplacement des vrais arbres et de leur point projeté (en fait ça en aurait mais ça ne changerait rien, ça INTRODUIRAIT cette distance).
J'en reviens d'ailleurs à ce propos au décalage vers rouge/bleu, tout aussi valables et donc contradictoires selon qu'on préfère un point de vue ou un autre, car il s'agit DU MEME MECANISME. Mais je vais l'expliquer mieux, en passant pluss sur les calculs sans intérêt.
A la place des photons, on va prendre des boulangers miniatures, donnés avec leur atelier, on envisage différents cas de figures.
Lorsqu'un croise un boulanger, qui va à une vitesse proche de la lumière, même si on a du mal à le suivre, il est tout à fait légitime de se forcer à penser à lui et pas son jumeau qui le suit un peu derrière et de se demander comment il va. Dans ce cas, plus on le croise vite dans le sens est->ouest, plus on est forcé de l'imagine avec une horloge tournant doucement et donc un travailleur travaillant doucement et paisiblement. C'est un exercice de base déjà détaillé ici.
comme vous pouvez le constater.
Maintenant si on adopte un point de vue "révolutionnaire et illégitime" d'indifférentiation des boulangers en quelque sorte, EN PRATIQUE et uniquement EN PRATIQUE et à condition qu'il soient nombreux, régulièrement espacés on aura alors la paresse de "penser" et on se contentera de regarder le boulanger à portée de main, boulanger dont il est important de noter que d'un instant à l'autre, ce n'est pas LE MËME qu'on regarde.
Dans ce cas, on voit l'horloge1 du boulanger1 indiquer 03/04/2030, puis une seconde plus tard, on voit l'horloge du boulanger DEUX, indiquer 04/04/2030, etc. Et là, on se dit "oulala, 1an déjà passé pour le monde des boulangers
Evidemment il n'en est rien, car on en regarde UN AUTRE, celui qu'on est en train de croiser. Abstraction faite du contexte, bien évidemment là, si on ne regarde que le relevé des horloges, on voit qu'il semble défiler très rapidement. Mais contrairement à la situation précédente, c'est "NAWAK" sans autre forme de justification. En continu, un même boulanger qu'on croise travaille ultradoucement et est donc "sans énergie". Mais L'IMPRESSION de mauvais élève qui a la flemme de suivre un seul boulanger et qui donc regarde paresseusement le boulanger se trouvant devant sa vitre, voit au contraire, une histoire très énergétique de boulangers qui taffent à toute vitesse.
:-D Difficile de définir ce dernier comme le choix naturel. Et point de photons dans cette histoire.
La contradiction entre les deux points de vue n'est que le début du passage douloureux et qui aurait dû se faire en amont à la logique quantique qui "indiscerne" ces boulangers quand ils sont des particules rapides.
Pour ma part je ne considère pas ce choix comme relativiste. Je le considère comme QUANTIQUE.
Le gars qui accélère calcule régulièrement où en est l'horloge de l'origine du repère initial. Bin, c'est simple:
Au bout d'1H, elle en est à 100,
Au bout de 2H, elle en est à 110
Au bout de 3H, elle en est à 111
Au bout de 4H, elle en est à 111.1
Etc. Autrement dit, il ne la concevra jamais comme dépassant 120 pendant son périple. Comme il était prévu qu'à l'instant où elle est sur 200, elle envoie un photon, et bien il ne recevra jamais ce photon.
** en fait, je trouve même que mon argument est bien plus simple, dit comme ça.
[size=x-small](*)je veux dire pas plus que la mécanique classique: on peut le faire en rajoutant des forces mais ce sont des ajouts ad-hoc. Ca ne se fait pas avec le groupe de changement de repère [/size]
"L'excuser' (comme tu le fais) en restreignant son domaine de validité est autre chose, car je ne l'accuse de rien (je suis au contraire bien content des kiffs offerts).
Je veux juste insister sur sa parenté (et non pas son conflit) avec la quantique. Pour la TQ il est parfaitement connu qu'on a un point aveugle à un niveau totalement en amont, mais pour la relativité, je pense que c'est le cas aussi et qu'on a oublié de le dire.
Et je ne crois pas un instant que les recherches actuelles en théorie des cordes ou autre vous mener où que ce soit. Il y a des choses bien plus simples et bien plus en amont à regarder.
A ce titre on peut regretter certaines mauvaises habitudes (liées aux besoins crédits et de postes) de se shooter à des calculs et de la géométrie compliquée, et voire les gens attendre 40 ou 50ans pour s'interroger sur les vrais trucs (Tu prends les quelques experts du forum, auraient-ils pris le temps de s'interroger sur A=>A et A ou sur le RPA à 20ans en recherche de poste? )
Je vais ouvrir un fil plus unifiant et général. Avec des liens pour tenter de fournir un cadre de questionnement sur infini VS indiscernable qui semble se produire à tous les niveaux.
Je n'ai rien compris au coup des boulangers (et je n'ai pas envie de lire la conversation de 9 pages, donc je ne saurai pas). En revanche, j'ai peut-être mieux compris l'obsession du temps fini (et puis si je suis à côté de la plaque, ce n'est pas de ma faute, il faut être plus clair).
On est tous d'accord que pour qu'une trajectoire de type temps qui "ne s'arrête jamais", le coup du temps propre total fini sur la trajectoire implique une accélération propre non bornée (ou des saut de vitesse aussi grand qu'on veut ou aussi rapproché les uns des autres qu'on veut, si on trouve plus marrant de considérer des sauts de vitesses plutôt que des accélérations). Pour s'en convaincre, faire le test avec le coup de l'accélération propre constante, vous aller vous retrouvez à intégrer un truc du genre $\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}$, avec $x$ entre une référence et l'infini (et ça "converge vers l'infini"), on peut en suite s'en servir pour "minorer le temps propre" dans des cas d'accélération propre borné (ou des saut de vitesses majorés et suffisamment espacés).
Cela dit, bah voilà, on a éventuellement le droit de considérer des systèmes au temps propre fini et vers la fin de leurs vies ressenties ils en prendront vraiment plein les dents.
Qu'on me rassure : ce n'est pas ce genre de truc qui est sensé poser un problème logique qui nous ferait considérer que l'un d'entre eux devrait sortir de l'univers ou je ne sais quoi de vraiment pas banal ?
\int \ \frac{f(x)}{x^2}dx
$$ et non pas comme $$\int \ \frac{f(x)}{x}dx,
$$ avec $f$ bornée. Ce n'est justement pas du log, même si les apparences sont trompeuses et t'ont trompé.
Pas d'accord.
Regarde le formulaire que je t'ai déjà proposé deux fois, prends la vitesse de l'objet en accélération propre dans le référentiel galiléen où sa vitesse est nulle en $t=0$ comme ils le proposent.
Donne l'expression de $\int_{t=0}^{t=+\infty}\sqrt{1-v^2/c^2}dt$ dans ce cas.
Si j'ai tort il y a deux possibilités:
- L'expression de la vitesse qu'ils proposent est fausse: j'avoue que la seule fois qu'on m'a demandé de trouver cette expression, ça fait plus de dix ans et là, j'ai la flemme de vérifier (notamment parce que ce n'est pas moi qui cherche à montrer des choses bizarres).
- Tu penses que l'intégrale que je te propose de faire n'est pas justifiée: j'ai juste calculé la "longueur d'une courbe" avec la pseudo-métrique de Minkowski.
Tu cherches à montrer des trucs inhabituels, la charge de la preuve te revient (tu nous présentes $f$?). Si j'ai tort: je veux que tu me donnes la bonne vitesse depuis un référentiel galiléen que tu fixes (et là je me retrousserai les manches et vérifierai) ou que tu me dises pourquoi je n'ai pas le droit de calculer le temps propre de cette manière sur une trajectoire "lisse" de type temps (auquel cas, on risque d'être pour le moins emmerdé).
En tout état de cause, il n'est jamais exlcus qu'il y ait une erreur dans ce que je t'ai dit, mais je ne pense pas et je mets en citation ce que je rejette dans ce que tu dis. Oui, je pense que tu ne calculs pas du tout le temps propre avec cette intégrale.
La preuve, je te l'ai donnée et avec un argument bien plus sécurisé que des calculs non justifiés dans leurs fondements.
