Qu’est-ce qu’un nombre?

Bonsoir à tous,

Merci pour vos réponses stimulantes.

Math Coss, l'intuition est quelque chose de fluctuant, cela dépend des gens et des moments… Pour moi, la multiplication en mathématiques, dans le domaine des nombres réels, est quelque chose de relativement intuitif. C'est intuitif en raison de ma culture, bien entendu, pour un enfant, c'est plus difficile. Mais je pense que pour la plupart des gens, c'est relativement intuitif. Quand on fait intervenir les unités, c'est autre chose, mais le problème me semble extrinsèque: il vient de la science qui nous fait utiliser les unités en question. D'autre part, le problème des carrés négatifs ne m'a pas choqué dès le début quand j'ai étudié les nombres complexes au lycée. J'ai commencé à sentir qu'il y avait une bizarrerie quand j'ai compris que, comme je le disais, deux quantités positives multipliées entre elles donneront parfois un résultat plus petit que deux quantités positives plus petites multipliées entre elles.

Maxtimax, je vois que vous répondez à Math Coss, mais je tiens à ajouter que, pour ma part, je n'ai pas parlé de mesure, qui est un concept un plus vague, mais d'exprimer une quantité ou une grandeur, ce qui suppose l'ordre: deux grandeurs étant données, soit elles sont les mêmes, soit l'une est plus grande que l'autre. Je trouve que dire que les nombres réels expriment des grandeurs ou des quantités, en première approche, fonctionne bien.

J'ai hésité à construire mon petit paragraphe en commençant par le passage des entiers aux fractionnaires, etc., jusqu'aux complexes, mais j'ai pensé que, jusqu'aux complexes exclus, on peut se représenter le passage comme quelque chose de relativement naturel. On complète la droite des réels. Quel que soit le nombre réel que vous ajoutez, si bizarre soit-il, il vient en quelque sorte combler espace de la droite des réels qui sans lui serait vide, et il est toujours plus petit ou plus grand que n'importe quel autre nombre réel avec lequel on le compare. Si on a le sentiment que les nombres entiers ou décimaux suffisent pour exprimer les grandeurs, c'est juste notre imprécision qui nous masque les problèmes: il suffirait de dérouler un cercle et de le mesurer, avec une règle graduée en fractions de son rayon, avec une précision arbitraire (ce n'est bien sûr qu'une expérience de pensée), pour s'apercevoir que l'on a besoin d'autres nombres que les décimaux.

Je crois que Math Coss et Foy font apercevoir une piste possible pour résoudre le problème: on pourrait dire que les «vrais» nombres sont les réels, et que les complexes ne sont qu'une certaine présentation qui permet de simplifier des calculs sur des couples de réels. Je suppose que d'autres pourraient contester et mener la discussion plus loin, ce qui serait très intéressant, mais je n'en demande pas tant…

Mon but n'est pas de résoudre le problème de la nature des nombres, mais de montrer que quand on se pose la question «Mais, au fait, qu'est-ce que…?» à partir d'un concept apparemment trivial, que l'on a sous la main et que l'on manipule fréquemment avec un haut niveau de maîtrise, on peut arriver très vite à des surprises, à des problèmes, à l'observation du fait que la pensée est claire superficiellement mais nébuleuse dans ses fondements. Mon but est pédagogique. Je voudrais en rester à la position d'un bon et beau problème et surtout éviter de dire des choses fausses, comme celle que petit-o a aimablement corrigée, et je ne voudrais pas balancer l'expression «pas de relation d'ordre compatible avec la structure de corps» d'une façon inappropriée. Est-ce que c'est correct de dire que le fait que, avec 0<m<n<p<q, on peut avoir selon les cas soit mn>pq soit mn<pq, montre que la relation d'ordre doit être dite «non-compatible avec la structure de corps» du corps des complexes, ou bien faut-il en passer nécessairement par les carrés négatifs pour introduire correctement cette notion?

Merci encore.