Preuve de la nécessité de l’axiome du choix
Bonjour,
Est-il possible de prouver par exemple que l’axiome du choix est nécessaire pour démontrer le théorème de Krull ? Ou d’autres théorèmes qui sont en apparence des conséquences de cet axiome ?
B&B
Est-il possible de prouver par exemple que l’axiome du choix est nécessaire pour démontrer le théorème de Krull ? Ou d’autres théorèmes qui sont en apparence des conséquences de cet axiome ?
B&B
Réponses
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Connais-tu les mathématiques à rebours ?
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Maintenant, de nom. Ca m’a l’air pas mal, l’article de Wikipedia est concis. Je suppose qu’il faut un bon niveau de Théorie des ensembles slash logique pour s’y plonger.
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Là c'est pas trop une question de mathématiques à rebours dans des situations comme ça. On peut déduire l'axiome du choix du théorème de Krull donc l'axiome du choix est nécessaire à la preuve (car pas prouvable dans ZF)
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Que les choses soient claires : je n'y connais rien, aux mathématiques à rebours, et j'ai appris l'existence du domaine il y a moins de trois mois. Cela n'empêche pas de gloser, hein ?
Il me semble que la méta-question des mathématiques à rebours est : quel est le système d'axiomes « minimal » qui permet de démontrer un théorème donné ? Même s'il est ultra-classique et connu depuis, euh, Krull, que l'on peut démontrer l'axiome du choix à partir du théorème de Krull, je ne vois pas pourquoi cela ne relève pas des mathématiques à rebours. -
Bah dans l'esprit c'est plutôt ça, mais de ce que j'ai vu ( je ne suis pas expert non plus, loin de là), ce n'est pas à ce genre de théories que s'intéressent les maths à rebours; et que les personnes qui font des trucs de ce genre (équivalence avec AC, HC, grands cardinaux etc.) ne qualifient pas leurs travaux de maths à rebours.
À ne pas prendre à 100% bien sûr, mais c'est ce que j'ai cru observer -
La question "maths à rebours" serait plutôt la suivante : il est très classique que, dans $\mathsf{ZF}$, l'axiome du choix et le théorème de Krull sont équivalents, cela reste-t-il vrai pour un fragment strict de $\mathsf{ZF}$ ? Si oui, y en a-t-il un minimal ?
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Les maths à rebours concernent en pratique surtout les systèmes très faibles et effectifs. Exemple Konig (arbres), etc. Moins les infinis non dénombrables ( souvenirs juste)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Poirot et christophe ont précisé ma pensée, merci à vous deux
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L'été dernier où avant dernier j'ai le vague souvenir que j'avais posté une preuve de Krull => AC sur le forum et même l'impression souvenir que GBZM m'avait aidé ou avait vérifié des choses si ça peut t'aider à faire une recherche. Je suis à peu près sûr que ça date deoins de 2ans.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Voici un doc qui semble répondre à la question:
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~berhuy/fichiers/KrullAC.pdf
Mel. -
Pourquoi une fois de plus je retrouve à peu de choses près la preuve que j'ai postée sur le forum? Ça ne me gêne pas du tout vu que c'est un banal exo de TDE donné probablement dans tous les M2 de logique mais ça fait bizarre (enfin si le doc à été écrit avant l'été 2017 c'est moi qui délire sinon ça manque de remerciements comme la fois precedente. Et j'insiste c'est une histoire de chaleur humaine rien d'autre).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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J'imagine que l'auteur et toi ont la même source, à savoir le papier de Banachewski (qui semble être la démo la plus simple de celles qui existent). Honnêtement, je pense que c'est toi qui délire.
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Possible, mais il y a des précédents pour lesquels, il est irréfutable que je ne délirais pas (et j'étais surtout triste pour Anatole qui avait fait une partie du taf puisque pour ma part, j'ai fait voeu de clandestinité). Et quand je l'avais signalé sur le forum, ça avait induit un déplacement des fichiers.