1/ Tu prends 2 personnes au lieu d'une. Celui qui nous intéresse X et l'autre Y
2/ Tu supposes que Y est en permanence dans le repère initial à la position de X - $10^{99} $ années-lumière.
3/ Comme à intervalles de temps propre réguliers (suite arithmétique), $X$ fait une pause dans son accélération et passe quelques temps dans un repère galiléen, lors de ces pauses, il prend le temps de se demander (dans ledit repère!! pas dans l'initial) où se trouve $Y$.
4/ Un exercice facile consiste à s'apercevoir qu'au bout d'assez peu d'étapes, il voit $Y$ de plus en plus loin derrière l'origine du repère initial.
5/ Si tu admets que le temps propre de cette aventure pour X est inifni, il devrait y avoir un moment où il recevrait le photon supposément émis par Y quand il passe devant l'origine.
6/ Comme il fait le raisonnement qu'il ne verra jamais ce photon, car lors de ses pauses, il calculera que Y n'est pas encore passé (et de plus en plus loin de l'être) devant l'origine, tu as une contradiction avec 5, fin de l'histoire.
7/ Et je pense que tu m'accorderas que ce n'est pas pendant les nonpauses que des choses étranges se produisent pour briser cet argument: note que j'aimerais bien, je préférerais 1000 fois avoir tort et découvrir que les nonpauses (ie les phase d'accélérations tranquilles à g:= $9.81ms^{-2}$) sont sujettes à d’inouïs changements :-D "Avoir raison" ne me rapporte rien.
La phrase suivante réclame justification (pas parce qu'il manque un "e", je m'en fous royalement, des fautes de conjugaison ou grammaire, j'en fais à la pelle, c'est le fond de l'affaire qui m'emmerde):
Très bien... Voilà ce que je propose:
On reste sur un cas simple, soit $\Gamma$ une trajectoire de type temps assez lisses, c'est-à-dire qu'avec des coordonnées "standard" d'un référentiel galiléen que tu choisira, il existe une application $C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}^3)$ qu'on nommera $\vec{x_\gamma}$ telle que pour tout instant de l'espace temps noté $(t,\vec{x})$ avec les coordonnées associées au référentiel en question: $(t,\vec{x})\in \Gamma \leftrightarrow (t,\vec{x})=(t,\vec{x_\gamma}(t) )$ et enfin: $\forall t, \left(\frac{d \vec{x_\gamma}}{d t}\right)^2 < c^2$.
Avec ces termes: donne ta formule permettant de calculer le temps propre écoulé entre deux instants de la trajectoire. (Remarque: c'est assez exceptionnel, mais, moi aussi, je peux mettre des phrases en gras)
Attention: Je veux que la formule respecte les conditions suivantes:
- On retombe sur nos pattes si on prend une trajectoire "fixe" dans un référentiel galiléen.
- Lorsque je change de référentiel galiléen, j'ai juste à recalculer $\vec{x_\gamma}'$ par application de la transformation de Lorentz et appliquer ta formule pour retrouver le même temps écoulé entre deux mêmes instants de la courbe $\Gamma$ (bref, que ce soit un invariant relativiste, parce que sinon on va changer d'histoire à chaque fois qu'on va changer de référentiel et ça va être chiant).
- Par contre, tu as le droit de retoucher un petit peu le côté $C^1$ pour te permettre des sauts de vitesses, mais je veux qu'on reste sur une courbe continue et qui à chaque instant conserve une vitesse définissable et raisonnable, de norme inférieure à $c$ (c'est ma définition de la trajectoire type temps, si tu parles d'autre chose, il faut le définir et prouver qu'admettre ton type de courbe ne peut permettre de raconter des histoires qui violent la causalité par "interactions entre plusieurs d'entre elles").
- Du reste, tu as toute liberté.
Techniquement, tu peux en trouver, ça a des raisons d'exister, seulement voilà:
- Celle-ci est assez simple, tandis que la tienne risque de faire formellement appel à l'accélération propre (ou le bond de vitesse propre, je sens déjà les distributions venir) et les physiciens ont une fâcheuse tendance à ne pas chercher quand ils tombent sur un truc qui, a priori, fonctionne bien et ne présente pas d'incohérence évidente.
- Le coup du bête calcul de "longueur de la courbe avec la métrique de Minkowski" reste utilisé en relativité générale. Moi je ne suis pas allé voir, mais certains prétendent que les calculs de correction d'horloge pour le GPS y ferait appel, je ne vois pas pourquoi je devrais mettre cette assertion en doute.
En ce qui me concerne, je considère que le temps propre a pour définition la "longueur" de la courbe avec pseudo-métrique de Minkowski. Tu peux considérer que c'est arbitraire et que c'est parce qu'on me l'a inculqué, mais si il est cohérent et qu'on me dit que c'est raccord avec l'expérience, je le garde jusqu'à ce qu'on change de modèle ou qu'on me mette sous le nez suffisamment de résultats expérimentaux (sérieux) permettant de dire que ce truc est complètement à l'ouest.
Bref, je refuse de considérer tes problèmes* tant que tu n'as pas: soit reconnu cette définition du temps propre, soit proposé une autre définition qui respecte les conditions que je t'ai posées (pas un truc flou, un belle formule complètement écrite, respectant le cahier des charges et qu'on conservera par la suite). Dans le second cas, je veux bien tenter de faire joujou avec, si ce n'est pas excessivement suant, mais je n'irai pas considérer que les conclusions qu'on fera sur cette théorie concerne la relativité restreinte (ce sera juste un autre truc, proche, mais un peu différent).
*: Pour le moment, je n'ai absolument rien à cirer de tout ce que tu peux dire dans tes points 1 à 7.
En fait, :-D, tu es en train d'écrire que la preuve que je te donne, tu ne la lis pas. Mais tu ne précises pas si tu la comprends ou pas, enfin je veux dire si tu penses peiner ou pas à la juger.
En retour tu proposes du charabia snob (ce n'est pas péjoratif, mais tu me vois, dyscalculique et âgé, prendre une journée, si ce n'est plus, alors que j'ai des corvées ingrates mais à faire, pour tenter d'acquérir ton dogme sur du calcul intégral appliqué à de la relativité (ce qui est en général, déjà, ce qui montre le problème, très déconseillé, sauf aux experts, c'est un nid à plantes) pour te trouver est ton erreur (ou la mienne si j'en fais une)?
Il ne sert à rien de dire "Lorentz, Lorentz, Lorentz", comme d'autres :-D disaient "Europe, Europe, Europe" à côté d'un calcul intégral. Ca ne fait pas preuve.
Je t'ai donné une preuve et si tu veux tu peux me dire ce que tu rejettes (au moins ce sont des lignes droites et de la RR bateau sans continuité ni intégrales courbes).
Ne prends pas ma réponse pour un refus, je te signale MON INCAPACITE à faire
C'est comme si tu me demandais de te calculer à la main 7023564365 ^ 29 d'ici ce soir.
De nous 2, je considère que c'est toi qui as le plus de chances de pouvoir la preuve de l'autre, c'est tout. J'ai rencontré des tas de gens qui ne s'en sortent pas en relativité et qui pourtant maitrisaient sur le bout des doigts leur formules relativistes, mais ne les appliquent pas correctement.
Ca ça ne veut rien dire du tout, ce n'est même pas faux, c'est trop vague. Idem pour tes propos sur l'expérience, là, on est sur un problème bien défini et sans ambiguité, complètement formel de RR. Tout le passage qui suit, ne fera pas avancer notre désaccord, pour un problème bien défini et grossier comme le présent.
Je ne sais même pas, alors que je suis quelqu'un de prudent, si le paradigme calculatoire sur les mollusques graduées (que sont les repères de la relativité générale) change "trop de choses", JUSTEMENT pour éviter ou "contrer" le résultat que je signale. Rien a priori ne rendrait invraisemblable ce genre de choses, puisque quand tu vas sur l'étoile polaire en 3H, dans ton repère la Terre a bien souvent dépassé la vitesse de la lumière, puisqu'il a existé de longs moments où elle était à 2H lumière de ta pomme. Or si cet état de fait ne joue aucun rôle ici sur mon exemple simple, en RG, la nécessité de revoir cet perception des repères globaux était incontournable.
Désolé je n'ai pas suivi la discussion, ça part dans tous les sens mais je lis dès le début du fil, je cite Christophe,
Je n'ai pas vu la preuve dans les messages avant, est-ce que j'ai mal regardé ?
