Infinité d'axiomes
Bonjour,
Je vous adresse une question concernant le nombre d'axiomes d'une théorie. Ma recherche porte sur l'existence éventuelle d'une théorie qui comporterait un nombre infinis d'axiomes. Une telle théorie a-t-elle déjà été développée?
Je vous précise l'origine de mon questionnement. J'étudie un philosophe (Paul Horwich) qui prétend que l'ensemble des phrases du type " 'La neige est blanche' est vraie si et seulement si la neige est blanche" (soit toutes les phrases ayant la structure " 'p' est vrai si et seulement si p") produit une définition implicite du prédicat " est vrai ". C'est pour comparer son affirmation au champ des mathématiques que je pose ma question.
Bien sûr il y a des théories où un axiome a une portée infinitaire via une quantification ("Tout triplet de points non alignés d'un plan définit entièrement ce plan"). Mais le problème est bien d'imaginer une théorie avec une infinité d'axiomes...
Merci pour vos réponse,
Cordialement.
S
Je vous adresse une question concernant le nombre d'axiomes d'une théorie. Ma recherche porte sur l'existence éventuelle d'une théorie qui comporterait un nombre infinis d'axiomes. Une telle théorie a-t-elle déjà été développée?
Je vous précise l'origine de mon questionnement. J'étudie un philosophe (Paul Horwich) qui prétend que l'ensemble des phrases du type " 'La neige est blanche' est vraie si et seulement si la neige est blanche" (soit toutes les phrases ayant la structure " 'p' est vrai si et seulement si p") produit une définition implicite du prédicat " est vrai ". C'est pour comparer son affirmation au champ des mathématiques que je pose ma question.
Bien sûr il y a des théories où un axiome a une portée infinitaire via une quantification ("Tout triplet de points non alignés d'un plan définit entièrement ce plan"). Mais le problème est bien d'imaginer une théorie avec une infinité d'axiomes...
Merci pour vos réponse,
Cordialement.
S
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Réponses
Pareil, la théorie classique de l'arithmétique au premier ordre a une infinité d'axiomes.
En fait, déjà, rien que l'axiomatisation mathématique de la logique comporte une infinité d'axiomes, puisqu'elle contient des règles pour chaque formule, et qu'il y a une infinité de formules.
Cela dit, si tu viens d'un point de vue philosophique alors ces 3 exemples te sembleront être une arnaque puisque dans les trois cas, cette infinité d'axiomes provient de schéma d'axiomes, c'est-à-dire de construction de la forme "Pour toute formule $\phi$, la formule $F(\phi)$ est un axiome" (où $F$ transforme les formules en formules, de manière explicite)
Mais en théorie des modèles par exemple ou plus généralement en logique on étudie de manière routinière des théories avec des infinités d'axiomes; même si on a tendance à préférer celles qui n'en ont qu'un nombre fini, que ce soit vraiment fini (genre 3 axiomes) ou "finiment codable", c'est-à-dire qu'il y a un algorithme qui énumère (ou mieux encore : qui caractérise) les axiomes; donc la réponse est "oui" : on imagine facilement des théories avec des infinités d'axiomes.
Cependant, les théories avec une infinité d'axiomes qui ne sont pas "finiment codables" sont par nature même difficilement imaginables
@Max : qu'appelles-tu exactement une théorie "finiment codable" ?
Si je m'en tiens à la notion d'algorithme j'aurais tendance à dire que ZFC est finiment codable (bien que non finiment axiomatisable) puisque si tu écris n'importe quoi dans le langage des ensembles, tu disposes d'un algorithme qui te dit en un temps fini si le n'importe quoi est un axiome de ZFC ou pas. C'est ça ?
Mais il a raison de dire que in fine RIEN n'est finiment axipmatisable au sens propre puisque À=>À et B=>B sont t différents.
Et rappel: "finiment" est d'utilisation idiote. C'est 1 axiome ou l'infini de toute façon (quand on compte pas les axiomes logiques)
En outre, il est "fautif" de parler d'axiomes non logiques pour ZF (extensionalite mise à part) car en profondeur ce n'est pas (existe u forall v: v dans u ssi F(u)) mais :
"With u:= F , we have u(v) = F(v) et "v dans u" abrège "u(v)" "
Christophe : exactement pour ton truc avec $ A \implies A $, c'est pour ça que si on regarde un peu philosophiquement il faut plutôt distinguer entre ce qu'on peut représenter par une donnée finie et le reste.