Encore une fois ce n'est pas grave, c'est juste que quand après une soirée tu fais la vaisselle (ou quand tu tiens la porte de ton immeuble à quelqu'un, c'est relativement décourageant d'avoir l'impression que c'est un dû, c'est tout.
Je le redis cet énoncé (maintenant les souvenirs me reviennent) est un exo routinier, et j'avais "dénoncé" sur le forum la publication d'un .. article officiel par je ne sais plus quel grand nom (je crois que c'était Krull lui-même, je ne sais plus) en 1982 (ce que me dit ma mémoire) alors que le truc est connu et "routinier" depuis les années 30. J'avais trouvé ça assez "fort de café", mais le "grand nom" attaché était au dessus de tout soupçon, on voyait bien qu'il "faisait le taf de l'enregistrer" (il donnait d'ailleurs une preuve compliquée), parce que ça n'avait pas été fait pour que ce ne soit pas perdu pour la non-logique-communauté.
Autre choses qui peuvent être parfois un peu désagréables c'est la remise sous forme complexe d'idées très simples au titre du respect des standards. Ca "tue le plan" et donne un air savant à des trivialités. N'oublions pas qu'on ne s'adresse pas à des élèves de Terminale STMG, mais à une communauté de chercheurs professionnels déjà aguerris à combler les trous. Il n'est pas gênant de fournir des preuves détaillées à la condition de fournir AVEC un plan qui signale la trivialité du résultat. Si ça manque, ou bien je dis que c'est impoli, ou bien je dis que c'est suspect, point barre, avec l'âge, je deviens acariatre et fier de l'être**.
J'ajoute que cette notion de "faire la vaisselle" et attendre d'être remercié parce que les convives ont pu rentrer plus tôt n'est pas exhaustive comme métaphore: il y a aussi la traçabilité perdue et la chute dans une forme d'obscurité***. Les exemples sont foison (Théorème de Statman, de Cook, de jenesaiski que les langages algébriques sont polynomiaux, la plupart des reverse de l'axiome du choix, bcp de preuves de Brouwer, etc, rien que dans ce qui me tient à coeur, alors si je transpose ailleurs... )
*** en retraçant dans l'autre sens les gens intéressés (qui s'en foutent de la gloire ou des auteurs, on n'emballe pas les filles en étant matheux, vaut mieux le cacher) peuvent bifurquer et trouver des chaussures à leur pied très importantes. Qu'ils n'auraient pas trouvées sans le parcours.
** exemple typique, si je n'avais pas diné avec Anatole, je serais probablement mort sans connaitre de preuve du th de Jacobson (ref un autre fil), parce que les seules sources officielles étaient un article de plusieurs dizaines de pages laissant le truc apparaitre comme un véritable tour de force alors que ce n'est qu'un corollaire légèrement inspiré d'un théorème connu qui se prouve en 15 lignes (modulo professionnel).
PS: le fichier est de fin 2017... :-D je viens de re-regarderAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon cela dit, c'était une digression, je ne continuerai pas sur ce fil d'aborder ce sujet.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Et je rappelle que le plan est toujours un peu le même pour ce genre de théorème:
1/ Wanted un maximal où l'ordre est l'inclusion et l'ensemble ordonné est "ne pas contenir une partie finie interdite"
2/ Utiliser des théorèmes usuels comme axiomes disant qu'il y a certaines sortes de maximaux, puis .. cambouis de quelques heures
Exemples:
- pour Krull =>AC: décréter que 2 elts dans une même classe sont premiers entre eux
- pour base=>AC: décréter que 2 elts dans une même classe sont linéairement dépendant
etc.