Tout d'abord montrons des généralités.
Soit $\left (E,\| \cdot \| \right )$ un espace vectoriel normé réel et $Q$ une forme quadratique continue sur $E$ (ce qui sera automatiquement vérifié en dimension finie). On notera $\Phi: u,v \mapsto \frac{1}{2} \left (Q(u+v)-Q(u) - Q(v) \right )$ la forme polaire de $Q$. Rappelons que $\Phi(u,u)=Q(u)$ pour tout $u\in E$. La continuité de $Q$ est équivalente à celle de $\Phi$.
$\newcommand{\tp}[4]{\mathcal L^{#1}_{#2,#3} \left ( #4\right )}$
Soient $a,b\in \R$ tels que $a\leq b$ et $f: [a,b]\to E$ une fonction dérivable.
1°) Si pour tous $s,t \in [a,b]$ on a $Q\left ( f(s) - f(t) \right ) \geq 0$ alors pour tout $x\in ]a,b[$, $Q(f'(x)) \geq 0$.
Soit $x\in ]a,b[$, $V$ un voisinage de $0$ tel que $x+V\subseteq ]a,b[$ et $\varepsilon: V \to E$ une fonction continue en $0$, telle que $\varepsilon(0)=0$ et $f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h \varepsilon (h)$ pour tout $h\in V$. Alors pour tout $h$ non nul dans $V$, $$
0\leq Q\left ( f(x+h)-f(x)\right ) = h^2Q\left ( f'(x) +\varepsilon (h)\right )= h^2\left [ Q\left(f'(x) \right ) +2\Phi \left ( f'(x),\varepsilon (h) \right ) +Q\left ( \varepsilon (h)\right ) \right ] \tag i$$ ce qui montre la positivité de $Q\left(f'(x) \right ) + 2\Phi \left ( f'(x),\varepsilon (h) \right ) +Q\left ( \varepsilon (h)\right )$ et en faisant tendre $h$ vers zéro on voit que $Q\left ( f'(x)\right)\geq 0$ par passage à la limite dans l'inégalité.
2°) Soit désormais $f:[a,b]\to E$ une fonction continue et $\mathcal C^1$ par morceaux satisfaisant la condition de 1°) i.e. $Q\left ( f(s) - f(t)\right ) \geq 0$ pour tous $s,t$. Alors la quantité $\tp Q a b f := \int_a^b \sqrt{Q\left ( f'(s)\right )} ds$ vérifie les propriétés suivantes:
2.1°) Pour tous $n\in \N$, $a_0=a < a_1,... < a_n = b$, si pour tout $i$, la restriction de $f$ à $]a_i,a_{i+1}[$ est affine (i.e. si $f$ est affine par morceaux), on a l'égalité $$
\tp Q a b f = \sum_{i=1}^n \sqrt{Q \left (a_{i+1} - a_i \right )} \tag{ii}$$
2.2°) Pour toute isométrie linéaire continue $\gamma$ de $(E,Q)$ (i.e: $Q \circ g = Q$) on a $$
\tp Q a b f = \tp Q a b {\gamma \circ f} \tag{iii}$$
2.3°) Pour tous $c,d\in \R$ tels que $c < d$ et toute application $\mathcal C^1$ $\varphi: [c,d] \to [a,b]$ telle que $\varphi'(x) \geq0$ pour tout $x$, on a $$\tp Q a b f = \tp Q c d {f \circ \varphi} \tag{iv}$$
Ces propriétés sont quasi-immédiates:
2.1° découle d'un simple calcul, à l'aide de l'égalité $f'(t)=\frac{f(a_{i+1}) - f(a_i)}{a_{i+1}-a_i}$ valable pour tout $i\in \{1,...,n\}$ et tout $t$ dans $]a_i, a_{i+1}[$
2.2° est dû au fait que $(\gamma \circ f)' = \gamma \circ \left ( f'\right )$ (car $\gamma$ est linéaire)
2.3° provient d'un simple changement de variable.
3°) Continuité.
3.1°) Soit $A$ une partie bornée de $E$. Soit $(g_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions continues par morceaux de $[a,b]$ dans $A$ convergeant simplement vers $g:[a,b] \to E$. Alors $$
\int_a^b \sqrt {Q \left (g_n (s) \right )} ds \underset {n \to +\infty}{ \longrightarrow} \int_a^b \sqrt {Q \left (g (s) \right )} ds \tag{v}$$
Comme $Q$ est continue, il existe un réel $M>0$ tel que $|Q(v)| \leq M\|v^2\|$ (edit: $M\|v\|^2$: le signe carré en dehors des normes c'est mieux ;-) )pour tout $v\in E$ et par suite, $\left \{Q \left (g_n(t) \right ) \mid t \in [a,b], n \in \N \right \}$ est une partie bornée de $\R$, contenue donc dans $[-A,A]$ pour un certain $A>0$ et le résultat découle du théorème de convergence dominée (avec la fonction $x \mapsto \sqrt A$ pour majorer les autres).
Ce résultat entraîne que $f \mapsto \tp Q a b f$ est une application continue pour un certain nombre de distances "raisonnables" sur l'espace des fonctions continues et $\mathcal C^1$ par morceaux (par exemple $g \mapsto \|g\|_{\infty} + \|g'\|_{\infty}$).
A suivre ...
Edit: en réponse à christophe, pardon à O.J et Foys, je viens de voir vos messages après rédaction et n'ai pas le courage de modifier quoi que ce soit...
Je vais rester cool* en ce qui concerne "les longueurs de courbes", parce que j'ai préféré utiliser une expression raccourcie et un peu vague plutôt que d'expliquer un truc que personne ne prétendant connaître la relativité serait sensé ignorer... Donc j'explique:
Tu sais comment on calcule la longueur d'une courbe dans un espace métrique euclidien ouh... la vache! heureusement que personne ne l'a relevé celui-là (ou une variété riemannienne ou dieu-sait-quoi), ben là c'est presque pareil: Je suis dans mon référentiel galiléen, il est beau, il a toutes les bonnes propriétés que j'aime, je peux y écrire l'expression d'un beau tenseur d'ordre 2 nommé $g$ et qu'est partout pareil (là je le met en double covariant, flemme de mettre des indices partout, je veux conserver les conventions précédentes, parce que voilà...) et pour l'occasion on va lui mettre un petit 1 "en haut à gauche" des $-\frac{1}{c^2}$ sur le reste de la diagonale et puis des 0 partout ailleurs. Tu veux demander pourquoi je définis un truc pareil? À quoi ça correspond? C'est simple, en fait je n'y connais que dalle à la relativité, mais je suis un gros connard et j'invente des notions comme ça, parce qu'elles me plaisent et que je trouve ça cool de faire des trucs chelous pour que personne n'y pige rien avant de fusiller quiconque viendrait me contredire, ça me donne une sensation de puissance (bon en fait, je n'ai peut-être pas tout inventé, j'ai bien modifié une ou deux conventions pour l'occasion, mais on peut s'autoriser à foutre les $c$ où ça nous arrange ou changer tous les signes si on établit une convention et qu'on s'y tient).
Bref, dans mon référentiel galiléen, ma courbe $\Gamma$ je peux la paramétrer en fonction de $t$ (le temps dans le réf gal en question) à l'aide de l'application: $t\mapsto \gamma(t)= (t,\vec{x_\gamma})$ (je l'ai dit, je conserve mes conventions, je me fais chier à en poser, pas toi, alors on garde les miennes!). Tu noteras bien que l'application en question est dérivable en fonction de $t$, sa dérivée $\gamma'$ est d'expression $\forall t, \gamma'(t)=(1,\vec{v})$ on se rappelle que $\forall t, \vec{v}^2< c^2$.
Bon ben $\gamma'(t) g \gamma'(t)$ (c'est mal dit, hein? oui ben, ça me plait comme ça!) c'est bêtement égal à $1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}$.
T'ai-je donné assez d'information pour connecter cette histoire de "longueur de courbe", mes scandaleuses incantations de "Lorentz" (dont les transformation conserve la) "pseudo-métrique de Minkowski" et les fameux $\int_{truc}^{bidule} \sqrt{1-v^2/c^2} d t$ que je fous partout???
