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Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$

Envoyé par Pablo_de_retour 
Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Bonsoir à tous, comment allez-vous ?

S'il vous plaît, pourriez-vous me montrer comment on établit que $ \mathbb{R} $ et $ \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) $ sont bijectives ? J'ai essayé de définir une fonction ensembliste de la manière suivante.
$ f : \mathbb{R}^+ \to \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) ,$ avec : $ f(x) = [ 0 , E(x) ] \cap \mathbb{N} $ ( $ E(x) $ est la partie entière de $ x $ ), mais $ f $ n'est pas injective, parce que : $ f( \frac{1}{2} ) = f( \frac{1}{3} ) = \mathbb{R}^- $ pour : $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{3} $ par exemple.
Comment alors montrer qu'il existe cette bijection ?
Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: $\mathbb{R} \simeq \mathcal{P} (\mathbb{N})$
l’an passé
Un réel est l'ensemble des rationnels qui lui sont inferieurs.

Un réel de la forme zéro virgule 355535333555353333...
décrit l'ensemble des entiers qui dont places d'un chiffre 3 en disant que les dixièmes so t 0, les centièmes 1, etc

Cantor Bernstein te transforme ces deux injections en bijection.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: $\mathbb{R} \simeq \mathcal{P} (\mathbb{N})$
l’an passé
En bijecta t avant Q et IN bien sûr.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Merci beaucoup Christophe.
Je n'ai pas compris le passage suivant malheureusement :
Citation
CC
Un réel de la forme $ 0,355535333555353333... $ décrit l'ensemble des entiers qui dont places d'un chiffre 3 en disant que les dixièmes sont 0, les centièmes 1, etc
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Tu prends l'ensemble des réels dont l'écriture décimale ne contient que des 3 et des 5. La suite de chiffres te donne une application de IN dans l'ensemble {3;5} tandis qu'une partie de IN est une application de IN dans {faux; vrai}

De mon téléphone

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Oui, c'est vrai, j'ai compris. Merci beaucoup Christophe. Quelle belle méthode tu m'apprends Christophe pour résoudre cette partie. Merci beaucoup. winking smiley
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
You are welcome.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Bonsoir,

J'ai une nouvelle question :

Comment montrer que $ \mathbb{R}_+ $ ou $ \mathbb{R}_+^* $ est en bijection avec : $ \mathbb{R} $ ? ( et par conséquent, Ils ont tous le meme Cardinal, non ? )

Merci d'avance.

edit : J'ai corrigé Rescassol. smiling smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Bonsoir,

Seules des applications peuvent être bijectives.
$\mathbb{R},\space\mathbb{R}_+,\space\mathbb{R}_+^*$ sont des ensembles pas des applications.

Cordialement,

Rescassol
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Tu as déjà vu le couple logarithme/exponentielle, pablo ?

Sinon, si tu as vu le théorème de la bijection monotone, et les tableaux de variations/limites, tu peux regarder : $t \mapsto \frac{1}{2} \cdot \big(
t - \frac{1}{t}
)$, ca te donnera une bijection $\R_+^* \longleftrightarrow \R$.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Merci marsup.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Pourquoi $ \mathbb{R}_+ $ et $ \mathbb{R}_+^* $ sont en bijection ?
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Une bijection effective $f$ de $\mathbb R^+$ dans $\mathbb R^{+*}$ :
si $x$ n'est pas entier, $f(x)=x$
si $x$ est entier, $f(x)=x+1$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Montrer qu'une bijection $\R_+ \longrightarrow \R_+^*$ ne peut pas être continue. (ni dans l'autre sens.)
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Une remarque sur la fonction de gerard0.

Pour $n\in\N$, les intervalles $[n;n+1[$ et $]n;n+1]$ sont facilement en bijection.