C'est le cambouis (et il faut l'assumer ça peut prendre quelques heures, c'est comme poser une multiplication à la main) qui fera émerger la forme élégante la plus présentable. En gros le fait "qu'on sait que ça va veniré" (comme on sait que la multtiplication terminera) est que les témoins de Skolem dans les raisonnements de maths qui refusent les quantificateurs peuvent se restreindre à des intersections (ie pas besoin de "choisir un elt dans $A\cup B$", puisqu'on l'a demanière effective après en avoir choisi dans $A,B$ respectivement).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
L'auteur du papier ci-dessus était un membre assidu du forum à l'époque ;-)
Wolfgang Krull est mort en 1971 donc ça m'étonnerait qu'il ait publié son théorème en 1982. En fait il l'a publié en 1929... -
Je sais, mais j'ai fait attention de ne pas citer de nom ;-)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Ma mémoire m'a trompé mais de peu. Ce n'est pas 1982 mais 1978 et c'est Hodge dont je parlais. Il a publié un article intitulé "Krull => Choice" en laissant croire par le titre que c'était "ouvert avant" enfin je crois avoir fait ce constat à l'été 2017 quand j'ai voulu vérifier l'abstract.
C'est tout de même assez gonflé comme démarche (si je ne me trompe pas) de publier une correction à un exo standard des années 30.
Maintenant comme s'appelle Hodge et que je sais pas combien il y a de Hodge , si c'est le grand matheux habituel ça pouvait n'être qu'une simple corvée genre "fallait bien que quelqu'un archive ça". Dans ce cas il aurait pu prêter sa plume à ses étudiants. Menfin je suis un peu vieux je ne sais pas toutes les moeurs pour autant.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
"Le" Hodge est mort en 1975.
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Vérité historique, falsifications, délires et fictions.
En trente secondes de navigation internet et quelques clics, on découvre que :
- Wolfgang Krull démontra et publia son théorème en 1929, en s'appuyant sur le bon ordre. Il était connu â l'époque que le principe du bon ordre était équivalent à l'axiome du choix.
- Sans connaître les travaux de Krull, Max Zorn présenta en 1934 et publia en 1935 une autre démonstration du théorème de Krull, en se basant sur son lemme éponyme.
- Ce n'est qu'en 1939 que John Tukey démontra l'équivalence du lemme de Zorn avec AC.
- En 1954, le célèbre logicien Danna Scott posa la question de savoir si le théorème de Krull impliquait AC.
- En 1978, soit 24 ans plus tard, le logicien anglais Wilfrid Hodges, qui n'est pas le mathématicien écossais William Hodge de la conjecture, répondit par l'affirmative et le démontra.
- En 1994, le mathématicien allemand Bernhard Banaschewski en donna une nouvelle preuve plus simple.
- Le 23 octobre 2017, Greg écrivit un document PDF détaillant la preuve de Banaschewski.
- Au cours de l'été 2018, dans une discussion sur le forum, cc donna des sketches de sa propre preuve.
- Dans le présent fil, on apprend que cc
- s'étonne en voyant le PDF de Greg de "retrouver une fois de plus, à peu de choses près, la même preuve qu'il avait postée sur le forum", autrement dit, il soupçonne Greg d'avoir le 23 octobre 2017 pompé ce qu'écrivait cc en 2018.
- lui reproche son ingratitude et son manque de chaleur humaine.
- accuse Hodges, dans sa publication de 1978, "d'avoir laissé croire que c'était ouvert avant".
- prétend que c'est un "exo standard des années 30", un truc connu et routinier depuis les années 30", "un banal exo de TDE".
