Ordinaux indécomposables
Bonjour à tous,
Je sèche (lamentablement) sur la question suivante :
On dit qu'un ordinal $\alpha$ est indécomposable si, pour tous ordinaux $\beta$ et $\gamma$ tels que $\beta<\alpha$ et$ \gamma<\alpha$, on a $\beta+\gamma<\alpha$.
Question : Montrer que $\alpha$ est indécomposable ssi il s'écrit sous la forme $\omega^\mu$ avec $\mu$ ordinal.
Les infos sur la question sont très parcellaires sur Internet, et dans les bouquins en général on trouve ça en exercice.
Si vous pouviez me donner juste une piste…
J'ajoute que mon but est de démontrer la forme normale de Cantor (j'imagine que ça doit être facile à partir de ce truc). Donc ne pas prendre la forme normale comme point de départ, lol.
Merci d'avance
Martial
Je sèche (lamentablement) sur la question suivante :
On dit qu'un ordinal $\alpha$ est indécomposable si, pour tous ordinaux $\beta$ et $\gamma$ tels que $\beta<\alpha$ et$ \gamma<\alpha$, on a $\beta+\gamma<\alpha$.
Question : Montrer que $\alpha$ est indécomposable ssi il s'écrit sous la forme $\omega^\mu$ avec $\mu$ ordinal.
Les infos sur la question sont très parcellaires sur Internet, et dans les bouquins en général on trouve ça en exercice.
Si vous pouviez me donner juste une piste…
J'ajoute que mon but est de démontrer la forme normale de Cantor (j'imagine que ça doit être facile à partir de ce truc). Donc ne pas prendre la forme normale comme point de départ, lol.
Merci d'avance
Martial
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Tu ne veux pas plutôt la prouver en disant : soit $\alpha$ un ordinal , et $\mu$ le plus petit tel que $\omega^\mu >\alpha$. Alors $\mu$ est nécessairement successeur (définition de l'exponentiation ordinale), donc $\omega^\beta \leq \alpha < \omega^{\beta +1}$ pour un certain $\beta$. Soit alors $k$ l'entier maximal tel que $\omega^\beta k \leq \alpha$ (il existe et est non nul : pourquoi ?). Il s'ensuit que $\alpha = \omega^\beta k + \gamma$, avec un $\gamma$ à analyser pour pouvoir utiliser l'hypothèse d'induction.
Avec la forme normale de Cantor, ton résultat est plutôt simple.
Sans elle, tu peux essayer de mimer ce que j'ai raconté ici : si $\alpha$ est indécomposable, je refais le même raisonnement jusqu'à obtenir $\omega^\beta k + \gamma$. Par indécomposabilité, on prouve $\gamma = 0$ et $k=1$, et on a fini.
Inversement si $\alpha = \omega^\mu$, et $\beta, \gamma < \alpha$, on refait le même raisonnement avec $\beta$ et $\gamma$ pour les obtenir sous la forme $\omega^\delta k + \epsilon$ et $\omega^\nu p + \theta$, et on fait une disjonction de cas (où on se ramène à tel bonhomme plus grand que l'autre, enfin bref on se débrouille) pour atteindre quelque chose comme $\beta + \gamma \leq \omega^\rho q$, $q$ un entier et $\rho < \mu$, ce qui permet de conclure car $t\mapsto \omega^t$ est strictement croissante.
Ce que tu dis me semble clair mais dense.
J'essaierai de voir ça demain à tête reposée (j'ai beaucoup travaillé aujourd'hui).
En tous cas grand merci à toi pour ta réponse rapide et efficace.
Martial
Je viens de mettre les choses au propre : j'ai réussi à démontrer d'abord le premier théorème, puis j'en ai déduit (assez trivialement) la forme normale de Cantor par récurrence transfinie.
Ça fait une très jolie démo.
1) Un ordinal est indécomposable ssi il est de la forme $\omega^\mu$
2) La forme normale de Cantor.
J'ai simplement essayé de reconstituer sur le papier ce qui se passait dans sa tête… et j'y suis finalement arrivé, grâce à ton aide précieuse.
Voili voilou