Équation fonctionnelle

Cela semble difficile comme question parce que ce genre de fonctions régulières, transsexponentielles et satisfaisant des équations fonctionnelles sont assez peu étudiées, et il ne semble pas clair que l'on puisse forcer l'unicité une fois qu'on a trouvé un comportement asymptotique suffisamment fort.

Est-ce que tu connais des fonctions pas explicitement construites à cette fin qui satisfont la condition $\forall g$ récursive $n$ grand $\longrightarrow f(n)>g(n)$?

Pour ce qui est de l'équation $f(x+1)=exp(f(x))$, en général on peut résoudre des équations syntaxiquement proches en bricolant à partir d'une solution donnée. Par exemple si $E$ est solution de $E(x+1)=exp(E(x))$ alors pour $a<1$, la fonction $x\mapsto E(\frac{x}{1-a})$ est solution de ton équation différentielle.

Quelques remarques presques constructives:

-Je ne suis pas sûr que la dérivée aide à obtenir des fonctions à plus forte croissance, qu'en penses-tu?
-Si tu autorises des équations faisant intervenir des fonctions elles-mêmes solution d'équations fonctionnelles, alors les arguments démontrant l'exitence d'une solution $E$ plus haut s'appliquent pour résoudre le même type d'équation d'Abel; autrement dit on a des fonctions $E_2,E_3,...$ avec $\forall n \in \mathbb{N},\forall x \in \mathbb{R},E_{n+1}(x+1)=E_n(E_{n+1}(x))$ (voir cette thèse, dans l'annexe A).
-Il me semble que les fonctions $E_n,n\in \mathbb{N}$ montent tout en haut de la hiérarchie de croissance des fonctions récursives primitives.