Étonnant, non ? dirait Desproges. -
Merci GG pour ce moment d'humour! Mais hélas l'été 2018 était l'été dernier et sans être catégorique à 100% je me revois plutôt faire ça en 2017 (en associant lieux de vacances aux souvenirs). Je ne t'appliquerai pas stratégie hypercritique pour autant. Pour le reste tu as l'air sûr de toi et renseigné. Mais ça parait très douteux: 1940 est l'époque du th de Godel, 1970 celle du forcing et des modèles internes (Solovay) je NE PEUX PAS CROIRE qu'il faille 20 ans pour trouver une solution à ça et surtout que la question ne se soit pas posée avant. La période 55-70 à foisonneAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Et je te rappelle que G l'a déjà fait pour un autre énoncé. Je n'aurais rien soupçonné sinon. Et évite de citer des noms.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je pense en relisant ton truc que ce que ça révèle surtout c'est le système des publications et enregistrements. Cela dit te croire m'amuserait : en grignotant des cacahuètes en quelques heures me suffirait à torcher des années de recherche de Krull, Zorn, Tukey, Scott, Hodge :-D
J'avais mal au crâne et ai pris 1000g d'aspirine. Ça compense de se retrouver Captain Marvel. Sans parler des présentations d'Internet qui viennent probablement romancer ces historiques d'articles. On avait vu ça déjà avec Shelah Malliari (présentés comme ayant résolu HC)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Salut Christophe,
1000g d'aspirine, fait gaffe au hallucination quand même :-D -
Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ont été publiés en 1931. (edit: tu voulais parler peut-être du résultat de théorie des ensembles).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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De mon téléphone j'ai la preuve irréfutable que c'était l'été 2017 :-D
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1516286,1519826#msg-1519826Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Foys: oui je parlais surtout de périodes où réalistement (1930-1940) l'expertise formaliste existait suffisamment pour rendre invraisemblable que ces trucs n'étaient pas déjà très présents EN TANT qu'exercices.
Les enregistrements sous forme "d'articles officiels" ont peut être traîné je veux bien le croire. Si en 2054 une personne publie que tout théorème est un cas particulier d'évidence la date d'enregistrement sera 2054 par exemple bien que ce soit un exo de logique aujourd'hui et même probablement il y a 40 ans.
De même le théorème du libre arbitre officiellement enregistré en 2006 figurait tel quel sur mon site en 1996 mais avait été prouvé vers 1970 sous un titre moins sexy par KS. Etc..
Donc GG est peut être sincère (sauf dans sa défense de G). Mais tant mieux il a montré de l'affectif à la rigueur.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
cc, Le fil de 2018 (il n'y a pas de fil antérieur parlant de Krull et de l'axiome du choix sur le forum) :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1516286,1516286#msg-1516286
[Contrairement à ce que peut laisser croire l'imprécision de l'affichage des dates, le fil de discussion en lien ci-dessus a débuté le 25 août 2017 pour se terminer le 31 août 2017. AD]
Des références bibliographiques pour la question de Scott et d'autres choses :
http://sections.maa.org/lams/proceedings/spring2004/HenryHeatherly.pdf
Ta mémoire n'est pas très fiable et tu ne ferais pas un très bon historien des sciences ! -
Pour l'histoire je veux bien te suivre mais tu discredites ta fiabilité en te trompant sur le fil que tu annonces de 2018 alors que ma dernière intervention dans ledit fil est début septembre 2017. J'y étais :-D :-D je sais de quoi je parle et GBZM, Poirot , skyffer , foys y ont participé. GBZM m'a même aidé à prendre conscience que le corps F2 était acceptable dans l'astuce. En outre en plus du pdf que je digne et date au 31082017 il y a l'évocation d'une piscine qui est précisément celle d'un hôtel proche de Montpellier où je suis allé en avion jusqu'au 30082017 (rien de tel en 2018)
Donc si tu veux convaincre de ta culture probablement valable sur la lointaine histoire , essaie d'être plus pointilleux sur celle du forum récent qui elle fornit des preuves toutes cuites :-D
Pour les dates d'articles officiels du 20ie siècle je ne les conteste pas mais j'ai dit ce que j'en pense.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Et je voue une grande admiration à Tukey dont j'ai repris et détaillé le preordre dans "phone paradigm"****
Pour moi c'est MAJEUR ce qu'il a fait. Mais ce n'est de prouver AC=> Zorn en 1950 qui l'honorera le plus en l'an 3000 :-D
**** Je trouve délicieusement snob cette sonorité anglaise mis à la place de la rugueuse expression "ma thèse".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Mea culpa pour l'histoire des dates ! Je ne serais pas non plus un bon historien des sciences ! (manque de recoupements, etc).
