Vocabulaire demande aide diff et intégrales

christophe c · June 2019

Bonjour à tous, je vais tenter (après quelques pérégrinations pas vraiment conclues en finitisme), de me cultiver en calcul différentiel et intégral (j'ai l'âge proche de la sénilité pour revenir aux bases sans m'en vouloir).

Très important: je me fiche "éperdument" des $n$ tels que mes $f$ sont $n$ fois différentiables. En gros, je souhaite percevoir le vocabulaire "à la physicienne" qui a été inventé pour pouvoir lire des docs et faire des recherches google. Donc vous n'avez nullement de me précise que les fonctions sont mesurables, différentiables, etc, vous pouvez faire comme si tout le monde est totalement mesurable et différentiable. J'ai l'avantage de savoir gérer les exceptions.

Soit $E$ euclidien (ou hermitien, peu importe), et $f: E\to \R$.

1/ Soit $x\in E$. Comment s'appelle le $g(x)\in \R^n$ tel que $\forall h: Df(x)(h) = g(x).h$?

2/ Comment s'appelle $g$?

3/ Comment s'appelle le jacobien de $g$?

Ceci étant demandé dans le contexte le Machin-Truc de $f$ pour le format des réponses.

Un grand merci à tous les gens qui voient les mêmes questions d'étudiants se répéter ad vitam eternam et qui continuent d'y répondre patiemment? Je sais que c'est lassant?

christophe c · June 2019

Soit $E$ euclidien, dim fini, etc.

Exceptionnellement, soit $f$ non supposé régulière (juste mesurable).

A chaque $x\in E$ on associe de la manière qu'on imagine une fonction $h_x$ qui est $C^\infty$ (qui l'est en tant que $(x,y\mapsto h_x(y)$), et telle que le support de $h_x$ est très concentré autour de $x$ d'une part et d'autre part telle que $\int_E h_x = 1$.

Soit $g:=[x\mapsto \int_E fh_x]$.

4/ En un sens "banal" $g$ ressemble à $f$. Je me doute bien qu'on peut appeler ça "régulariser" ou "lifter", mais est-ce que ça porte un nom officiel?

5/ $g$ est-elle forcément $C^\infty$? (je me doute que oui, mais si 2 ou 3 lignes peuvent rappeler pourquoi? )

6/ En quel sens peut-on dire que $g$ est proche de $f$?

7/ N'hésitez pas à mettre des mots-clé dans le désordre à taper sur google. Merci!

Maxtimax · June 2019

Je vais essayer de répondre le plus avec mes vagues souvenirs :

1/2. Il s'appelle $\nabla f (x)$, en tout cas en notation (lire "nabla") ou $\nabla_x f$ pour les personnes qui préfèrent les indices. Je crois que le nom c'est "gradient" de $f$ (en $x$ ou pas, selon que tu évalues)

3. aucune idée

4. C'est pas exactement ça, parce que le mot est plus précis sur la forme de $h$, mais "produit de convolution", "convolée" etc. sont des mots qui te donneront des choses liées à ce que tu demandes (en fait dans ce genre d'affaire $h$ est de la forme $h_x(y) = h(x-y)$ où $h$ est comme tu le décris mais avec $x=0$: support très proche de $0$ tout ça tout ça). ça existe aussi en distributions, me semble-t-il.Je crois qu'on parle de régularisation effectivement, mais là il faudra demander à une personne qui s'y connait mieux.

5. Dans mon souvenir, oui si tant est que $h$ est de la forme à laquelle je pensais en 4. A priori il devrait juste s'agir du théorème de Leibniz qui permet de différentier sous le signe intégral, qui dépend, lui, du théorème de convergence dominée.