Je précise que cette sombre histoire a probablement un vague rapport avec la définition du temps propre que j'utilise et que je suppose qu'en s'emmerdant un peu moins de trois siècles, un surhomme serait peut-être (je dis bien: peut-être) montrer l'invariance de ces intégrales par changement de référentiel galiléen (J'oubliais de préciser: Merde! C'est gratuit, mais celui-là, il me fait réellement plaisir).
Maintenant que j'ai vaguement donné des informations sur une notion qui n'était a priori pas connu de certains intervenants d'un fil soi-disant discutant de relativité restreinte je règle mes comptes avec le mec qui m'a dit: Où est-elle? Si des expressions comme trajectoire de type temps te dérange, c'est vaguement compréhensible, j'avais oublié comment on appelait ça, a priori on appelle ça des lignes d'univers (mais honnêtement, grosse flemme de vérifier le sens précis de cette expression). Mais je considère que j'avais donné assez d'informations sur ce que j'entendais par là pour qu'un mathématicien sache s'en emparer.
Mais que le type qui cause de temps propre ou de je ne sais quoi d'autre sans chercher à définir les termes nomme ça du "charabia snob", ça me reste en travers de la gorge.
Une information probablement pertinente! Tu peux être un peu plus précis? Je veux dire vraiment précis, pas comme quand tu parles de temps propre ou que tu lèves de soi-disant paradoxes sans réellement préciser de quoi on parle.
Attends.... Je viens de comprendre: on parle de moi en fait!
Être suffisamment formaté pour être capable de faire un truc doit généralement signifier ne pas s'être appliquer à le comprendre? (ouais! cool! pas de prise de tête! trop content!)
Ah... Ces péquenots tout juste bon pour mettre les mains dans le cambouis... D'où se permettent-ils de me contredire?
J'ai oublié... tu peux me rappeler? C'est qui le snob?
Est-ce qu'un chasseur tente de lever des lièvres sans observer un minimum le terrain de chasse? Qu'est-ce qu'on fait là si tu as réellement mieux à faire?
Ça roule et ça tombe bien! N'importe quel physicien peut te donner une expression clé-en-main que tu pourras utiliser aussi souvent que tu le désireras pour préciser ce que tu appelles temps propre à chaque fois que tu utiliseras cette expression dans le cadre de la relativité (mais... mais... mais... c'est trop de la balle, ce truc!).
Je suis sympa, je remets un lien avec l'article wikipédia, ça ne dit pas pourquoi ça marche, mais il y a peut-être un vague rapport avec ce que j'ai dit au début du message.
Tu es en train de me dire que c'est rarement très malin de parler de comparaison de vitesse de deux objets éloignés en relativité générale? Je pose la question parce que la première phrase est au moins aussi difficile à interpréter que mon coup des longueurs de courbe, je ne peux interpréter correctement que la seconde. Bordel! sans blague? Comment j'ai pu passer à côté de ça?
J'admire ta manière de te foutre de ce que peuvent penser et dire les gens avant de les traiter d'abrutis. Je t'ai signalé que cette histoire de correction d'horloge en relativité générale, parce qu'elle est liée à la notion de temps propre et que ce fameux calcul intégral est justement un des trucs qui conserve tout son sens en relativité générale (du coup, ce ne serait peut-être pas si con de s'y intéresser monsieur l'analyse-c'est-bon-pour-les-clampins) et que ça a même donné une application technologique. Comment dans des conditions pareilles as-tu pu t'imaginer que je n'étais pas un minimum initié à la relativité générale. De fait, je ne pas beaucoup plus qu'initié, mais quand dans un précédent message j'écris ça: "parce que moi j'ai juste eu le droit à une loi de conservation locale, qui n'avait, à mon avis, aucun sens globale en l'absence de référentiel sûr", comment parviens-tu à en en déduire que ce genre de problème a pu échappé à mon questionnement? (un petit "Merde" me paraît de nouveau pertinent).
C'est vraiment dommage que tu ne puisse pas présenter ta preuve après toutes ces choses édifiantes que tu m'as enseignées, je suis dans les meilleurs dispositions pour la lire.
Pour la prudence, peut-être que ce que je fais là ne l'est pas non plus, mais j'ai envie de dire que c'est parfois discutable.
Après si tu préfère d'une part considérer que faire des références assez directes à des formalismes utilisables est complètement à coté de la plaque et que d'autre part, tes baratins sans définitions sont plus proche de "l'analyse logique de la relativité" que du torchon de Bergson ou des conneries que peuvent débiter des élèves de terminales à qui on a fait l'erreur d'enseigner "des bases de relativité", libre à toi!
Amuse-toi bien avec tes descriptions de l'univers depuis une référence accéléré sans cadre formel. Tu serais le meilleur logicien du monde que je n'aurais quand même pas envie de rester sur ce fil à tourner en rond.
Je ne suis pas prêt d'y remettre les pieds. Supposons que moi aussi, j'ai mieux à faire.
À plus
* Je n'ai pas pu tenir parole, et ne suis pas vraiment resté cool, désolé, mais tu m'as vraiment mis en rogne.
Mais quand j'ai fait défiler la fenètre, autant ne pas mentir, je ne suis même pas foutu de trouver s'il a ou pas confirmé ou infirmé mes dires. Sans même parler de suivr eles calculs que mon faible niveau ne me permettrait au mieux de comprendre au bout de plusieurs jours de scrutage.
J'espère que d'autres en profiteront vite par contre. .
$\forall x\forall y\in E, \frac{1}{2}\left (Q(x+y) - Q(x)- Q(y)\right ) = \Phi(x,y)$ et $\forall z\in E, Q(z)=\Phi(z,z)$ (d'autres formes bilinéaires peuvent peut-être donner $Q$ mais j'ai défini $\Phi$ comme ça dans mon post).
D'autre part si $Q$ (et donc $\Phi$) est continue, il existe $M\geq 0$ tel que pour tous $x,y\in E$, $|\Phi(x,y)| \leq M \|x\| \|y\|$ (continuité des applications multilinéaires définies sur des espaces vectoriels normés) et donc pour tout $x$ (en posant $y:=x$) on a $|Q(x)| = |\Phi(x,x)| \leq M\|x\| \|x\| = M\|x\|^2$.
Bon sérieusement:
Je n'ai jamais dit que ça t'a échappé, je t'ai dit que la RG traite peut-être AUTREMENT le problème discuté, et que n'étant pas compétent en RG, je ne peux pas savoir.
Et merci pour ton brice de Nice, excellentissime. Mais, je n'ai pas réellement compris si tu voulais que je le vois comme une preuve. Comme je te l'ai dit, je ne suis pas compétent (après en une journée, si si, je pourrais peut-être discuter des intégrales, mais moins qu'une journée, je suis trop faible pour le faire en quelques heures). Donc, je ne peux MEME PAS te répondre. Je ne peux EN PARTOCULIER pas te dire que je suis convaincu.
Par contre, je ne demande qu'à me tromper. J'adore ça. Mais je préfère y aller en détails. Alors ce que je vais faire, je vais à nouveau te rédiger une preuve qui cette fois-ci SERA PRESQUE formelle, et tu me diras "sans peiner" l'étape que tu rejettes. Mais ça va pas etre dans les 5mn. (Peut-être ce soir, mais je veux manger avant)
Je nele ferais pas si ton style brice de Nice + une certaine façon de t'exprimer ne m'avait pas convaincu que tu sera en mesure de lire et critiquer. Pardonne-moi de ne pas l'avoir fait avant, mais, comme je ne m'y connais pas en calcul, je suis hésitant à partager un argument formel (et très long à rédiger) avec chaque passant. L'an dernier j'y ai laissé des heures devant un gars qui s'appelait Ltav et si je n'avais pas eu la chance que des experts (Foys et surtout, qui a passé du temps à répondre dans tous les sens à Ltav, GBZM) soient venus confirmer mes dires, ça aurait été en pure perte pour moi.
Comme je ne vais pas sur les fils, et que je juge rarement les gens, ton pseudo titi, me disait quelque chose, mais sans plus, je ne savais si tu étais un gars qui passait parlà, et voulait se taper une petit discussion sur des trucs qu'il connait mal, ou sincère.
Maintenant je te crois sincère.
Et je vais aussi attendre le verdict de foys (qui n'a pas transigé***), car s'il me dit que je me trompe ON (toi comme moi) gagner&a du temps.