Par conséquent : $\R_+ = \bigcup\limits_{n\in\N} [n;n+1[$ et $\R_{+}^* = \bigcup\limits_{n\in\N} ]n;n+1]$ sont en bijection.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Merci gerard et marsup. smiling smiley
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
De mon téléphone: enaths il y a toujours deux choses. Le perçu et le langage. Concernant Pablo n'hésite à poster car le peu que j'ai croisé renvoie au langage me semble-t-il.

Bon pour les autres lecteurs néophytes éventuels, la fonction de Gérard peut être "filmée" dans le sens qu'on met les non entiers en vert (c'est le fond d'écran) et les entiers en rouge. Puis la figure rouge se déplace de 1 vers la droite (sur un fond vert impassible)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Merci Christophe. smiling smiley

Une autre question, mais un peu difficile cette fois çi :
On a établi que : $ \mathbb{R} \simeq \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) $.
Existe-t-il un foncteur $ Q $ ( i.e : A l'instar du foncteur $ \mathcal{P} $ présenté çi dessus ), tel que : $ Q ( \mathbb{R} ) \simeq \mathbb{N} $ ?
On obtiendra ainsi un cas particulier d'adjonction :
$ \mathrm{Bij} ( Q ( X ) , Y ) \ \ = \ \ \mathrm{Bij} ( X , \mathcal{P} ( Y ) ) $
avec : $ X = \mathbb{R} $ et $ Y = \mathbb{N} $.
qui est l'adjonction :
$ \mathrm{Bij} ( Q ( \mathbb{R} ) , \mathbb{N} ) = \{ \star \} \ \ = \ \ \mathrm{Bij} ( \mathbb{R} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) ) = \{ \star \} $

Merci d'avance.

edit : Poste corrigé.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Le mot savant "foncteur" est juste une abréviation de "morphisme" pour la structure algébrique "catégories".

Commence par préciser les catégories (tu ne sembles pas évoquer juste l'inclusion ensembliste)

Ta dernière ligne m'est inaccessible. Tu écris que le seul et unique "Iso" ... est l'identité. Je ne sais pas de quoi tu parles.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Pour les lecteurs patients, je signale par politesse une bijection directe entre $P(\N)$ et $\R$.

1/ A chaque étape $e$, un petit programme demande à Toto si le $<<x$ caché dans la boite est supérieur au rationnel $q_e$ ou pas$>>$

2/ MAIS en fonction de la réponse de Toto, les rationnels qui viennent ensuite sont "redisposés automatiquement". Par exemple, si Toto a répondu "oui" à $[3/17 <x ?]$, l'arbre automatique ne va jamais ensuite demander à Toto si $[1/17<x?]$

3/ L'application qui à un ensemble $X\subseteq \N$ associe le réel décrit par ce processus en implémentant un Toto qui à chaque étape $n$ répond :
[if $n\in x$ then oui else non]


est une bijection de $P(\N)$ dans $\R\cup \{+\infty\}$, que je laisse la petite taquinerie au lecteur de retirer $+\infty$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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J'ai corrigé mon poste précédent Christophe, tu peux retourner le voir.
Quant à la détermination des catégories à utiliser et que je n'ai pas précisé, je ne sais pas quoi mettre. Peut-être la catégorie des ensembles tout simplement. Non ? Tu peux m'aider Christophe s'il te plaît ?
Merci d'avance.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Mon cursus m'a fait passer par les catégories (le module de maîtrise s'appelait "Topologie Algébrique").

Mais, ici, quel est l'intérêt d'utiliser cette théorie ?
Est-ce pour faire bien ou est-ce tout de même pertinent ?

Je pose la question sans provoquer.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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C'est par curiosité que je demande ça Dom.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Ton post ne veut toujours [pas] dire grand chose (ou est faux quand lu littéralement). Pablo les maths c'est cash: what you write is what Will be read. Pas d'implicite aux odeurs bizarres pas d’étoiles étranges, etc.