6. Dans mes souvenirs (lointains aussi, et à nouveau je prends $h$ de la forme que j'ai prescrite, donc moins générale que toi) si on choisit $h$ de plus en plus resserrée autour de $0$ et de plus en plus haute en $0$, $g$ tend vers $f$. En quel sens ? $L^1$ à coup sûr, mais peut-être même $L^\infty$ mais là c'est plus douteux

7. Pour 1,2,3, : gradient est vraiment le mot que tu cherches et donc les informations qui t'intéressent apparaîtront sous "jacobien du gradient" etc.
Pour 4,5,6, si tu es prêt à te restreindre à ce que j'ai dit, produit de convolution, convolée/convoler/convoluer (?), régularisation

christophe c · June 2019

Un immense meeeeeeeeeeeerrrrrrrrrrciiiiiiiiiiiiiiii à toi MAX.

Purée, c'était ça le gradient. J'hallucine!!!!!

J'adore quand tu dis mes souvenirs lointains. Comme tu as à peine 20ans, j'avoue, avoir étudié à a à 8ans, de l'eau a coulé sous le ponts depuis :-D

Bravo pour l'étendue et la solidité de ton bagage en tout cas, qui n'est rien comparé à ta capacité à raisonner "à partir de rien" pour autant.

Maxtimax · June 2019

Tu sais quand on est jeunes il suffit de 2-3 ans pour que ça paraisse lointain ;-)

christophe c · June 2019

Et dire que j'ai dû entendre et lire le mot gradient 4571 fois depuis que je viens sur le forum... J'ai quand-même un côté autiste parfois.

christophe c · June 2019

Pour les gens qui suivraient et qui voudraient (bon doit y avoir peu) comme moi comprendre sans avoir fait d'étude, ni lire de gros traités épuisants, je donne une preuve heuristique de la formule de changement de variable.

$\int_E f = mesure(\{(x,r) \in E\times \R^+\mid r<f(x) \})$.

Soit $g$ une bijection régulière de $E\to E$ et $h$ sa réciproque.

1/ On additionne des volumes d'immeubles (penser à une ville).

2/ Le volume de l'immeuble de $f(x)$, c'est $f(x)$ qui est sa hauteur fois sa base

3/ Le volume de l'immeuble de $f(g(x))$, c'est $f(g(x))$ qui est sa hauteur fois sa base qui s'obtient en multipliant la base de $f(x)$ par un nombre $\sigma(x)$

La nature bijective assure qu'on traite les mêmes immeubles.

Donc sommer $x\mapsto $ les volumes des immeubles $x$ revient à additionner $x\mapsto $ les volumes des immeubles $g(x)$.

Donc $\int f = \int (x\mapsto f(g(x))\times \sigma(x))$

Il reste à trouver $\sigma$. Or une autre partie des maths dit que c'est effectivement :

$$ x\mapsto |det(D_g(x)) | $$

(Le déterminant indique, au signe près par combien une application linéaire multiplie le volume infinitésimal).

christophe c · June 2019

J'en reste à trouver que l'apparition "magique" de la valeur absolue via un procédé déductif ici indique un loup, ou .. un graal (enfin un mini graal). Je n'ai pas l'impression d'avoir souvent vu en maths une discontinuité apparaître de manière aussi "constructive"

ev · June 2019

@ Christophe.

Une discontinuité aussi brutale que
* Une relation d'ordre sur l'espace vectoriel $ \R $
* Apu la relation d'ordre sur l'espace vectoriel $ \R^2 $ ?

amicalement,

e.v.

christophe c · June 2019

@ev: je me suis peut-être un peu mal expliqué, j'essaierai de dire ce que je ressens. Bon en tout cas, à cause du TVI, de toute façon, les "habituelles" bijections intervenant dans le CHGTVARINT de $E\to E$ n'ont jamais de dérivée nulle, donc elles sont de signes constant, donc pas de "mélange". Ca post-justifie la valeur absolue.

J'ignore si par "difféomorphisme" wikipedia entend "bijection qui est en tout point a une différentielle bijective" ou juste "bijection".

