Limite d'une suite décroissante

Qu'est-ce que c'est que la convergence d'une suite dans un ensemble muni d'un préordre ?

Edit : rectification syntaxique.

MathCoss : la convergence pour la topologie du préordre j'imagine ? (qui ne va pas du tout être séparée en général, mais rien n'empêche de considérer des limites dans des espaces non séparés)

Alex, si mon interprétation est correcte, déjà s'il s'agit d'un ordre total tu as ta propriété, donc pas besoin de $E=\R$, c'est "ordre total" qui importe (la preuve est la même).
Ensuite, quitte à passer au quotient par la relation $a\sim b \iff a\leq b \land b\leq a$, on peut supposer que tu as affaire à un ordre ($ [ u ]\leq [ u_n ]$ si et seulement si $u\leq u_n$ et $u_n \to u$ est préservée (et reflétée) par passage au quotient si je ne m'abuse, donc on ne perd rien à passer au quotient)

Tu as des exemples où $u\leq u_k$ n'est vérifié pour aucun $k$. Si tu prends par exemple $E$ qui ressemble à un $\N$ dans le sens inverse, avec un $u$ mis à côté (incomparable) et un $v$ mis tout en bas (comparable à tout le monde), alors $u$ n'est que dans deux ouverts : $E$ tout entier et "les gens strictement plus grands que $v$) donc n'importe quelle suite qui n'est plus $v$ à partir d'un certain rang converge vers $u$. En particulier la suite qui dégringole le long de $\N$ converge vers $u$ et pourtant n'est jamais plus grande que $u$

EDIT : ah visiblement mon interprétation est totalement incorrecte, du coup mon message ne sert à rien

Mais du coup Alex, énoncé tel quel, ton préordre n'a aucun lien avec la topologie et donc avec la convergence simple...

Alex : non au début j'avais lu sans tes précisions, donc la grosse partie de mon message est complètement sans lien avec ta question.

Mais avec tes précisions (c'est ce que j'ai dit dans mon edit) ta structure de préordre sur $F$ n'a a priori aucun lien avec la topologie de $E$, donc aucun lien avec la convergence simple dans $F$ : je me trompe ? S'il n'y a aucun lien entre ton préordre et ta convergence, comment espérer obtenir quelque chose comme $u\leq u_n$ (une donnée de type "préordre") à partir de $u_n\to u$ (une donnée de type "convergence").

Je te donne un exemple : je me fiche de $E=[0,1]$ pour être concret et je fixe une suite $(u_n)$ convergeant simplement vers $u$, avec pour tout $n, u_n\neq u$.
Je définis $F$ comme étant l'ensemble $\{u_n, n\in \N\}\cup \{u\} \cup \{*\}$ où $*$ est une fonction constante qui n'est ni $u$, ni aucune $u_n$. Je définis alors un ordre sur $F$ comme faisant de $u_n$ une suite décroissante, incomparable à $u$, et je décrète que tout le monde est plus grand que $*$.
Donc en fait en disant que $\leq$ est un préodre quelconque sur $F$, ça n'a aucune chance de donner quoi que ce soit, il faut qu'il y ait un minimum de lien avec la topologie de $E$

Ah donc ce n'est pas un préordre quelconque, ça change sûrement beaucoup de choses

À première vue moi non plus, mais ce qui est certain c'est qu'un préordre quelconque ne te donne rien du tout

Donc si on reformule ta demande (je ne l'avais pas lue en entier), ça donne:

Est-ce qu'une convergence simple d'une suite $u$ telle que $\forall n: Im(u_{n+1}) \subseteq Im(u_{n})$ vers la fonction $v$ entraîne que $\forall n: Im(v)\subseteq Im(u_n)$?

Ne crois-tu pas que demandé comme ça, tu aurais plus de réponses? :-D

Ah là, tu m'en demandes trop. Il est bien plus facile d'avoir un prix Nobel ou d'escalader l'Everest. Tu crois vraiment que l'image directe d'une application QUELCONQUE est fermée?

$v(a)$ est seulement dans L'ADHERENCE de chaque $Im(u_n)$. Tu n'as pas dit que ton $F$ ne contient que des continues.

Si elles le sont, oui, car l'image de $[0,1]$ par une continue est fermée.