Ceci dit, peux-tu imaginer une seconde que si UN SEUL mathématicien ou logicien avait trouvé une preuve de Krull => AC entre 1929 et 1954, ou entre 1954 et 1978, il ne serait pas EMPRESSÉ de la faire publier ? -
J'en reviens (étant sur un PC) à des considérations moins gazette locale et plus techniques.
1/ ICI: j'appelle "évident" un énoncé ne nécessitant ni inspiration ni longueur pour être prouvé.
2/ j'appelle "trivial" un énoncé ne nécessitant pas d'inspiration (mais qui peut nécessiter 10^15 lignes).
3/ Métaphore (enfin même pas métaphore puisqu'on peut définir les maths comme ça) du labyrinthe: Le problème est un endroit du labyrinthe, ses solutions sont des chemins qui mènent à la sortie (ou au paradis) du labyrinthe.
4/ Evident veut dire "sortie voisine du problème"
5/ Trivial veut dire "unique chemin à peu de choses près vers sortie". Autrement dit: "roule, tu rouleras peut-être longtemps, mais tu ne rencontreras aucun croisement et n'auras jamais de dilemme"
6/ En 1920, j'ai appris par des clg chercheurs que les choses étaient très confuses. Mais plus en 1930-1940. En 1930-1940, le formalisme était expertisé et compris. A ce moment:
7/ Zorn =>AC; Zermelo=>AC étaient évident et AC=>Zermelo; AC=>Zorn étaient triviaux
8/ Je ne prononce pas sur les publications car quand on a face à soi du trivual et qu'on est chercheur, on ne s'amuse pas à le publier (c'est ce que m'a appris la fréquentation de cette communauté). Par contre, il peut y avoir deux raisons pour publier:
9.1/ Etre un jeune un peu tricheur qui veut se faire valoir, et récupérer un machin qui traine dans les boites à outils et le publier. De très nombreux MCF et professeurs d'université se sont construits comme ça, donc, même si c'est minoritaire, ça me semble à ne pas négliger quand on prétend faire des rappels historiques.
9.2/ Etre un expert sans besoin d'argent ou de promotion et se taper le sale boulot d'une publication minimaliste pour que soit enregistré dans les archives scientifiques un théorème considéré comme nécessaire.
10/ Il n'est pas du tout exclu que nos petits énoncés présents dans ce fil aient suivi un mixe des deux phénomènes.
11/ En outre, il existe un autre phénomène, que j'ai observé plus qu'abondamment: organiser sa preuve de manière "parfaitement bureaucratique" de façon qu'elle apparaisse très savante. Bien entendu, tu ne verras jamais un auteur reconnaitre qu'il a fait ça, mais mes anciens DR et moi-même avons pu converger sur le fait que pour le coup ce n'est même plus une tandance minoritaire non négligeable mais carrément une tendance ultra-majoritaire (90% des publiants "rendent savants" leur récit de découverte)
12/ Alors certes, je n'y connais rien en histoire ancienne, mais j'ai des yeux pour voir les énoncés et évaluer leur complexité:
12.1/ Krull =>AC
12.2/ Base => AC
sont triviaux! (Au sens ci-dessus défini) pour un professionnel post1940-1950.
13/ Dans les années 1970, soit contemporainement à la "soit disant réponse officielle de Hodge", des chercheurs (j'ai oublié leur nom) établissaient à coup de forcing que ZF + Ultrafiltre + non(AC) est consistante (modulo ZF).
14/ Dans les années 1970, soit contemporainement à la "soit disant réponse officielle de Hodge", Solovay établissait à coup de forcing que ZF + All set of reals mesurable est consistant (modulo ZF+CI). Martin prouvait la consistance relative de son axiome à coup de forcings .. itérés.
15/ Entre 80 et 90, GC=> consistance de AD étaient obtenu par Martin et Steel. Autrement dit, à une époque proche.
