Ensembles stationnaires et co-stationnaires

Pour 2) : $f_n:\{\beta < \omega_1, \beta$ limite $\} \to \omega_1$ est "récessive" (je crois que c'est le mot) : $f_n(\alpha)<\alpha$. T'as pas un lemme connu qui te permet d'obtenir un stationnaire gratos quand t'as une fonction récessive définie sur un stationnaire (en l'occurrence même un club) ? ;-)

Pour 3): Si $f_n(\alpha) = \gamma_n$, alors $\gamma_{n,\alpha} = \gamma_n$, donc $\alpha = \sup \gamma_{n,\alpha} = ...$ et donc ... Après je ne suis pas convaincu pour "est un singleton". Ma preuve donne "est inclus dans un singleton", mais est un singleton c'est autre chose, et je ne suis pas sûr que ce soit vrai (enfin plus honnêtement : je pense que c'est faux)

Ensuite pour ce fameux $n$, si $\omega_1\setminus S_n$ n'est jamais stationnaire, il y a un club $C_n$ qui ne le rencontre pas. Que dire de l'intersection des $C_n$ ?

Ah oui, je vois mal comment faire la question 2) sans Fodor :-D sauf à refaire la preuve naturellement

Pour l'histoire du singleton : je ne sais pas pour ton nez :-D mais c'est surtout la preuve que j'ai qui donne un sous-singleton, et qui donne une manière de prouver que ce n'est pas forcément un singleton

Ah oui, j'avais oublié, je savais qu'il y avait du re et du essive mais le milieu me gênait !

Une remarque d'ailleurs. Si $a\in \omega_1\mapsto S_a$ est une famille disjointe de stationnaires disjoints, tu gagnes une fonction $g$ telle que pour toute partie $P$ juste supposée non bornée de $\omega_1$ et tout ordinal $a$, il existe une suite $u$ d'éléments de $P$ telle que $g(p)=a$.

Ca va te rappeler quelque chose :-D

@Martial: ne lis pas si tu veux réfléchir. Je poste juste pour les passants (ce genre de thème étant trop souvent ostracisé).

1/ Club veut "clos et non borné". Dans le cas particulier de $\omega_1$ (je ne vais parler de rien d'autre), ça veut juste dire "non borné et contient les borne sup de ses suites".

2/ Un intersection dénombrable de club est un club de manière quasiment évidente : choisir une suite strictement croissante en prenant successivement les termes comme suit : $$

\in C_1; \in C_2; \in C_1; \in C_2; \in C_3; \in C_1; \in C_2; \in C_3; \in C_4; \in C_1;\dots

$$ puis prendre sa borne sup

3/ Stationnaire veut dire "intersecter tout club

4/ Si $f$ va de $\omega_1$ dans $\mathbb{N}$, il existe donc $n$ tel que $\{x\mid f(x)=n\}$ est stationnaire

5/ Voilà, ce qui précède remplit les trous qui étaient sous-entendus.

6/ Les clubs sont stables par intersections diagonales, ce qui signifie précisément que si $\forall x\in \omega_1: C_x$ est un club alors : $$

\{x\mid \forall y<x: x\in C_y\}

$$ est un club. La preuve est "aussi facile" que celle en (2)

7/ Corollaire: qui que soit $f: \omega_1\to \omega_1$, il existe $a\in \omega_1$ tel que : $$

\{x\mid f(x)=a\ ou \ f(x)\geq x\}

$$ est stationnaire.

8/ L'axiome de détermination entraîne que l'ensemble des clubs est un ultrafiltre. Il y a mille preuves de ça, mais l'académique passe par les degrés de Turing, et présente ce fait comme un corollaire de :

9/ Sous AD: pour toute $A$ partie de $\R$, stable par Turing-équivalence, il existe $X\in \{\R\setminus A; A\}$, $a\in \R$ tel que pour tout $x$, si $x$ permet de calculer tout ce que permet de calculer $a$, alors $x\in X$.

10/ À chaque $d$ degrés de Turing, on peut associer un ordinal dénombrable, tout bêtement la sup des ordinaux codables grâce à la richesse calculatoire de $d$

11/ En (9), je dis juste l'ensemble des $B_d:= \{x\mid x\geq_{Turing\,d}\}$ quand $d$ parcourt les degrés de Turing est une base d'ultrafiltre.

Tu vas voir ce n'est pas très méchant:

soit $A$ un ensemble de degrés de Turing. Lea et Bob s'affrontent:

$$ m:= x_1;y_1;x_2;y_2;..$$

Lea gagne quand $m\in A$. Les $x_i,y_i$ sont des 0 et des 1

Si $s$ est une stratégie infaillible pour elle, et que $d$ est son degré de Turing (cadire l'ensemble des réels calculables avec $s$ comme oracle), et que $e\geq d$ alors il y a dans $e$ un match $(x,y)$ joué avec la stratégie $s$ par le joueur qui a les $x_i$ et le degré de Turing de ce match est e. Donc $e\in A$.

L'idée est d'utiliser le lemme de Fodor non pas sur $S$ mais sur $S_{\eta ,n}$. Tu restreins $f$ à $S_{\eta, n}$, et alors elle est toujours régressive naturellement, et elle est donc constante sur un stationnaire. Elle est constante, mais définie sur $S_{\eta, n}$, donc sa valeur ne peut être que $\geq \eta$ (se souvenir de la définition de $f$ et de celle de $S_{\eta, n}$)


Pour $\alpha \in S_\eta, f(\alpha) = \gamma_n$. Or $\gamma_n \geq \eta$ et $f(\alpha) = \theta_n^\alpha$, donc $\theta_n^\alpha \geq \eta$ donc $\alpha \in S_{\eta, n}$ par définition de $S_{\eta,n}$, donc $S_\eta \subset S_{\eta, n}$

Quant à ton "il est clair que", il est effectivement clair : $f$ est constante à valeur $\gamma_\eta$ sur $S_\eta$, donc si $\gamma_\eta \neq \gamma_{\eta'}$, un bonhomme de $S_\eta\cap S_{\eta'}$ verrait son $f$ avoir deux valeurs : embêtant !

Je détaillerai aussi si tu veux. Pour les clubs et les stationnaires je t'avais fait un post "léger" (à côté de Jech :-D ) et contenant tout tes trucs un peu plus haut

Soit $D:=\{x\mid \forall y\in x: x\in C_x\}$. Je te prouve qu'il contient un club. On peut** supposer $x\mapsto C_x$ est décroissante où la relation d'arrivée est $\supseteq $.

Soit $u$ une suite strictement croissante d'éléments de $D$ et $s$ sa borne sup. Comme $s$ est dans tous les $C_{u(n)}$, (comme limite de leurs éléments), il est dans tous les $C_x, x<s$.

Non bornitude: soit $a$. Puis $a<u(0)\in C_a$, puis $u(0)<u(1) \in C_{u(0)}$, etc. La borne sup de $u$ est dans $D$.

** en remplaçant chaque C_x$ par $C'_x:=\cap_{y\leq x} C_y$.