Bijection $\mathbb R=\mathcal P(\mathbb N)$

Un réel est l'ensemble des rationnels qui lui sont inferieurs.

Un réel de la forme zéro virgule 355535333555353333...
décrit l'ensemble des entiers qui dont places d'un chiffre 3 en disant que les dixièmes so t 0, les centièmes 1, etc

Cantor Bernstein te transforme ces deux injections en bijection.

Tu as déjà vu le couple logarithme/exponentielle, pablo ?

Sinon, si tu as vu le théorème de la bijection monotone, et les tableaux de variations/limites, tu peux regarder : $t \mapsto \frac{1}{2} \cdot \big(
t - \frac{1}{t}
)$, ca te donnera une bijection $\R_+^* \longleftrightarrow \R$.

Montrer qu'une bijection $\R_+ \longrightarrow \R_+^*$ ne peut pas être continue. (ni dans l'autre sens.)

Pour les lecteurs patients, je signale par politesse une bijection directe entre $P(\N)$ et $\R$.

1/ A chaque étape $e$, un petit programme demande à Toto si le $<<x$ caché dans la boite est supérieur au rationnel $q_e$ ou pas$>>$

2/ MAIS en fonction de la réponse de Toto, les rationnels qui viennent ensuite sont "redisposés automatiquement". Par exemple, si Toto a répondu "oui" à $[3/17 <x ?]$, l'arbre automatique ne va jamais ensuite demander à Toto si $[1/17<x?]$

3/ L'application qui à un ensemble $X\subseteq \N$ associe le réel décrit par ce processus en implémentant un Toto qui à chaque étape $n$ répond :
est une bijection de $P(\N)$ dans $\R\cup \{+\infty\}$, que je laisse la petite taquinerie au lecteur de retirer $+\infty$.

Mon cursus m'a fait passer par les catégories (le module de maîtrise s'appelait "Topologie Algébrique").

Mais, ici, quel est l'intérêt d'utiliser cette théorie ?
Est-ce pour faire bien ou est-ce tout de même pertinent ?

Je pose la question sans provoquer.

Ton post ne veut toujours [pas] dire grand chose (ou est faux quand lu littéralement). Pablo les maths c'est cash: what you write is what Will be read. Pas d'implicite aux odeurs bizarres pas d’étoiles étranges, etc.

Si tu écris égal ça veut dire égal.

Dom : on a souvent vu Pablo prononcer des mots en lien avec les catégories, mais ce qu'il raconte à leur sujet est la plupart du temps du n'importe quoi non pertinent.

Pablo : ta question est ou mal posée, ou triviale. Bien sûr que le foncteur $Q$ constant de valeur $\mathbb{N}$ (et $id_\mathbb{N}$ sur les flèches) vérifie $Q(\mathbb{R}) = \mathbb{N}$, mais il n'a rien d'une adjonction avec quoi que ce soit.
Quant à ton dernier message, il est aussi plein de n'importe quoi car si tu restreins à la catégorie des bijections, $-\times Y$ et $\hom(Y,-)$ n'ont aucune raison d'être adjoints.
Le résultat que $\mathbb{R}$ et $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ sont en bijection est un résultat très spécifique à propos de deux objets concrets, et n'a rien de catégorique; et tu ne pourras pas l'interpréter en termes d'adjonction de manière pertinente.

Au lieu de te noyer dans tes notations, moi-même, qui suis plus que l'archétype de l'ignare volontaire en catégories, j'éprouve de l'incompréhension quand on me balance une fonction (ici $P$), qu'on me dit que c'est un "foncteur" :-D, et qu'on ne me dit pas ce que fait $P_{fleche}$.

La seule chose "naturelle", c'est (je crois que c'est comme ça qu'on dit), le truc "contravariant" bien connue exprimant la contraposée: (enfin que les gens appellent comme ça, mais qui n'est que la composition).

$$ (X\to Y) \to ((Y\to 2)\to (X\to 2))$$

que tes facs t'ont signalé comme l'acte de prendre l'image réciproque 'j'ai noté exprès $X\to 2$ à la place de $2^X = : P(X)$

L'image directe a moins de propriétés "correctes", mais est "covariante" (merci grace à toi, j'aurais peut-être pour la première fois sur le forum prononcé ces mots que je ne parviens jamais à imprimer dans ma tête, il y a du positif en tout).

En interprétant très ardimment ta demande, ce que tu voudrais, c'est un $Q$ tel que pour tous $X,Y$, on sache "naturellement" voir les applications allant de $P(X)$ dans $Y$ comme des appications allant de $X$ dans $Q(Y)$ :-D

Je te félicite: vouloir un tel $Q$ qui marche bien*** n'est pas moins ambitieux que de résoudre le degré 5 par radicaux. Je sais que ça ne te fera pas peur, mais tu es mal barré si je suis obligé de formuler moi-même ta demande, parce que je peux te mettre au défi de trouver de ma part des posts sur le forum qui parle de catégories (en dehors de sympathiques et récurrentes critiques que je ne manque jamais l'occasion de formuler).

*** Essaie déjà qu'il marche avec $X=Y$, ie que pour tout $E$, tu saches voir les applications de $P(E)$ dans $E$ comme des applications (à un chouya restructurant près) de $E$ dans $Q(E)$.

Rien que ça, et je t'invite dans un super resto si tu es à Paris.

@pablo: j'ai manqué de précision. Je t'invitais à prouver que Q n'existe pas bien sur (avec des indications). Tu pourras aussi essayer avec l'image directe plutot que réciproque pour définir P comme covariant mais il sera alors de ton devoir de prouver que ça fonctorialise AVANT.

Mince, Pablo, tu sembles confondre "méchant" et "gentil", ou encore "bienveillant" et "malveillant".

Dans l'Éducation Nationale, par exemple, la sémantique est inversée.
On peut le voir aussi comme "bienveillant" dans l'instant (à court terme) mais "malveillant" dans la construction de soi (à long terme).
Crois-tu vraiment que tous ceux que tu cites, dont moi, cherchent à te nuire ?
Préférerais-tu la démagogie qui consiste à dire "Oui, Pablo, tu as raison, continue" qui pour moi ne serait pas de la méchanceté mais plutôt un mépris ignoble.
Ensuite tu peux parler du ton utilisé pour te parler : là, on a tous les genres, et je concède que certains sont plus incisifs, voire agressifs que d'autres.

Ainsi, c'est un compliment que tu fais à ta longue liste, et presque une remarque désagréable que tu fais à Christophe.

Oui, oui, Christophe, j'avais assez bien compris tout ça.

A plus dans l'bus !

@pablo : j'affine le post de Christophe.
Il faudrait que tu ajoutes des $Card$ dans ta dernière ligne.
A cette heure-là j'ai le flemme de l'écrire en latex, mais tu vois ce que je veux dire, non ?