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Pour les topos tu ne trouveras essentiellement que de la topologie algébrique ou de la logique - mais les livres de logiques qui parlent de topos y sont (à ma connaissance) dédiés donc ce sera en gros des livres de catégories.

Après pour utiliser le langage des catégories le mieux c'est la géométrie algébrique (mais tu as dit non) ou la topologie algébrique. Ce sont les deux domaines "pour lesquels" les catégories ont été développées. Selon ta définition de topologie algébrique tu peux aussi avoir en plus l'algèbre homologique qui se glisse ici, qui les utilise aussi beaucoup
Que ce soit une "formidable introduction", je ne sais pas, le mieux pour apprendre les catégories c'est d'avoir quelques motivations de l'extérieur, puis de s'y mettre vraiment, et de voir comment ça impacte nos motivations.

Pour les faisceaux tu as évidemment à nouveau la géométrie algébrique, la topologie algébrique (enfin c'est ce qu'on m'a dit : personnellement j'ai rarement vu de faisceaux en topologie algébrique, alors qu'on ne peut pas aller très loin en géométrie algébrique moderne sans en croiser toutes les 3 secondes) et aussi un peu d'analyse : l'analyse microlocale comme tu dis, les $\mathcal D$-modules qui apparemment sont intéressants pour tout ce qui est équation différentielle (mais je n'y connais rien), l'analyse complexe qui se croise à ce niveau avec la géométrie algébrique puisqu'on y croise des bêtes comme des faisceaux quasi-cohérents, (il y a par exemple une belle reformulation du problème de Cousin en termes de cohomologie de faisceaux sur une variété complexe); et aussi rapidement la logique (pour différentes sémantiques)

Cyrano : Quelles sont les applications des faisceaux en géométrie symplectique ?

Maxtimax : Les D-modules sont aussi extrêmement utilisés en théorie des représentations et en géométrie algébrique ! J'ai l'impression que c'est le domaine essentiel où ils sont utilisés.

Gentil : peut-être que ça vaut le coup de regarder un livre d'algèbre homologique ? Il y a beaucoup d'applications en topologie algébrique, théorie des groupes, théorie des nombres, algèbre commutative ... Et beaucoup de concepts au début utilisent des notions de catégories (par exemple adjonctions, limites, ...)
En revanche pour les faisceaux et les topos il me semble qu'à part la logique et la géométrie algébrique ils ne sont pas si utiles. Par exemple pour les variétés différentiables les partitions de l'unité remplacent avantageusement tous les arguments cohomologiques.

Une référence qui a été extrêmement utile pour moi quand j'ai découvert les faisceaux a été le chapitre 2 de "lectures on Riemann surfaces" de Forster, qui étudie les propriétés principales des surfaces de Riemann compactes en utilisant la cohomologie des faisceaux. Elle est vraiment introduite de manière très concrète et utilisé de manière assez efficace dans le chapitre et aussi le suivant. L'idéal est aussi d'avoir vu le problème de Mittag-Leffler en analyse complexe comme le soulignait Maxtimax. Voir par exemple dans ces notes de cours la section sur Mittalg-Leffler et le théorème de Weierstrass où une réinterprétation est faite en terme de cohomologie et de cocycles : https://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4800/h16/mat4800-a.pdf

Voilà, désolé d'avoir répondu alors que tu as déjà obtenu deux très bonnes réponses mais j'aime beaucoup les faisceaux donc je me suis permis d'intervenir

Lupulus : Elles sont énormes mais je ne suis pas un spécialiste. La plupart des conjectures d'Arnold, par exemple, se démontrent assez facilement avec de la théorie des faisceaux et la notion clé de micro-support.