Ensemble de tous les ensembles

Bonjour,
La catégorie de toutes les catégories est appelé inproprement ainsi.
On sous-entend par là la catégorie dont les objets sont des catégories et dont les flêches sont des foncteurs.
Cette catégorie-là existe.

christophe c a écrit:

Dire qu'un truc qui offre le paradis "n'existe pas" est un choix et ça n'a pas grand sens.

Si; tu réclames aux gens qu'ils admettent que tu as prouvé $\perp$ alors que tu as seulement prouvé $(\exists aH(a)) \to \perp$
(où $H(y):= \forall x[(x\in x)\to \perp] \leftrightarrow (x\in y)$).

Bonjour à tous,
@Pablo_de_retour : Je suis une quiche en catégories, mais tu peux peut-être y voir plus clair en considérant les univers de Grothendieck.
Pour cela : va voir dans le fil Grands cardinaux ci-dessous, tu télécharges le fichier joint au premier message et tu lis les pages 19 et 20. (Plus peut-être quelques pages en arrière si tu ne sais pas ce qu'est un cardinal inaccessible).
Loin de moi l'idée de penser que ce truc est la panacée universelle (sans jeu de mots), c'est juste histoire de préciser un tout petit peu ce que disait Max dans son premier post, sans forcément l'améliorer, d'ailleurs.

Pablo : si $U$ est un univers de Grothendieck (je t'épargne les détails, grosso modo : un ensemble assez gros, dans lequel on peut faire toutes les opérations ensemblistes usuelles tant qu'on utilise que des trucs qui sont déjà dedans), alors tu peux définir une notion de $U$-catégorie (ou "catégorie de $U$" comme je l'avais dit au début): c'est la même définition que "catégorie", sauf que tu demandes que $\mathrm{Ob,Ar}\subset U$ (l'idée c'est que $U$ peut être vu comme un univers à part, et que donc on demande que les objets, et flèches de la catégorie soient des "classes au sens de $U$") etc.
Alors on peut faire toutes les constructions usuelles, et par exemple on peut définir $U-\mathbf{Set}$ comme la $U$-catégorie dont les objets sont les éléments de $U$, et les flèches sont les applications entre ces ensembles (il faut vérifier que c'est bien dans $U$, mais ça découle des détails sur la définition de "univers de Grothendieck"= etc. Cette catégorie est un ensemble, mais évidemment aux yeux de $U$ non, i.e. sa collection d'objets (qui est $U$ ) n'appartient pas à $U$.

Bon, bah ensuite on peut faire pareil et dire "soit $C$ la catégorie des catégories de $U$". Ah ! Mais elle n'a pas sa classe d'objets incluse dans $U$ (par exemple $\mathrm{Ob}(U-\mathbf{Set}) =U$ donc $U-\mathbf{Set}\notin U$). Qu'à cela ne tienne, si $U_1$ est un univers de Grothendieck tel que $U\in U_1$, alors $C$ est une $U_1$-catégorie : on est passé à un plus gros univers. Mais en particulier, $C$ n'étant pas une $U$-catégorie, elle ne s'appartient pas comme objet : pas de problème de type Russell ici.
C'est la manière la plus efficace de gérer les catégories en général; de dire qu'on fixe $2-3$ univers $U_0$ etc. et qu'on considère uniquement des $U_0$-catégories, et que parfois on s'autorise une excursion dans $U_1$ voire $U_2$ quand on regarde des catégories de foncteurs etc. En pratique ça ne change rien, sauf que ça justifie ce qu'on a le droit ou pas le droit de faire (et ça a l'avantage de tout faire au même niveau que ZFC, i.e. sans introduire de "classes" - bon on a rajouté des axiomes mais ils sont pas trop méchants)

De mon téléphone vu le peu d'ingrédients high-platon utilisés en catégories (rappel: cette spécialité vit au niveau diophantien) des V alpha très simples suffisent. Les inac évitent juste la prise de tête tatillonne du recensement.