Différences entre montrer, prouver,...

Ce sont, en mathématiques, des synonymes. N'importe comment, en dehors des axiomes d'une théorie et des définitions (*) nouvelles, il n'y a que des preuves, en maths.

Cordialement.

(*) à condition que la définition soit cohérente, ce qui demande parfois une preuve !

Soit c'est prouvé (démontré, montré, justifié), soit non. Il n'y a pas de demi-preuve.
Tout au plus, on dit parfois justifié pour un schéma de preuve, qui laisse donc au lecteur le soin de vérifier que ça marche.