16/ Autre hypothèse: ces questions auraient été oubliées, au point que des solutions que CC trouve en 1H au bord d'une piscine n'aient été publiées que proche de l'an 2000. Hum hum, ça ne me parait pas réaliste: si aujourd'hui, pour cause de crise économique, les compétences en infinitistes se sont retrouvées ostracisées et emprisonnées dans quelques rares labos et qu'on voit régulièrement des gens extérieur réinventer l'eau chaude, il n'en était nullement question dans les années 1960-1985! A cette époque les jeunes Solovay and co disposaient de crédits et de liberté suffisante pour faire exploser les compteurs.
En conclusion: je veux bien croire aux dates des articles, mais pas "sur le fond" que ces dates nous informe de l'état de l'art de telle ou telle époque du 20ie, d'autant qu'il y a eu 2 guerres et probablement des tas de chercheurs réfugiés dans de petits jardin clandestins s'occupant à trouver des trucs sans même envisager de les publier.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
GG a écrit:Ceci dit, peux-tu imaginer une seconde que si UN SEUL mathématicien ou logicien avait trouvé une preuve de Krull => AC entre 1929 et 1954, ou entre 1954 et 1978, il ne serait pas EMPRESSÉ de la faire publier ?
Oh là là oui, à DONF. Je viens de détailler pourquoi!!
Contrairement à aujourd'hui, il n'est pas clair qu'à cette époque "publier" était rémunérateur de manière formelle. Faudrait vérifier. Pour moi, il est clair que Solovay, Martin, Godel, Turing, Tukey, etc te balançait une preuve de ça dans le QUART D'HEURE qui suivait un moment où on leur posait la question.
Ca n'implique pas une publication.
Je vais te prendre un exemple: un jour comme un autre, j'arrive à Jussieu et je demande à Boban Velickovic si je suis obligé de mettre une preuve de [***] dans mon mémoire.
A ce moment-là, il y a A.Louveau, G.Debs et J.St Raymond assis pas loin un verre à la main, qui disent à BV "ah bon c'est vrai?
Je suis absolument persuadé que BV n'avait jamais pensé à cette énoncé avant.
Il se gratte la tête ne s'aperçoit même pas que je suis là et trouve en 40 secondes chrono une preuve de 5 lignes et la leur balance.
Et eux répondent "ah bin oui, effectivement" et reprennent leur conversation. BV ajoute: par contre pour les T1, je pense que ça peut monter jusqu'aux mesurables (mais évidemment pas au dela).
J'en parle un peu plus tard à Anatole. Nous avons cherché un certain temps des docs et effectivement vérifié que ça monte jusqu'à T1. Mais là aussi BV ne le savait probablement pas, il voyait juste "au flair". Et quand il parle de Woodin, il dit que personne ne se sent capable à côté.
Bref, à partir du moment où les gens se spécialisent, ils trouvent le trivial sans le rédiger (ils zippent la route unique). Seul le non-trivial leur résiste.
[***] Dans un espace $E$ topologique $T2$ (séparé), si tout singleton est intersection d'une suite d'ouverts alors $card(E)\leq card(\R)$ (attention, tu ne disposes pas d'inégalité triangulaire). Ce truc "s'exécute" avec des bases de théorie des modèles sans aucune inspiration en 5 lignes. Mais le faire à la main" est chiant. Or BV était logicien officiel alors que ses convives étaient "officiellement analystes" (et c'était important car à P6 où il eut été couteux en termes de crédit de s'afficher logicien)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Après j'avoue qu'il y a des mystères: Schwartz a eu sa MF très tard pour les distributions (objet somme toute intuitif et pas très "inventif", qu'on peut ranger dans le quasi-trivial à compter du moment où on le désire (si on ne le désire pas évidemment ....)
Mais rien ne dit qu'officieusement sa MF ne soit pas dû à d'autres qualités, et qu'il ait fallu trouver un motif qui tient dans l'imprimé administratif. Ca arrive tout le temps.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ok cc, je comprends les enjeux.
