Limite d'une suite décroissante
Bonjour,
On considère un espace topologique $E$ supposé $T_2$, et $F$ un ensemble d'applications de $[0;1]$ dans $E$.
Soit $\le $ un préordre sur $F$ (ordre sans l'antisymétrie).
Soit $(u_{n})$ une suite décroissante de $F$ pour $\le $ convergeant simplement vers $u \in F$.
Je suppose l'existence de $v \in F$ tel que $v \le u_{0}$ et $v \le u$ (je ne sais pas si c'est utile).
J'aimerais savoir dans quels cas on a $\forall n \in \mathbb{N} , u \le u_{n}$
Voire un exemple de suite où $u \le u_{n}$ n'est pas réalisé $\forall n$.
Merci pour votre aide.
On considère un espace topologique $E$ supposé $T_2$, et $F$ un ensemble d'applications de $[0;1]$ dans $E$.
Soit $\le $ un préordre sur $F$ (ordre sans l'antisymétrie).
Soit $(u_{n})$ une suite décroissante de $F$ pour $\le $ convergeant simplement vers $u \in F$.
Je suppose l'existence de $v \in F$ tel que $v \le u_{0}$ et $v \le u$ (je ne sais pas si c'est utile).
J'aimerais savoir dans quels cas on a $\forall n \in \mathbb{N} , u \le u_{n}$
Voire un exemple de suite où $u \le u_{n}$ n'est pas réalisé $\forall n$.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Edit : rectification syntaxique.
Alex, si mon interprétation est correcte, déjà s'il s'agit d'un ordre total tu as ta propriété, donc pas besoin de $E=\R$, c'est "ordre total" qui importe (la preuve est la même).
Ensuite, quitte à passer au quotient par la relation $a\sim b \iff a\leq b \land b\leq a$, on peut supposer que tu as affaire à un ordre ($ [ u ]\leq [ u_n ]$ si et seulement si $u\leq u_n$ et $u_n \to u$ est préservée (et reflétée) par passage au quotient si je ne m'abuse, donc on ne perd rien à passer au quotient)
Tu as des exemples où $u\leq u_k$ n'est vérifié pour aucun $k$. Si tu prends par exemple $E$ qui ressemble à un $\N$ dans le sens inverse, avec un $u$ mis à côté (incomparable) et un $v$ mis tout en bas (comparable à tout le monde), alors $u$ n'est que dans deux ouverts : $E$ tout entier et "les gens strictement plus grands que $v$) donc n'importe quelle suite qui n'est plus $v$ à partir d'un certain rang converge vers $u$. En particulier la suite qui dégringole le long de $\N$ converge vers $u$ et pourtant n'est jamais plus grande que $u$
EDIT : ah visiblement mon interprétation est totalement incorrecte, du coup mon message ne sert à rien
Mais du coup Alex, énoncé tel quel, ton préordre n'a aucun lien avec la topologie et donc avec la convergence simple...
Mais avec tes précisions (c'est ce que j'ai dit dans mon edit) ta structure de préordre sur $F$ n'a a priori aucun lien avec la topologie de $E$, donc aucun lien avec la convergence simple dans $F$ : je me trompe ? S'il n'y a aucun lien entre ton préordre et ta convergence, comment espérer obtenir quelque chose comme $u\leq u_n$ (une donnée de type "préordre") à partir de $u_n\to u$ (une donnée de type "convergence").
Je te donne un exemple : je me fiche de $E=[0,1]$ pour être concret et je fixe une suite $(u_n)$ convergeant simplement vers $u$, avec pour tout $n, u_n\neq u$.
Je définis $F$ comme étant l'ensemble $\{u_n, n\in \N\}\cup \{u\} \cup \{*\}$ où $*$ est une fonction constante qui n'est ni $u$, ni aucune $u_n$. Je définis alors un ordre sur $F$ comme faisant de $u_n$ une suite décroissante, incomparable à $u$, et je décrète que tout le monde est plus grand que $*$.
Donc en fait en disant que $\leq$ est un préodre quelconque sur $F$, ça n'a aucune chance de donner quoi que ce soit, il faut qu'il y ait un minimum de lien avec la topologie de $E$
$u \le v \Leftrightarrow \exists w : [0;1[ \rightarrow [0;1[$ injective telle que $u_{|[0;1[} = v \circ w$.
Je ne vois pas trop quoi en tirer, c'est pour ça que j'ai présenté $\le$ comme un préordre quelconque de $F$.
La décroissance de la suite s'écrit donc $u_{n_{|[0;1[}} = u_{n-1} \circ w_{n-1} = u_{n-2} \circ w_{n-2} \circ w_{n-1} = ... = u_{0} \circ w_0 \circ w_1 \circ ... \circ w_{n-1}$.
Mais là non plus, je ne vois pas trop les conclusions que je pourrais faire.
$$ \exists w: f=g\circ w $$
Est-ce vraiment ce que tu voulais dire?
** et même précisément à des tracas près (flemme) sur l'ensemble vide ça veut juste dire $Im(f)\subset Im(g)$.
Est-ce qu'une convergence simple d'une suite $u$ telle que $\forall n: Im(u_{n+1}) \subseteq Im(u_{n})$ vers la fonction $v$ entraîne que $\forall n: Im(v)\subseteq Im(u_n)$?
Ne crois-tu pas que demandé comme ça, tu aurais plus de réponses? :-D
$v(a)$ est seulement dans L'ADHERENCE de chaque $Im(u_n)$. Tu n'as pas dit que ton $F$ ne contient que des continues.
Si elles le sont, oui, car l'image de $[0,1]$ par une continue est fermée.