Anneau (Alzheimer)?

Je m'inquiète de ce qui se passe dans mon cerveau depuis quelques temps. Je trouve plein de preuves de choses fausses, et mets souvent du temps à trouver les erreurs.

Bon à la rigueur c'est pas grave, je passe un coup de fil quand ça m'énerve.

Mais je trouve aussi plein de preuves de ... choses déjà prouvées. Et dans la plupart des cas, je "rame" en ce sens qu'on trouve difficilement des amis qui vous file au téléphone une erreur dans une preuve qui aboutit à un truc connu et déjà prouvé de longue date.

Moralité: certaines preuves "trop faciles" me semblent douteuses et je n'ai d'autre choix que de poster, bien qu'elles prouvent des trucs bien connus. (Ou alors de les passer au vérifieur formel, mais c'est long).

Présentement: je vais prouver en peu de lignes très "vides" qu'il n'y a pas de suite descendante d'idéaux premiers dans un anneau noethérien. Or je crois avoir plus ou moins vu jadis que ce n'était pas considéré comme une trivialité. Je dois donc "probablement" faire une erreur.

1/ On peut supposer que pour tout idéal $J$ non nul, $A/J$ vérifie l'énoncé suivant: pour toute suite finie strictement croissante d'idéaux premiers (propres), le dernier de la liste a besoin d'au moins autant de générateurs que la longueur de la suite - 1.

2/ Supposons que $P_0<..<P_n$ et que $P_n$ n'ait besoin que de $<n-1$ générateurs. Comme on peut écraser $P_0$, l'anneau est intègre et $P_0=(0)$.

3/ Regardons $P_1$, $a\in P_1$ non nul, et écrasons $a^2$. Alors $P_1$ tout entier devient nul. Donc $\exists k: a=ka^2$, donc $a(1-k^a)=0$. Il suit $ka=1$. Contradiction.

4/ Par récurrence noethérienne, CQFD.

Evidemment en corollaire, pas de suites strictement décroissante infinie d'idéaux premiers dans un anneau noethérien, mais je trouve ces 4 lignes "un peu triviales" pour être non erronées.

Merci à quiconque trouverait le "gros oubli".