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Je précise que je ne fais que donner mon avis d'ailleurs , un ressenti. Je ne suis né qu'en 1966.
De mon téléphone quelques énoncés typiques et ressemblant en termes de subtilité-difficulte:
Tychonov
Tout espace métrique est paracompact
Tout convexe compact est engendré par ses extrémités (dim quelconque)
Tout corps normé contenant IR est de dim finie
Brouwer
Stokes
Tout espace topologique se plongé cano dans un compact (pas forcément injectivement)
Publications? Si oui date?
Je les ai pris car ils sont juste "un peu plus durs" et idem peuvent se rédiger courtement.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe : Tychonov => AC tu le fais sans inspiration ? (question honnête hein, c'est juste que moi j'ai l'impression que la preuve que je connais est inspirée - bien sûr, l'inspiration pour l'un.e est la routine pour l'autre, mais je demande tout de même)
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Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bin perso oui mais je ne me rappelle plus la 1ere fois. Le quzsicompact à essayer est tout même évident et unique et voir qu'il marche est évident mot à mot.
Que dirait on d'un étudiant QUI N'ESSAIE MEME PAS cet espace? ... Qu'il est de mauvaise volonté. Non?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Mhm je ne suis pas d'accord - il faut rajouter des trucs à tes ensembles de départ (c'est une instance du 17 camels trick :-D ) donc ça ne me paraît pas automatique.
Avec un peu de culture à ce sujet c'est plus simple (parce qu'on sait qu'il va falloir choper des quasi-compacts non compacts, sinon on n'a pas full AC), mais si je ne savais moi je tenterais d'abord des trucs genre compactification du discret, ou encore compactification de Stone-Cech etc. bien avant de penser au truc à utilsier -
Bien sûr qu'on a l'énoncé précis à prouver. Tycho juste T2 n'entraîne pas AC.
Avant même d'avoir l'espace que veut on. Une f qui envoie i dans A(i) POUR CHAQUE i. Qu'est-ce qu'on a: plein de f qui marchent pour des ensembles finis de i aussi gros qu'on veut.
C'est quasiment le fondement automatique de l'expression "par compacité" de dire "donc il y en a une qui marche pour tout i. "
Je ne vois pas quel chemin autre prendre sans essayer D'ABORD celui ci (ie de dire que l'ensemble des f tels que f(i) n'est pas dans A(i) s'appelle L'OUVERT U(i)).
Après si tu me dis que c'est inspiré de mettre un seul élément en dehors de A(i) quand on va mettre ça sur un transparent pour le congrès de l'ONU... À un moment faut bien rédiger, certes.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
Est-ce que quelqu'un, via son labo par exemple, aurait accès à l'article en question : B. Banaschewski, A new proof of Krull implies Zorn. Math. Log. Quat.40(1994) 478–480 ? -
@GR: tout dépend ce que tu veux y voir. De mon téléphone je te donne la preuve car ce que je vais admettre ne te posera pas de problème.
Tu as ton ensemble E doté d'une relation d'équivalence et tu veux un elt par classe. Tu considères les éléments de E comme des indéterminées.
Tu déclarés un polynôme petit si en remplaçant certaines de ses lettres par 0 sans en remplacer 2 dans la même classe ça le rend nul.
Si le produit de deux polynômes est petit l'un des deux l'est.
Soit M maximal parmi ceux ne contenant que des petits polynômes petits. Il ne peut con tenir deux lettres dans la même classe. Si une classe ne contient pas de lettres dans M soit a une lettre de cette classe P un polynôme de M tel que a+P pas petit et F le monôme composé des lettres apparaissant dans P qui sont dans la même classe que a.
Soit Q un poly dans M tel que F+Q pas petit.