Si tu écris égal ça veut dire égal.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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D'accord Christophe. les symboles $ = $ signifient : Bijection et non égalité ensembliste.
J'ai essayé la méthode suivante, mais en vain :
$ \mathrm{Bij} ( X , \mathcal{P} (Y) ) \simeq \mathrm{Bij} ( X , \mathrm{Hom} ( Y , \{ 0 ,1 \} ) $
$ \simeq \mathrm{Bij} ( Y \times X , \{ 0 , 1 \} ) $
$ \simeq \mathrm{Bij} ( X , \{ 0 , 1 \}^Y ) $
ça n'aboutit pas. Je ne trouve pas encore $ Q $.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Dom : on a souvent vu Pablo prononcer des mots en lien avec les catégories, mais ce qu'il raconte à leur sujet est la plupart du temps du n'importe quoi non pertinent.

Pablo : ta question est ou mal posée, ou triviale. Bien sûr que le foncteur $Q$ constant de valeur $\mathbb{N}$ (et $id_\mathbb{N}$ sur les flèches) vérifie $Q(\mathbb{R}) = \mathbb{N}$, mais il n'a rien d'une adjonction avec quoi que ce soit.
Quant à ton dernier message, il est aussi plein de n'importe quoi car si tu restreins à la catégorie des bijections, $-\times Y$ et $\hom(Y,-)$ n'ont aucune raison d'être adjoints.
Le résultat que $\mathbb{R}$ et $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ sont en bijection est un résultat très spécifique à propos de deux objets concrets, et n'a rien de catégorique; et tu ne pourras pas l'interpréter en termes d'adjonction de manière pertinente.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
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Tout le monde dans ce forum est méchant avec moi. Je me casse tout le temps la tête de comprendre pourquoi, je n'arrive pas. eye rolling smiley
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Au lieu de te noyer dans tes notations, moi-même, qui suis plus que l'archétype de l'ignare volontaire en catégories, j'éprouve de l'incompréhension quand on me balance une fonction (ici $P$), qu'on me dit que c'est un "foncteur" grinning smiley, et qu'on ne me dit pas ce que fait $P_{fleche}$.

La seule chose "naturelle", c'est (je crois que c'est comme ça qu'on dit), le truc "contravariant" bien connue exprimant la contraposée: (enfin que les gens appellent comme ça, mais qui n'est que la composition).

$$ (X\to Y) \to ((Y\to 2)\to (X\to 2))$$

que tes facs t'ont signalé comme l'acte de prendre l'image réciproque 'j'ai noté exprès $X\to 2$ à la place de $2^X = : P(X)$

L'image directe a moins de propriétés "correctes", mais est "covariante" (merci grace à toi, j'aurais peut-être pour la première fois sur le forum prononcé ces mots que je ne parviens jamais à imprimer dans ma tête, il y a du positif en tout).

En interprétant très ardimment ta demande, ce que tu voudrais, c'est un $Q$ tel que pour tous $X,Y$, on sache "naturellement" voir les applications allant de $P(X)$ dans $Y$ comme des appications allant de $X$ dans $Q(Y)$ grinning smiley

Je te félicite: vouloir un tel $Q$ qui marche bien*** n'est pas moins ambitieux que de résoudre le degré 5 par radicaux. Je sais que ça ne te fera pas peur, mais tu es mal barré si je suis obligé de formuler moi-même ta demande, parce que je peux te mettre au défi de trouver de ma part des posts sur le forum qui parle de catégories (en dehors de sympathiques et récurrentes critiques que je ne manque jamais l'occasion de formuler).

*** Essaie déjà qu'il marche avec $X=Y$, ie que pour tout $E$, tu saches voir les applications de $P(E)$ dans $E$ comme des applications (à un chouya restructurant près) de $E$ dans $Q(E)$.

