Tiers-exclu
Bonsoir,
En logique intuitionniste, $ \neg ( \neg ( A ) ) \neq A $, mais, ce principe ne fonctionne pas dans la vie de tous les jours. Si j'admets désormais,
que, si $ A $ est fausse, alors $ \neg (A) $ n'est pas vrai, c'est qu'il y'a un danger pour la santé mentale. Si tu raisonnes en partant de ce
principe, dans la vie de tout les jours, c'est que les gens autour de toi iront croire que j'ai un trouble mentale ou que je suis fou,
( qui sait ? ), et me jetteront des cailloux partout sur ma tête dans la rue. Si tu demandes à un cousin qui habite à l'étranger à qui tu téléphones : ''est ce qu'il ne pleut pas aujourd'hui chez vous ?'', et s'il te répond : ''Non, ni il pleut, ni il pleut pas'' ( tiers exclu oté ), alors, là, tu douteras fort de la santé mentale de ton cousin, non ?
Don, ma question : Quant applique-t-on la logique intuitionniste dans la vie de tous les jours, où dans toutes les situations possibles, on annule : $ \neg( \neg (A)) \neq A $ ?.
Merci d'avance.
En logique intuitionniste, $ \neg ( \neg ( A ) ) \neq A $, mais, ce principe ne fonctionne pas dans la vie de tous les jours. Si j'admets désormais,
que, si $ A $ est fausse, alors $ \neg (A) $ n'est pas vrai, c'est qu'il y'a un danger pour la santé mentale. Si tu raisonnes en partant de ce
principe, dans la vie de tout les jours, c'est que les gens autour de toi iront croire que j'ai un trouble mentale ou que je suis fou,
( qui sait ? ), et me jetteront des cailloux partout sur ma tête dans la rue. Si tu demandes à un cousin qui habite à l'étranger à qui tu téléphones : ''est ce qu'il ne pleut pas aujourd'hui chez vous ?'', et s'il te répond : ''Non, ni il pleut, ni il pleut pas'' ( tiers exclu oté ), alors, là, tu douteras fort de la santé mentale de ton cousin, non ?
Don, ma question : Quant applique-t-on la logique intuitionniste dans la vie de tous les jours, où dans toutes les situations possibles, on annule : $ \neg( \neg (A)) \neq A $ ?.
Merci d'avance.
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Réponses
Pour ce qui est de la logique intuitionniste "dans la vraie vie", je ne serais pas aussi catégorique. Par exemple, sur le forum, Shah d'Ock (je crois) avait mis un lien vers un questionnaire où il y avait la question :
"Est-ce que vous croyez qu'on peut fabriquer un petit appareil avec un bouton et deux voyants, "oui" et "non", tel que si on appuie sur le bouton, ce qui s'affiche à l'écran est la réponse à la question << Est-ce que la conjecture de Hodge est vraie ?>> ?"
Voici une réponse en blanc, ci-dessous. Ce que le lien sous-entendait, c'est que si elle vous gêne, alors vous êtes un peu intuitionniste.
Il suffit de fabriquer deux appareils : le premier qui allume toujours "oui", et le deuxième qui allume toujours "non". Il y en a un des deux qui marche !
Bref, sur la logique intuitionniste "dans la vraie vie", il y a vraiment matière à réflexion, à mon avis.
Pourquoi est-ce que si $(A\to \perp )\to \perp$ est vraie alors $A$ est forcément vraie?
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La réalisabilité classique le fait avec des gestions d'erreur et des sauvegardes. Mais ça va chercher un peu loin...
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En effet, ce ticket n'a aucune valeur SAUF quand il est composté à la station A avant de monter dans le train. Un bout de papier sans valeur fait l'affaire pour qui ne veut pas monter dans ce train mais juste aller dans A. C'est pourquoi EN INFORMATIQUE c'est assimilé à un "exit" ou un "break" car on force l'arrêté de la machine au moment où elle commence à glisser le ticket dans le composteur.
1/ la présence d'une fonction involutive $f$ telle que $f(f(A))=A$ pour tout $A$, qui est décroissante pour l'implication à gauche et croissante à droite, ie telle que pour tous $x,y,z: $ ce qui suit sont des théorèmes:
$$ (y\to z) \to (x\to z)\ ;\ (z\to x)\to (z\to y)$$
2/ la présence d'une telle fonction qu'on va appeler "non" et qui a bien d'autres propriétés en plus.
En effet, par exemple dans les raisonnements (pour être formel le calcul des séquents) on voit émerger une logique (pas entièrement fondée) qui "n'est spéciale que parce qu'elle bride un côté et pas l'autre", ie:
$$ \frac{A;B;..\vdash C;D;..}{\dots} $$
est prohibé, seuls les séquents avec une seule phrase (ou zéro) à droite sont autorisés
La présence d'une involution est de toute façon "obligatoire" dès qu'on est sérieux. Il se trouve juste que ce n'est pas un "non".
Mais pour accéder au coeur de ce qui se passe, il faut interroger les axiomes, car sinon, le seul caractère involutif entraine intuitionnistiquement la logique classique (où on aurait abrégé $non$ par $f$), à cause de l'implication :
$$(f(a) \iff f(b))\to (a\iff b)$$
qui n'utilise QUE l'involutivité (et même moins, c'est une sorte d'injectivité à la différence $[=/\iff]$ près) de $f$.
Il se trouve que la réponse a été trouvée et comprise. Il y a bien une involution, mais elle ne vient jouer un rôle de "non" usuel que quand $(A+A) = A$ (traduire "(A et A)=A" ).
Tu as alors que la logique intuitionniste exprime juste que (A=>B) veut dire "avec autant de clones de A que je veux, je peux obtenir B", et tu accèdes ainsi à "la bonne" et authentique logique intuitionniste et pas juste sa partie émergente historique.
Dans ce même cadre, encore plus en amont, le mot "Tout" devient lui-même "mal choisi" et on doit assumer un axiome pour l'avoir, car la réalité est plutôt que tu as un "buffer" (ou "point unique d'arrivée"), je vais le noter $\perp$ (sans supposer que ça veut dire "tout"), qui est tel que:
$$\forall A\exists B: A=(B\to \perp)$$
Il s'agit juste d'exprimer qu'il y a deux entités qui s'opposent.
Tu as alors l'équivalence entre demander à $\perp$ de signifier "Tout" et le fait que :
$$ \forall A,B: A\to (B\to A)$$
est un théorème.
Et là aussi, c'est à "assumer".