Remerci pour ta délicieuse prose de vestaire, ça fait du bien en plein confinement de croiser des hommes qui s'expriment avec virilité ludique et une forme de jeunesse habituée des bars de nuit.
*** S'il transige, il est fort probable qu'il ne se trompe pas. Il me connait, sait que je ne parle pas à la légère, donc si pas d'accord, il va tirer et je serai mort :-D (enfin condamné à chercher ce qui ne va pas).
1/ je n'arrive déjà pas à voir en quoi ton intégrale se propose d'intégrer le temps propre. Tu ne le dis pas toi-même ou j'ai loupé l'endroit. Tu intègres une fonction d'accord, mais à aucun moment tu écris que c'es tle temps propre.
Je veux bien être ignare, mais je suis sincère. Pour moi la lettre gamma minuscule n'est pas "magiquement" une représentation de la variation infinitésimale du temps propre.
Si tu dénotes (tu peux l'appeler $f$) franchement que la viaration infinitésimale du temps propre (tous calculs faits dans le repère initial et aucun autre), promis je regarderai son dénominateur).
ensuite nos deux approches ne sont pas si différentes, sauf que je somme une suite pas une intégrale. Bon, ça change peu de choses. Et ensuite, incapable de calculer, je fais un raisonnement qui me semble précis (donc apte à être contesté si besoin) pur prouver que cette somme est finie.
A noter que même si je n'y comprends rien à ses calculs, je trouve foys prudent, et je "parie" qu'il explique tranquillement qu'une intégrale est encore une limite de somme de suites. Comme li dit, il avancera aux posts ultérieurs.
Et je vous admire à vouloir traduire le problème ici précis en termes de l'invariant $dx^2-cdt^2$. Mais je n'ai à peu près jamais rencontré personne qui résolve des problèmes comme ça (je ne parle pas de moi) en dehors de professionnels aguerris. Et là, je parle quand ce sont des $\Delta$ majuscules et des vitesses contantes. Tout simplement parce qu'on ne se rend compte de rien, même si les calculs sont justes.
Bon, je commence tranquillement au post suivant à te rédiger ma preuve "rien que pour toi".
1/ un point matériel que je vais appeler le voyageur va faire un voyage qu'il considèrera comme uniformément accéléré par morceaux. Accélération constante
2/ Ce sontles moments où il n'accélère pas qu'on va considérer. Durant ces moment il reste à vitesse constante.
3/ Il part dans le direction "vers $+ \infty$"
4/ On ne peut pas pour le moment donner l'équation de sa position ni de son temps propre car c'est compliqué, vu que pour lui l'accélération est constante mais pas pour le repère initial.
5/ Ce gars sera le voyageur $0$. On va en fait considérer une suite et même une fonction de $\Z$ à valeurs dans les voyageurs, dont voici les définitions.
6/ à l'instant t (du repère initial), la position du voyageur $n$ est $f(t) + n$ et ce durant toute l'histoire.
7/ Nous nous intéressons principalement à le vie du voyageur $0$. $f'(0)=0$. De plus, on admet que l'histoire se déroule depuis toujours et continuera toujours, autrement la fonction $f$ est paire $\forall t: f(-t) = f(t)$
A SUIVRE.
9/ Je vais donc te prouver (enfin si je ne fais pas d'erreur moi-même), qu'il existe un $n$ tel que le photon émis par $n$ ne dépassera JAMAIS le voyageur $0$, autrement dit qu'il existe $t,n$ tel que $f(t) = -n$, vérifiant
$$\forall t'>t: c(t'-t) -n < f(t)$$
10/ Il suivra que j'ai raison. Est-ce que tu es d'accord déjà avec ce préambule? (Sinon, ce serait idiot de continuer).
J'ai un argument a priori IMPARABLE qui va pouvoir t'petre confirmé par foys et toute personne ayant un tant soit peu déjà travaillé en RELATIVITE RESTREINTE basique de chez BASIQUE!
Même pas besoin de repères ou quooi ou qu'est-ce que. Et foys , fervent défenseur du décalage vers le rouge devant l'Eternel, s'il trouve une erreur alors je serai vachement content de ME TROMPER;
T'es prêt? Alors tiens-toi bien c'est parti et accorche-toi, parce que je suis au regret de te dire que ..
Voici mseirus-dames l'histoire de Titi vivant un mouvement accéléré avec des pauses à vitesse constante pour manger un sandwich.
Mais heureesement, nous avons eu le bon gout de baliser son voyage. Au début cheque minute, il voit un photon par mn le dépasser et il est tout content. En fait, nous le décor dans le répère d'origine on a juste prévu qu'une file infinie de photons vogue vers $+\infty$ espacés d'une minute lumière. Donc il les voit passé car il est encore arrêté.
photon1 - photon2 photon3....
Il accélère une premiere fois, assez longuement, puis .. pause sandwich.
photon 1500, puis 2 minutes plus tard, photon 1501, puis encore 2mn plus tard, photon 1502.
"Ha Ha se dit-il, j'ai changé de repère, maintenant pour moi l'espacement entre 2 photons est de 2 minute -lumière.
Bon bon, le sandmwich est fini. Il refait à nouveau exactement la même chose. Il accélère (gentiment, et assez longtemps), puis repause.
photon 5078, puis QUATRE MINUTES PLUS TARD, photon 5079, photon 5080 encore 4 minutes après. Olala se dit-il, quand je fais ma pause maintenant, je croise 4 fois moins de photons qu'au début. Je ne peux pas les attendre, car ils sont très espacés.
Il redémarre, puis repause: photon 1405 puis HUIT MINUTES PLUS TARD, photon 1406
Bouuuuu. maintenant je ne vois que 2 photons par pause.
And SO ON
Au bout d'un certain temps. Bon, j'espère que j'aurai de la chance car il y a maintenant un temps d'écarts de 10 ans entre deux photons. Donc c'est vraiment un coup de bol quand il y en un qui me double. C'est comme les eclipses. Heureusement que j'ai la vie éternelle, car quand je serai arrivé au bout, je n'aurai été doublé que par un nombre fini de photons. Il peut même faire le calcul:
80 + 40 + 20 + 10 + 5 + 2.5 + 1.25 +....
Somme du nombre de photons qui le doublent par pause sandwich.
Maintenant explique-moi comment il peut être doublé par une infinité de photons dans ces conditions
Pour arriver à faire que cette somme soit infinie mon cher titi, faudra vraiment que tu me prouves que juis vraiment devenu encore 10 fois plus dyscalculique ou que tu me trouves à quels moments, des photons en profiteraient pur le doubler en loucedé pendant ses phases d'accélération!!
Donc attention au coup du "le photon rattrapera le vaisseau car il va plus vite que lui", ce n'est pas forcément vrai (il y a un horizon pour les mouvements accélérés, cf https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_motion_(relativity)).
Merci d'avoir validé, c'est déjà 99% du chemin parcouru. Je justifierai ce point (rouge) dans la matinée.
La conclusion du raisonnement de Christophe C se fait à l'infini et c'est là tout le problème de physique et mathématique.
C'est un problème mal défini tout simplement, qui n'a aucune réponse correcte dans le cadre de la RR ou RG. Si Christophe c veut esquisser une nouvelle théorie de la relativité où son problème serait bien définie du point de vue mathématique qu'il procède mais il faudra alors verifier que sa théorie décrit bien l'univers physique.
1/ Je ne suis pas en train de refaire la physique
2/ Je ne fais pas la moindre relativité générale ici
3/ Je décris une histoire simple, d'une grand-mère qui roule sur une route infinie: elle part de 0, elle roule une minute pour atteindre 3km/h, puis essouflée, elle se repose, donc roule à la vitesse contante atteinte pendant 1an, puis, bien reposée, ayant pris quelques vitamines dans son sac à dos, elle re-roule une minute pour atteindre 6km/h. AND SO ON. Et attention, elle fait chaque fois ça, bien évidemment dans son nouveau repère. Le repère initial n'est pour elle qu'un décor qui défile.
4/ Bien évidemment, il n'y a ni vélo, ni grand mère, ni gravité, mais un simple point mobile, qui adopte cette histoire de grand-mère, parti du point gradué $0$ du repère initial, à la vitesse initiale $0$. Histoire qui bien évidemment, va ressembler longtemps à une histoire très classique, je pense que personne ne niera qu'on croise tous les jours des grands-mères à vélo, ayant adopté une vie Vegan et verte.