Rien que ça, et je t'invite dans un super resto si tu es à Paris.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Moi je ne suis pas méchant, sinon, je n'aurais pas pris le temps de te répondre. J'essaie de t'expliquer que:

1/ Tu n'as pas été précis
2/ Quand précisé, ce que tu dis est faux
3/ Tu modifies ton post au lieu d'en poster un nouveau donc ça peut provoquer un abandon de communiquer.
4/ Et enfin, ça ne te concerne qu'indirectement, j'ai essayé de t'expliquer que tu demandes la lune. On doit à Cantor la découverte que ce que tu demandes est inaccessible en ce qui concerne ce que tu as appelé "le foncteur $P$". .

Toi qui aimes prononcer le mot "catégorie" as-tu réalisé que Yoneda fait disparaitre toute transgression ou objet un peu souple? As-tu réalisé que le naturalisme (ici ref aux trans naturelles) exigé dans les définitions (tout commute pour le dire en exagérant) fait que les seuls objets (je caricature) qui habite $(A\to B)\to B$ sont ceux qui viennent de $A$ (ie les $f\mapsto f(a)$ pour un $a\in A$).

Ce sont les autres qui intéressent les analystes ou les TDEistes.

Toi qui veux te prendre des "bains de raccourcis et de transgression", tu es obnubilé dans les mots par le paradigme qui est le plus rigide des maths, celui qui gère l'algèbre. Comme on dit "les opposés s'attirent". Mais je ne suis pas sûr que ça te profite, tu te prends de murs à chaque fois. .

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
avatar
Ce n'est pas de toi que je dis qu'il est méchant avec moi, je parle des autres : Maxtimax, Dom, Claude, Fin De Partie, skyffer, Poirot, gerard, GBZM, Lupulus ... etc. C'est étouffant.
Non, je n'habite pas à Paris Christophe. J'habite dans un autre pays que la France. Merci pour l'invitation.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Pablo_de_retour.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Quand un enfant de 3 ans fait une bêtise et que ses parents le grondent, il dit "vous êtes méchants".
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
@pablo: j'ai manqué de précision. Je t'invitais à prouver que Q n'existe pas bien sur (avec des indications). Tu pourras aussi essayer avec l'image directe plutot que réciproque pour définir P comme covariant mais il sera alors de ton devoir de prouver que ça fonctorialise AVANT.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Et n'oublie pas l'ensemble vide. grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Mince, Pablo, tu sembles confondre "méchant" et "gentil", ou encore "bienveillant" et "malveillant".

Dans l'Éducation Nationale, par exemple, la sémantique est inversée.
On peut le voir aussi comme "bienveillant" dans l'instant (à court terme) mais "malveillant" dans la construction de soi (à long terme).
Crois-tu vraiment que tous ceux que tu cites, dont moi, cherchent à te nuire ?
Préférerais-tu la démagogie qui consiste à dire "Oui, Pablo, tu as raison, continue" qui pour moi ne serait pas de la méchanceté mais plutôt un mépris ignoble.
Ensuite tu peux parler du ton utilisé pour te parler : là, on a tous les genres, et je concède que certains sont plus incisifs, voire agressifs que d'autres.

Ainsi, c'est un compliment que tu fais à ta longue liste, et presque une remarque désagréable que tu fais à Christophe.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Dom, c'est pertinent ce que tu dis mais je précise que je ne connais quasiment pas Pablo, je n'ai presque jamais ni participé ni même lu ses fils. Je ne vais donc pas lui crier dessus comme sur un pote j'ai bcp trop peu d'informations sur ses interventions sur le forum.

Dans le passé et ça ne concerne PAS Pablo j'ai souvent défendu des shtameurs et c'était sincère, je n'aime pas les odeurs de vestiaires ou de pieds. Je suis donc souvent intervenu en contre face à des propos qui démolissaient untel ou untel sur la base de ce qu'il avait posté dans le passé dans shtam alors que l'instant lecteur ne pouvait voir que l'écrit présent et ne pouvait que se choquer de ces condamnations sans lecture de supposées démonstrations en fichier joint.