En multipliant (a+P) par (F+Q) tu as une contradiction
Pas besoin d'un article de 94 pour juste dire ça. :-D
Mais je ne sais pas ce qu'il y a dedans c'est peut être ENCORE PLUS SIMP'E!! :-D
De mon téléphoneAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Précision : on doit à GBZM qui avait le bon goût d'être dur le forum en fin d'été 2017 que le corps n'a pas d'importance car moi j'avais dit "une lettre par monome" mais ma dyscalculie m'empêchait de parer au danger de la disparition de monômes lors des regroupements après développement d'un produit. Lui s'était rappelé que l'anneau des polynômes est intégre.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@cc : Je sais bien qu'une preuve a été donnée sur le forum à l'été 2017.
Je veux juste voir comment on s'y prenait en 94. -
Bin écoute c'est simple je pense que ce qu'a fait G au lien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1803094,1803244#msg-1803244 qui est essentiellement une recopie mise en forme de mon argument posté 2mois plus tôt sur le forum te donnera une idée proche de ce que tu cherches. Je pense qu'il a dû chercher dans les archives et vérifier puisqu'il ne m'attribue rien et ne me remercie pas (du coup ça peut être une coïncidence pour la deuxième fois) donc que son pdf recouvre une fidélité à l'article que tu désires. Mais je ne suis pas abonné faudra que des gens abonnés te le filent et il le feront vue la crise actuelle avec les racketteurs Elsevier and coAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@GR, étant sur un pc, je bouche les trous.
1/ l'existence de $M$ est assurée par la prise d'un idéal maximal dans l'anneau des fractions (de l'anneau des polynômes utilisé) ayant un dénominateur non petit.
2/ Supposons $a+m$ non petit et $F+w$ non petit. Alors $xaF + xaw + xFm + xmw$ ne l'est pas non plus, où $x$ est un scalaire bien choisi (c'est par anticipation que j'avais éjecté $F_2$ initialement, je voulais avoir des bons choix de $x$)
3/ Par contre**, $xaw + xFm + xmw$ lui vu qu'il $\in M$, il est petit. Soit $J$ un idéal engendré par un ensemble choix partiel d'indéterminées tel que $xaw + Fm + xmw\in J$. Il y a donc une indéterminée au moins par monômes de $m$ qui est dans $J$. Donc $aF\in J$.
**J'ai multiplié $a+m$ par $x(F+w)$ et pris $x$ pour que le développement ne fasse pas disparaitre de monômes de $m$ quand on additionne $m$ avec $w+xmw$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
De mon téléphone avant que j'oublie pour max. Est-ce que l'axiome une puissance quelconque d'un quasi compacte est quasi compacte entraîne AC?
D'un PC je mettrai un lien et la numeroterai dans IEFD.
[size=x-large]@max :[/size] attention foys résout la question au [size=x-large]post suivant donc si tu veux jouer ne la lis pas[/size]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Solution de l'exo ci-dessus.
Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille d'ensembles quelconques. On pose $E:= \coprod_{i\in I} X_i$ (union disjointe) que l'on munit de la topologie $\tau$ dont les ouverts sont les unions $\bigcup_{j\in J} X_j$, où $J$ parcourt l'ensemble des parties de complémentaires finis de $I$.
Alors $E$ est quasi-compact, de plus si $k\in I$, $X_k$ est fermé dans $E$ et donc $F_k:=\{x\in E^I \mid x_k \in X_k\}$ est fermé dans $E^I$ (et évidemment non vide), et donc si $E^I$ est quasicompact, $\bigcap_{i\in I} F_i=\prod_{i \in I} X_i$ est non vide.
NB pour christophe c et indication:
Comme l'idée est quasiment la même que pour Tychonov non séparé => AC, je pense que ça ne prendra pas plus de quelques minutes à Maxtimax...Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bravo et merci foys!!!!! Je la numeroterai quand même! Bon bin si max dort encore je lui conseille de ne pas lire la solution (que tu peux peut être mettre en blanc car je me suis aperçu pour ma part que je n'ai même pas pensé me retenir de lire).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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