5/ On peut donc THEORIQUEMENT théoriquement décrire son âge à tout instant $t$ du repère initial. A $t$, elle a $f(t)$. Par exemple, de manière infime, après sa première accélération qui l'a menée à rouler à 3km/h, et durant un certain nombre de mois, elle aura constamment 70 + (t - 0.000...31974) ans (j'admets qu'elle a 70ans à l'instant $0$, où le tout petit nombre décrit son très léger rajeunissement dû à la première accélération.
6/ Le problème que nous décrivons ici est un exercice de calcul de taupin (que je ne sais pas faire de manière calculatoire) qui est:
6.1/ Version cc: $f$ est strictement croissante et majorée
6.2/ Version Foys prudent et titi, ardie: $f$ tend vers l'infini.
7/ Cette question a une réponse et j'espère que j'ai tort. J'espère que la version cc est fausse!!!!
Pourquoi? Parce que comme j'ai une "preuve" qu'elle est vraie et surtout que je viens de passer 2H à en examiner TOUS LES DETAILS, je suis maintenant convaincu qu'il me faut attendre le calcul EXACT que vont faire titi et foys. Car s'ils ont raison, j'ai une conséquence inouie ET DEDUITE de ça.
8/ S'ils ont tort, ce sera très décevant, car j'aurais raison, mais alors hélas ma conséquence DEDUITE (donc sans ajout d'axiome) s'envolera à jamais dans la longue liste de mes rêves déçus.
9/ Afin de ne pas les décourager de prouver qu'ils ont raison, je ne donne pas la preuve que j'ai raison. Sinon, je risque de tordre le cou à la motivation.
10/ Le problème est bien défini, formel, il n'est pas question ici de me répondre de bonne foi que la main invisible qui va accélérer le point grand-mère n'existe pas in the real world, et que in the real world, toute accélération corporelle est corrélée avec de l'énergie qui la permet et des déformations induites d'espace-temps.
Ca s'appellerait de la malhonnêteté intellectuelle. Ce n'est pas que cen'est pas pertinent, mais on ne fait de la science comme ça. Il faut tirer fort sur les axiomes pour que le jus sorte. Quitte à voir après.
En outre "in the real world" la TQ s'applique très vite et la RR comme la RG deviennent fausses. Donc pas de pertinence.
11/ J'attends avec gourmandise la somme de la série grand-mèrienne proposée, te vive les grand-mères, elles nous sont précieuses.
Tout d'abord, je crains un petit imbroglio dont je suis responsable dans le précédent et qui expliquerait peut-être pourquoi christophe me dit que j'explique juste la formule du temps propre avec des "$\gamma$" : quand j'ai nommé $\Gamma$ ma trajectoire, c'est parce que j'ai l'habitude de nommé $\Gamma$ n'importe quelle courbe (je ne sais plus d'où j'ai pris cet usage...). Du coup, j'ai utilisé un $\gamma$ en indice pour une fonction "$\vec{x_\gamma}$" qui avait un rapport avec une courbe et enfin nommé une fonction $\gamma$ (la fonction $t\mapsto (t, \vec{x_\gamma})$, sans que celle-ci là ait un rapport direct avec $\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Du coup dans le contexte ça peut prêter à confusion surtout quand j'écris $\gamma(t)g\gamma(t)$ (en oubliant de préciser $d\gamma/dt$ au lieu de juste $\gamma$) sans rien préciser de ce que j'entends par là ("application de la forme quadratique g à $d\ (t, \vec{x_\gamma}) / dt$").
Précision concernant la définition du temps propre:
Il n'y a pas de "preuve" que les fameuses intégrales correspondent au temps propre, tout simplement parce qu'en fait on définit le temps propre par rapport à l'une ou l'autre de ces intégrales (et après on a juste à prouver qu'elles donnent toutes la même chose).
Il n'y a pas, à ma connaissance, une définition du temps propre d'un objet en accélération avec des histoires de "comptage de photons" provenant d'un point "fixe dans un référentiel galiléen", comme semble le penser christophe (je ne vois pas ta définition du temps propre, j'en déduis donc une de ce que je perçois de ton discours).
La définition est donc, comme l'a précisé Foys, liée au fait qu'il n'existe qu'une seule forme quadratique "compatible" (liée à ce qu'on appelle la pseudo-norme de Minkowski) avec la relativité, d'où mon raccourci de la "longueur entre deux instants de la trajectoire de la courbe" (note: c'est une convention, en relativité, on appelle "instant" un point de l'ensemble "espace-temps" $E$, de $\mathbb{R}^4$ si tu préfères, les mots "point" ou "élément" ayant probablement des définitions trop flous dans la culture physicienne)...
N'ayant pas sa définition du temps propre, j'avais mis au défi Christophe de nous la définir en disant qu'il était possible d'en inventer. On peut en effet en trouver des tonnes mais d'expressions dégueulasses, et qui n'ont a priori pas d'intérêt. Un exemple simple et faisant quand même appel au vrai temps propre:
Admettons la définition du temps propre, mais il se trouve que moi, je ne suis pas au courant, mais par chance, j'ai une horloge qui fonctionne très bien, mais qui a juste un petit défaut: lorsqu'elle subit une accélération propre $\vec{\alpha}$ (je le note comme je veux), elle "ralentit", sa "vitesse de comptage du d'un facteur $e^{-\vec{a}^2/a_0^2}$ (avec $a_0$ une constante qui dépend de l'objet). L'expression du "carré de l'accélération propre d'un système en fonction de sa vitesse et son accélération dans un référentiel galliléen est d'expression (si je n'ai pas fait d'erreur, et puis c'est probablement simplifiable): $\alpha^2(v,dv/dt)= \gamma^3\left( 2\frac{d\gamma}{dt}\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{d t} + \gamma \left(\frac{d \vec{v}}{dt}\right)^2 \right) -c^2 \left(\frac{d\gamma}{d t}\right)^2$ avec $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 -\frac{\vec{v}^2}{c^2}}}$.
Du coup, si je n'utilise que cette horloge, je peux prétendre que l'expression que l'expression du temps propre entre deux instant d'une trajectoire de type temps, repérés par $t_0$ et $t_f$ dans je ne sais quel référence galiléen sera d'expression: $\int_{t_0}^{t_f} \exp\left(\left(\frac{\alpha(\vec{v},d\vec{v}/dt)}{a_0}\right)^2\right) \sqrt{1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}} dt$ (au lieu de $\int_{t_0}^{t_f} \sqrt{1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}} dt$). C'est bête, mais cette expression (parmi d'autres), respecte les conditions que j'avais proposé à christophe.
Donc voilà, le temps propre tel qu'on le propose est plutôt une définition, parce qu'on l'estime correct et qu'on aurait bien du mal à en trouver une plus simple.
Expérience de l'objet qui ne recevra pas tous les photons qu'on lui enverra:
Ce qu'on peut en déduire assez immédiatement c'est que la fonction (définie sur $\mathbb{R}^+$) $x(t)-ct$ est bornée (la fonction $x$ est la position de l'objet en accélération dans le référentiel de départ, supposé galiléen, et $t$ le paramètre temps qu'on associe à ce même référentiel de départ), la vitesse étant toujours définie, on obtient juste que la fonction $t\mapsto \int_{t'=0}^{t'=t} 1-\frac{v}{c} dt'$ est bornée, ce qui est insuffisant pour déduire la convergence du temps propre (toujours d'expression $\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt'$) et si on va chercher l'application "numérique" (bon là, je la re-pompe, toujours au même endroit), l'accélération propre constante ou "très régulière" suffit à échapper à des photons. Du coup la mémé sur son vélo (on est bien d'accord pour dire que les +3km/h toutes les minutes c'est à chaque fois par rapport au référentiel où elle était 1 minute avant?) doit avoir une durée de vie infinie tout en échappant définitivement à des photons émis à partir de je ne sais quel date depuis son point de départ (qui lui n'a pas accéléré).
Personnellement, je ne vais pas faire d'application numérique (pour calculer ce que ça donne exactement quand l'accélération est faite par à-coup ou calculer savoir à partir de quel $t$ les photons émis du point de départ n'atteigne plus la grand mère) mais je suis plutôt sûr de ce que je dis. En ce qui concerne la mémé, c'est déjà cruel de la condamner à pédaler pour l'éternité, on ne va pas en plus lui demander de faire de la mécanique quantique. A priori, elle n'en a pas besoin pour ce qu'elle fait.