Mais je ne crois pas avoir défendu Pablo. (Sauf erreur de ma mémoire). Je l'ai recalé grand max 2 ou 3 fois quand il faisait du prosélytisme religieux et c'est tout. Pour moi c'est quasiment un inconnu, je n'ai aucune idée de son niveau , j'ai juste vu qu'il dit lui même faire de l'HP régulièrement et vaguement parcouru sa "résolution par radicaux" du degré 5, mais ca me choque bcp moins que les pros usuels car je sais quelles erreurs de ressenti sont possible chez les non HP alors les HP et les contradictions .... Du coup je ne vais même pas dans ces fils à vrai dire. Je dois être l'un des familiers du forum qui va le moins dans shtam. De mon téléphone

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Oui, oui, Christophe, j'avais assez bien compris tout ça.

A plus dans l'bus !
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
l’an passé
Je mets en blanc et petits caractères des interprétations proches des demandes de Pablo. Ce ne sont pas des solutions, mais la mise en blanc est pour le forcer à ne pas "involontairement" en choisir une sans réflexion et acte de cliquage.

1/ Je note $\phi(x,y)$ le cardinal de l'ensemble des bijections de $x$ dans $y$. Pablo se contenterait-il de $Q$ tel que pour tous $x,y: \phi(P(x), y) = \phi(x,Q(y))$?

2/ Pablo sait-il prouver que $Imdirecte(ImDirecte(A,f),g) = ImDirecte(A,g\circ f)$?

3/ Soit $C$ une catégorie avec une seule flèche ou pas du tout de flèche entre deux objets quelconques. Pablo sait-il comment ça s'appelle. Soit $f$ un "foncteur" de $C\to C$. Pablo sait-il comment sont les adjoints de $f$?

4/ Sur le plan strictement logique, donc sans parler de catégories, $a$ étant une phrase, Pablo voit-il quels sont les $f$ telles que pour toutes phrases $x,y: ([(x\to a) \to y] \iff [x\to f(y)])$? Leur étude étant bien plus faciles que celles des adjonctions qui trainent des indices des $<<hom^{\sum}_\prod(*,-)>>$ et des exposants dans tous les sens.


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
il y a six semaines
avatar
Citation
CC
Tu prends l'ensemble des réels dont l'écriture décimale ne contient que des 3 et des 5. La suite de chiffres te donne une application de IN dans l'ensemble {3;5} tandis qu'une partie de IN est une application de IN dans {faux; vrai}

@CC,
Peux tu m'écrire la suite de démonstration ? Quelle est l'application inverse $ f \ : \ \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) \to \mathbb{R} $ pour tester la bijection toute entière cette fois çi ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Pablo_de_retour.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
il y a six semaines
avatar
Si quelqu'un peut m'aider, je lui serai reconnaissant. Merci.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
il y a six semaines
avatar
Bonjour,

Un Monsieur sur un autre forum, que je remercie, m'a tout expliqué,

Pour montrer que, $ \mathbb{R} \simeq \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) $, on construit une injection $ f \ : \ [0,1[ \to \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) $ et une injection $ g \ : \ \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) \to [0,1[ $.
L'injection $ f \ : \ [0,1[ \to \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) $ est comme l'a construit à peu près CC plus haut.
Pour l'injection $ g \ : \ \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) \to [0,1[ $, voici comment on fait,
On considère $ g : \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) \to [0,1[ $ définie par,
$ g(K) = \displaystyle \sum_{ k \geq 0 } \dfrac{a_{k} (K)}{10^{k}} $ avec, $ a_k (K) = 0 $ si $ k \not \in K $ et $ a_k (K) = 1 $ si $ k \in K $.
D'où, $ \mathbb{R} = [0,1[ = \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) $.
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
il y a six semaines
J'adore tes signes "=" finaux grinning smiley

C'est la personne de l'autre forum? grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$
il y a six semaines
@pablo : j'affine le post de Christophe.
Il faudrait que tu ajoutes des $Card$ dans ta dernière ligne.
A cette heure-là j'ai le flemme de l'écrire en latex, mais tu vois ce que je veux dire, non ?
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