Implication et équivalence

Ratwez · June 2019

Bonjour à tous
Je me posais des questions sur l'utilisation de l'implication et de l'équivalence lors de la résolution d'équation.

Par exemple si je prends une équation très simple : $(E):3x-1=0$
$3x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3}$
Est-ce que l’implication me permet d'affirmer que $\dfrac{1}{3}$ est solution de l'équation $(E)$ et que c'est la seule ou ai-je besoin d'utiliser une équivalence :
$3x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$
pour montrer que $\dfrac{1}{3}$ est l'unique solution.

Maxtimax · June 2019

Ton implication montre uniquement que s'il y a une solution, c'est $\frac{1}{3}$, donc qu'il y a au plus une solution. Il te faut la réciproque pour montrer que $\frac{1}{3}$ est effectivement une solution (donc qu'il y a une unique solution, et pas $0$ solution)

Ratwez · June 2019

Merci pour cette réponse.
Donc si je comprends bien la traduction de l'implication par le "Si ... alors ..." dans le cas de cette équation donnerait : "S'il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $3x-1=0$ alors $x=\dfrac{1}{3}$"

Maxtimax · June 2019

Pas de "il existe" ici, plutôt "pour tout" : tout $x$ vérifiant $3x-1$ vérifie aussi $x=\frac{1}{3}$.

Un exemple où c'est important : supposons que $e^x = 0$. Alors $e^{2x} = (e^x)^2 = 0$, donc $e^{2x} = e^x$; en multipliant par $e^{-x}$ on obtient $e^x = 1$ et donc $x=0$. Donc si $e^x=0$, $x=0$. Pour autant, l'équation $e^x=0$ n'admet pas de solution dans $\R$.

christophe c · June 2019

@Ratwez:

Tu connais les réponses aux questions que tu poses. Ce qui te fait douter c'est que tu attribues une éventualité de présence d'intentionnalité en maths.

Alors sache [large]qu'il n'y a pas d'intentionnalité en maths[/large]

La phrase "il n'y a pas de brunes de 20ans mesurant plus de 3m50 dans le monde en 2019" est précise et tu sais parfaitement toi-même qu'elle NE DIT PAS qu'il n'y a pas de vieille dame rousse qui mesure plus de 3m75

Tu viens demander** sur le forum si par hasard, elle ne le sous-entendrait pas. Et bien NON! Elle ne le sous-entends pas. Les maths sont formelles et explicites. JAMAIS DE SOUS ENTENDUS (non fautifs) intentionnels.

Par ailleurs, quand tu écris : $<<$ s'il existe $x$ tel que $3x=1$ alors $x=1/3>>$, sache que tu écris EXACTEMENT LA MËME CHOSE** QUE $<<$s'il existe $m$ tel que $3m=1$ alors $505=1/3>>$, à ceci près que ton $x$ est moins précis que $505>>$.

** tu viens demander si la phrase "il n'y a pas de nombre $x$ différent de $1/3$ vérifiant $3x=1$" ne sous-entendrait pas par hasard que 1/3, lui marche. Et bin non.

Dom · June 2019

Bonsoir Christophe,

Tout cela m’interroge (je parle de tes dernières lignes "est EXACTEMENT pareil que")

Je tente de quantifier tout ça proprement, et je mets même des parenthèses "où on peut" pour clarifier les choses.
Je vais aussi traduire en français chaque assertion, et même parfois être très vulgaire comme on l'est à l'oral, dans une discussion avec plein de sous-entendus (ne pas quantifier les "pour tout", etc.).

1) $\forall x \in \R, ~(2x = 6 \Rightarrow x = 3)$ (c'est l'assertion idoine pour résoudre cette équation)

-si $2x = 6$ alors $x = 3$.
Je sais qu'il faut présenter $x$, et le quantifier, mais je suis vulgaire comme on l'est souvent...

Avec de la prose ça donne :
-si le double d'un nombre est six, alors ce nombre est trois.

2) $(\exists x \in \R,~ 2x = 6) \Rightarrow x = 3$

-si $2x = 6$ alors $x = 3$.
C'est très intrigant car sans le faire exprès, j'ai écris la même chose que précédemment alors que le quantificateur n'est pas du tout le même. C'est d'ailleurs là que Maxtimax, que je salue, a corrigé "il existe" en "pour tout".
Pourtant, la phrase suivante, semble indiscutablement juste et le "il existe" fonctionne bien en langage courant mais cache un "pour tout".

Avec de la prose :
-s'il existe un nombre tel que son double est six, alors ce nombre est trois.

3) $(\forall x \in \R,~ 2x = 6) \Rightarrow x = 3$

Cela est complètement débile, j'en conviens. C'est de la forme "Faux implique Vrai".

Avec de la prose :
-si le double de tout nombre est six, alors "x" égal trois. (j'ai un problème pour parler de "x" ici).

je triche :
-si le double de tout nombre est six, alors tout nombre vaut trois.

Du coup, a-t-on bien une erreur de syntaxe pour "3)" ? Lettre libre/liée ?

4) $\exists x \in \R, (2x = 6 \Rightarrow x = 3)$

Avec de la prose :
-il existe un nombre tel que si son double est six alors ce nombre est trois.

Cette phrase est vraie mais j'ai du mal à la commenter

Remarque : pardon d'avoir été si long...
Ai-je bien cerné ton intervention avec mon bazar ?

Maxtimax · June 2019

Salut à toi Dom, pour ton 2), le problème est que ta traduction en prose ne correspond pas à la formule. En effet, le premier $x$ est une variable liée, qu'on peut remplacer par $y$. En prose, ça devient: s'il existe un nombre dont le double est $6$, alors $x=3$.

Attention, comme le dit christophe, en maths rien n'est sous-entendu (enfin en maths formelles, entendons-nous :-D), et donc $x$ n'est pas "ce nombre". C'est une variable libre. Donc ça pourrait être 505.

C'est la même erreur que font certaines personnes qui découvrent la récurrence et disent "supposons qu'il existe $n$ tel que $P(n)$. Alors blabla donc $P(n+1)$"

Quant à 3), elle est plutôt de la forme "Faux implique quelque chose" mais on s'en fiche de quelque chose puisque "Faux implique truc" est toujours vraie.

4) est, comme tu dis, évidemment vraie, et évidemment inutile.

christophe c · June 2019

Oui mais tu l'as compliquée

En fait tu ajoutes un truc qui n'était même pas présent un peu de près avec ton dernier item car il y avait bien un s apostrophe même chez ratchez. Tu l'as enlevé ce << s' >>.

De mon téléphone