Ajouté à :
Il me reste à attendre le renforcement*** ou la contradiction de foys avec ton propos. Mais ça sent le supertruc final. En effet, "la preuve" que je donne du contraire est très simple (ce que j'appelle contraire est qu'une infinité de photons la dépasseront), donc, avec nos deux arguments, on devrait avoir une conclusion assez spectaculaire. (hélas pas $0=1$ est un théorème de ZF, car il s'agit de physique, mais un très très beau truc).
*** à noter que foys a déjà validé ta formule explicitement, il l'a écrit "la formule du temps propre de titi est correcte". J'espère qu'il continuera de valider!!!! (J'ai )peu près suivi ton argumentation cela dit, mais la partie calculs ne me parle quand-même pas énormément, faut bien le dire, j'ai même passé pas loin de 30mn à m'assurer ce matin, en tournant dans le jardin de ma résidence que $\int [x\mapsto \sqrt{1 / (1+x^2)}]$ converge "au même titre que" $[x\mapsto 1/x]$ (enfin diverge au même titre je veux dire). Je fais gagner du temps à tout le monde en me mettant de coté dans les calculs.
Rien à voir, comme il s'agit d'un titre de paragraphe dans ton post, tu as écrit "tout" au lieu de "tous", donc je pense que tu préfères le savoir et corriger.
Je vais corriger la petite faute.
Bah, si tu veux un peu de détail: pour l'accélération propre constante, clique ce lien (toujours le même, c'est quand même pratique les formulaires). Pour un cas d'à-coup régulier, tu pourras faire un encadrement. Si tu utilises l'expression du $x(t)$ qu'ils donnent (donc là, on revient à l'accélération constante), on voit assez bien l'asymptote d'équation $c(t-c/a)$, et si tu reste près du "lance-photon", tu sais donc que tu peux l'éteindre après une durée de $c/a$ (avec 3 km/h/min, a priori, ça donne un truc de l'ordre de 680 ans) et on a déjà vu que le temps propre de la mémé n'est pas borné. Moi, ça me suffit.
Mais si elle a le temps de vieillir jusqu'au bout dans notre univers, là, ça rebat les cartes et devient au delà du kiff.
J'essaie d'économiser l'écran blanc qui m'explose les yeux et ma presbytie, c'est pour ça que je ne reste pas trop connecté, hier je l'ai payé je voyais vraiment tout flou en fin de journée.
Je m'étonne que, si je me suis trompé, il n'y ait que deux personnes pour l'heure qui émettent des doutes. La relativité est-elle si peu aimée?
$\newcommand{\tp}[4]{\mathcal L^{#1}_{#2,#3} \left ( #4\right )}$
Les notations sont celles du message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1801606,1993804#msg-1993804 auquel le présent exposé fait suite.
Soit $c>0$. On se place dans $\R^4$ muni de la forme quadratique $q:=(t,x,y,z) \mapsto c^2t^2-x^2-y^2-z^2$. On note $Q:=\frac{1}{c^2}q$.
Soit $I$ un intervalle et $f: I\mapsto \R^3$ une fonction. On pose $\theta (f)= s \in I \mapsto \left (s, f(s)( \right ) \in \R^4$. On obtient donc une fonction à laquelle on peut appliquer les raisonnements et opération du message en lien.
De plus:
3°) il y a équivalence entre:
i)$f$ est $c$-lipschitzienne ($\R^3$ étant muni de sa norme euclidienne usuelle)
ii) pour tous $u,v\in I$, $q\left ( \theta (f)(u) - \theta (f) (v) \right ) \geq 0$
iii) pour tous $u,v\in I$, $Q\left ( \theta (f)(u) - \theta (f) (v) \right ) \geq 0$
l'équivalence entre ii et iii provient simplement de la définition de $Q$ (qui vaut $\frac 1 {c^2} q$), quant à i <=> ii, cela découle, pour tous $u,v$ de l'égalité $q\left ( \theta (f)(u) - \theta (f) (v) \right ) = c^2 |u-v|^2 - \|f(u) - f(v)\|^2$. Cette quantité est positive si et seulement si $\|f(u) - f(v)\| \leq c|u-v|$.
On suppose désormais $f$ continue et $C^1$ par morceaux. Alors $\theta(f)$ l'est aussi et on pose, pour tous $a,b\in I$ tels que $a<b$, $\tau_{a,b} (f) := \tp Q a b {\theta (f)} = \frac{1}{c}\tp q a b {\theta (f)}$ (cf lien).
4°) On a les égalités $$\tau_{a,b} (f) =\frac{1}{c} \int_a^b \sqrt{c^2 - \|f'(s)\|^2} ds= \int_a^b \sqrt{1 - \frac{\|f'(s)\|^2}{c^2}} ds \tag{vi}$$ par un simple calcul.
Lorsque $f$ est affine par morceau, $\theta(f)$ l'est aussi. De plus le caractère affine par morceaux d'une fonction est invariant par changement de repères lorentziens et dans ce cas $\tau_{a,b}(f) = \sum_{k=1}^n \sqrt {Q\left (\theta(f) (a_{i}) - \theta (f) (a_{i-1}) \right)}$ où $a=:a_0 < ,..., < a_n:=b$ est une suite de réels tels que $f|_{]a_{i-1},a_i [}$ est linéaire pour tout $i$ (cf lien).
Si $f$ est constante, $\tau_{a,b} f = b-a$.
Cette dernière propriété revient à dire que dans un repère où $f$ est constante, $\tau_{a,b} (f)$ est égal à la "durée" de $f$.
$\tau$ est ce que le monde entier (sauf peut-être christophe c) appelle le "temps propre" de $f$ entre $a$ et $b$.
*****************************
$\newcommand{\et}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf T}}}$
$\newcommand{\ex}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf X}}}$
$\newcommand{\ey}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf Y}}}$
$\newcommand{\ez}{\vec{\mathbf{e}_{\mathbf Z}}}$
Soit $E$ un espace affine réel de dimension $4$, $q$ une forme quadratique de signature $(1,3)$ sur la direction $\vec E$ de $E$ et $(0,\et,\ex,\ey,\ez) $un repère affine tel que pour tous $t,x,y,z\in \R^4$, $q(t\et+x\ex+y\ey+z\ez)= c^2t^2-x^2-y^2-z^2$.
Soit maintenant $\tau'$ une application de l'ensemble des applications $c$-lipschitziennes affines par morceaux d'un segment dans $\R^3$ telle que
1°) $\tau'$ respecte la relation de Chasles (pour tous $p,q,r\in \R$ tels que $p\leq q \leq r$ et toutes $f:[p,q]\to \R^3$ et $g:[q,r]\to \R^3$, $\tau'_{p,q} f + \tau'_{q,r}(g) = \tau'_{p,r} (h)$ où $h$ est une fonction telle que $h|_{[p,q]}=f$ et $h|_{[q,r]} = g$).
2°) $\tau'$ coïncide avec la durée (la longueur de l'intervalle de définition) pour toutes les fonctions constantes
3°) $\tau'$ est invariante par changement de repère lorentzien (applications affines de $E$ dans $E$ dont la partie linéaire est dans la composante connexe du neutre du groupe des isométries de $q$. Je l'énonce comme ça pour simplifier mais on peut décrire algébriquement ce sous groupe. Naturellement, une application invariante par la totalité du groupe d'isométries va vérifier ça mais le sous groupe en question est celui des changements de repères qui ne renversent pas le sens du temps et préservent l'orientation de l'espace -i.e. ont un déterminant positif).
