Matrices sublimes

Les matrices 1×1 et 2×2 qui sont sublimes sont assez faciles à expliciter. On peut oublier les matrices 1×1, puisqu'elles sont toutes sublimes.

Les matrices 2×2 qui sont sublimes sont, je pense, telles qu'elles ont déjà une ligne ou une colonne constante.

MERCI LMPC et bravoooooooooooo!!!!! Merci aux autres aussi.

Bon je Corse un peu ;-) (c'est mon téléphone qui a mis le c en majuscule mais du coup j'ai laissé ...

Ultrasublime veut dire sublime ET quand Mij = Muv alors Miv=Muj. C'est en fait cette propriété que j'appelle "sex" je dirai pourquoi d'un PC.

Même question. Déterminant forcément nul pour ultrasublime?

Je donne quelques précisions:

1/ le "bon cadre" n'est pas a priori celui des matrices. Mais pour le forum et surtout pour la possibilité de programmer et voir des tableaux remplis de couleurs, cette notion était pas mal présentée sous forme de matrices, d'autant qu'elle est invariante par permutations de lignes et colonnes.

2/ Le cadre "naturel" est celui que j'appelle "opérations de copulation" (qui m'a permis dans le passé de prouver que dans tout monde contenant des être vivants, il y a au plus deux sexes (et même exactement deux sexes, mais je ne vais pas digresser)

3/ C'est la donnée d'un quadruplet $(E,F,m,R)$ où $m: E\times F\to R$.

4.1/ $m$ est game-det quand $\forall A\subseteq R\exists (a,b)\in E\times F: (\forall x\in F: m(a,x)\in A)$ ou $(\forall x\in E: m(x,b)\notin A)$

4.2/ $m$ est copulante quand $\forall a,b,u,v: $ si $m(a,b)=m(u,v)$ alors $m(a,v)=m(u,b)$

4.3/ $m$ est magique quand $\forall f,g\exists a,b: m(a,f(a)) = m(g(b),b)$

4.4/ $m$ est supermagique quand $\forall f,g\exists a,b: m(a,f(a)) = m(g(b),b) = m(a,b)$

5.1/ magique et copulante => supermagique

5.2/ magique => game-det

5.3/ game-det et copulante => supermagique.

6/ In "the real life", les opérations classiques de ce genre sont les opérations matchs dans les jeux à information parfaite, je n'en connais pas d'autres, qui soient supermagiques. Elles correspondent idéalement au processus d'enfantement, et sont irréductibles à la compréhension à bien des égards.

7/ En présence de l'axiome du choix, $R$ est forcément petit par rapport à $E,F$ modulo le retrait d'éléments triviaux.

8/ En l'absence de la condition de copulation, il y a énormément de telles opérations. Exemple bête et méchant, non copulant: $R:=9$, $E=F=$ ensemble des parties de $R$ ayant 5 éléments et $m(x,y):=$ le plus petit élément de $x\cap y$. Dans le passé j'avais dessiné la matrice en couleurs et elle est jolie à voir.

9/ Une conjecture importante de ma vie (un peu imprécise) est que le passage de $A$, supposé tel que $\exists b\in F\forall x: m(x,a)\in A$ à :


$$ \phi(A) := \{s\in R \mid s\notin A\ ou\ \exists a\in B\exists x\in E : m(x,a)=s\} $$

avec $B:=\{a\in F\mid \forall x\in E: m(x,a)\in A\}$

fait baisser strictement la complexité.

10/ Demander si des matrices magiques (ou même supermagiques) peuvent avoir un déterminant non nul me parait intéressant.