Alors (via de simples calculs) sous les hypothèses vertes ci-dessus, pour tous $n\in \N$ $a_0,...,a_n\in \R$ tels que $a_{i-1}<a_i$ pour tout $i\in \{1,...,n\}$ et toute $f\in C^0\left ( [a_0,a_n]\right )$ dont la restriction pour tout $i$ à $[a_{i-1}, a_i]$ est affine, on a l'égalité
$\tau'_{a_0,a_n} (f) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{c} \sqrt{c^2(a_k - a_{k-1} )^2 - \|f(a_k) - f(a_{k-1})\| ^2 } = \sum_{k=1}^n \frac{1}{c} \sqrt {q \left ( \theta(f)(a_k) - \theta(f) (a_{k-1}) \right )}$ autrement dit:
[size=large]$\tau'_{a_0,a_n} (f) = \tau_{a_0,a_n} (f)$ avec les notations du paragraphe précédent.[/size]
$\tau' = \tau$ s'appelle le temps propre de $f$ entre $a$ et $b$. Si on prolonge $\tau'$ à toutes les fonctions $C^1$ par morceaux par continuté dans un sens raisonnable, la notion de temps propre obtenue va coïncider avec celle du premier paragraphe d'après mon message en lien.
D'autre part on peut concernant les seules fonctions affines par moceaux, faire tout ce qui précède dans la théorie des corps réels clos et donc: IL N'Y A PAS DE CONTRADICTION (théorie complète et décidable).
[large]Il est donc clair que je me suis trompé[/large], et d'ailleurs, tu comprends bien "comment j'ai fait" pour me tromper, puisque comme tu le dis à juste titre, j'ai considéré que quand on reçoit une somme finie (je parle continument: flux de photons, ici) de photons, on vit un temps fini.
Mais, c'est génial car ça m'apporte beaucoup plus d'avoir eu tort que d'avoir eu raison dans le cas présent.
Effectivement, la perception de Mamy quand elle a un âge infiniment grand (à la fin des temps), puisqu'on sait maintenant qu'elle atteindra cette âge à vélo, est que l'origine du repère initial est à une distance finie*** d'elle. Or le fait qu'elle vive éternellement dans ce monde** lui permet avec des complices de jouer aux laborantins avec cette distance finie.
** d'où que je préférais me tromper pour ne pas être face à "mais elle n'aura pas le temps"
Un très grand merci à vous deux et une invitation aux lecteurs courageux à voir dans cette contine le modèle des trous noirs. En effet, la distance finie de l'origine à la Mamy et l'arrêt de l'horloge de l’origine (du moins de ce qu'en reçoit la Mamy via les photons qui en partent, décrit très exactement le phénomène trou noir. Et ça va très loin, car en fait, de toute part les photons reçus par la Mamy à l'infini lui arrivent ... de cette origine, sauf s'il venaient RIGOUREUSEMENT de l'avant de la Mamy. Autrement dit un point va se mettre à remplir tout le ciel de la Mamy et ce point est l'origine du repère initial où elle y verra le temps s'arrêter et à distance finie d'elle (une distance a priori oscillante, mais par un calcul on doit pouvoir trouver UN point à distance constante dans le cadre d'un mouvement uniformément accéléré, et non pas affine par morceaux.
Je raconterai ultérieurement ce qu'ils font.
*** ie dans les repères de la mamy, la distance entre elle et l'origine du repère initial est BORNE. Il ne dépasse pas un certain nombre. Ona un phénomène d'accordéon.
On a longtemps été habitués à penser cette sup comme infinie, d'où le côté surprenant depuis la RR.
Cependant, je crois que c'est une "erreur" qui ne concerne pas que la physique: la seule façon "raisonnable" de justifier la transitivité du parallélisme est ... de faire se couper les droites sur un horizon dont on prétend qu'il a une nature de droite.
Je crois que c'est un peu pareil pour les réflexions relativistes: le projectif permte de mieux voir.
J'en reviens à la Mamy: ce que je n'avais pas dit, c'est qu'il y a une infinité de Mamys :-D, et elles se suivent toutes en cohérence, et papotent entre elles en faisant du vélo.
Le photon émis à 15H qui n'atteindra jamais la première Mamy, n'atteindra pas non plus les autres. Ce qui permet à la première Mamy de trouver une contradiction dans le fait que l'origine se trouve à une distance finie, donc face à un numéro fini de Mamy-clone.
Plus spectaculairement encore, la première Mamy pourrait très bien être seule, mais arrivée à une vitesse suffisante, sortir de la sacoche de son vélo ses dépliants de chez IKEA et son petit singe en lui demandant d'aller se mettre face à l'origine pour comprendre ce qu'il se passe. Le singe lui dirait alors "C'est bon Mamy, je suis en face, je te confirme bien qu'il y a un photon émis toutes les heures et que l'horloge ne bouge pas de 14h59....
Bref, on voit que le formalisme de la RR ne convient absolument pas à un certain nombre de situations "en principe possibles".
C'est certes connu, mais négligé. La principale cause de ça, à mon avis ça a été de vouloir maintenir cet étrange principe d'unimonde que rien ne justifie, et même que beaucoup de choses de tous les jours contredisent, à commencer par notre violation aisée, malgré notre continuité du TVI.
J'ai l'impression que si on creuse, bon, il faut y aller assez violemment certes, car il ne s'agit que d'une géométrie, on obtiendra à peu près les mêmes interrogations que celles produites quantiquement.
Un exemple simple d'ailleurs est que l'indépendance causale interdit toute régularité de la fonction-destin (ie l'application qui à chaque point de l'espace associe sa couleur), puisque sinon, la moindre différence quelque part, en entraine une partout (principe des zéros isolés)
Soit $\R^2$ le système de coordonnées du référentiel $R_i$ qui est immobile. On peut se ramener à $c=1$, donc la forme quadratique $Q$ est $(dy)^2-(dx)^2$. Soit $m=\pmatrix{ x \\ y}$ les coordonnées du mobile dans le référentiel $R_i$. Alors le référentiel $R_m$ du mobile est $(m, \dot{m},e)$. En effet, la masse du mobile ne varie pas au cours du mouvement, donc on peut supposer que $Q(\dot{m})=(\dot{y})^2-(\dot{x})^2$ est constant égal à $1$. Alors, on a $e=\pmatrix{\dot{y} \\ \dot{x}}$. Car $L(\dot{m},e)=0$ et $L(e,e)=-1$, où $L$ est la forme bilinéaire associée à $Q$.
La vitesse du mobile augmente, dans son référentiel $R_m$, de $dv$ en un temps $d\tau$, donc $\dot{m}(\tau+d\tau)=\dot{m}(\tau)+(dv)e$.
Si l'accélération est constante, $a:=\frac{dv}{d \tau}$, alors on a $\ddot{m}=ae$.
Donc $\ddot{x}=a\dot{y}$ et $\ddot{y}=a\dot{x}$.
Si les conditions initiales sont $x(0)=y(0)=0$ et $\dot{x}(0)=0$ et $\dot{y}(0)=1$, on trouve:
$x=\frac{1}{2a}e^{a \tau}+\frac{1}{2a}e^{-a \tau}-\frac{1}{a}$, et $y=\frac{1}{2a}e^{a \tau}-\frac{1}{2a}e^{-a \tau}$.
j'essaie de me former à la version "axiomatique" de la relativité restreinte, i.e. essayer de démontrer que "si un ensemble d'observateurs munis de référentiels se décrivent les uns les autres et voient tous les photons aller à vitesse constante, alors ils vivent tous dans l'espace-temps de Minkowski".
Dans le bouquin que je lis, l'auteur annonce fièrement que tout sera déduit de l'invariance de la vitesse de la lumière, mais... quand il étudie deux référentiels, dont l'un est en mouvement par rapport à l'autre dans la direction $v$, alors il suppose que les longueurs sont inchangées dans les directions orthogonales à $v$.
Est-ce que cette hypothèse est nécessaire ? Peut-elle être déduite de postulats d'apparence plus primitive ?
Les "changements de repères lorentziens" sont les fonctions affines de $E$ dont la partie linéaire est dans la composante connexe du neutre dans le groupe orthogonal de $q$.
NB: soit $f:V\to V$ une fonction telle que pour tous $x,y\in E$, $q(f(y)-f(x))=q(y-x)$. Alors $f$ est une bijection affine.
Cela provient du lemme plus général suivant pour tout corps commutatif $K$ de caractéristique différente de $2$: soit $W$ un $K$-espace vectoriel de caractéristique différende de $2$ et $W$ une forme quadratique non dégénérée sur $W$. Soit $g:W \to W$ une fonction telle que $g(0)=0$ et, pour tous $x,y\in W$, $q(g(y)-g(x))=y-x$. Alors $g$ est un isomorphisme linéaire (commencer par établir l'identité $\varphi (g(s),g(t))=\varphi (s,t)$ pour tous $s,t\in W$).