J'ai quelques autres questions:

8.1/ La médiane donne la valeur (ou les peu importe) valeur prise par une fonction CONSTANTE $g$ minimisant $||f-g||_1:=\int |f-g|$ (moyenne de type1)

8.2/ La moyenne la valeur (ou les peu importe) valeur prise par une fonction CONSTANTE $g$ minimisant $||f-g||_2:=\int (f-g)^2$ (moyenne de type 2 , notre moyenne habituelle)

8.3/ / Du coup, en suivant ce chemin, on peut parler de "moyenne de type $\infty$", qui donne la valeur (ou les peu importe) valeur prise par une fonction CONSTANTE $g$ minimisant $||f-g||_{\infty }:= $ plus petit des $s$ tel que pour pour presque tout $x: |f(x)-g(x)|\leq s$

8/ Y a-t-il un nom pour ces moyennes de type p en général (ici on peut regarder la fonction comme une V.A.)

9/ La médiane porte les indices, la "moyenne de type $\infty$" porte uniquement sur les deux valeurs extrêmes (c'est leur milieu), et la moyenne "bin de chez nous", peut être donc spéculée comme mélangeant indices et images. Y a-t-il des docs qui étudient ce point de vue?

Un grand cimer par avance!!

christophe c · June 2019

J'ai très légèrement amélioré l'heuristique de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1829244,1829290#msg-1829290

christophe c · June 2019

Pardon pour mes très peu fréquentes connexions. J'ai une question qui compte pour moi, tellement je suis ignare en calcul diff et intégral.

10/ Quelqu'un pourrait-il me dire "ce qu'il suffit" pour que je maitrise à donF un passage comme:

$<<$par tiré en arrière $df(\omega) = f(d\omega)>>$

Merci par avance.

11/ une forme différentielle n'est rien qu'un cas particulier d'application disons régulière de $E$ dans $F$, les espaces $E,F$ étant des espaces vectoriels (plussss topoetc). Quelle différence y a-t-il entre $D\omega$ (la différentielle de $\omega$) et $d\omega$?

12/ Peut-on expliquer ce que dit la formule de Stokes au grand public? (Un jour j'avais demandé à un ami si on pçuvait dire "pour compter les gens dans un stade, il suffit de compter les entrées et les sorties aux portes" et il m'avait dit "oui", alors que pourtant (je la connais mais la maitrise mal à cause de présence déterminantesque), je ne parviens pas vraiment à la voir comme ça)

Maxtimax · June 2019

11/ À première vue c'est pas ça une forme différentielle, et je n'arrive pas à faire rentrer la définition dans ton cadre.
Pour une fonction à valeurs dans $\R$ ( = forme différentielle de degré $0$) $df$ et $Df$ ça va être pareil. Pour une forme différentielle $\omega$ de degré plus grand, $D\omega$ c'est une bête que je ne visualise pas du tout.

Exemple : pour $f$ une fonction à valeurs réelles, $df$ c'est essentiellement sa différentielle mais c'est aussi une $1$-forme. Donc $d(df) = d^2f =0$, alors que $Ddf$ c'est en gros la même chose que $DDf$ qui n'a aucune raison d'être $0$ en général.
Bref la différence c'est que c'est pas défini pareil, que ça n'a pas les mêmes propriétés (en particulier c'est pas égal) ni les mêmes objectifs :-D

J'ai mis ça avant 10 parce que :

10/ bah du coup déjà il fait que tu comprennes la définition de $d$, mais avant ça, de forme différentielle. Les deux ne sont conceptuellement paa compliquées, mais les écrire proprement prends du temps et est technique (la définition de forme différentielle, la complication est de définir le produit tensoriel ou alterné de deux fibrés vectoriels; la définition de $d$ c'est le passage de la définition locale qui est facile, à la définition globale, donc recollement).

Une fois que t'as ça, et la définition du tiré en arrière de formes différentielles, a priori la formule $f^* \circ d = d \circ f^*$ (naturalité de $d$ (:P) ) est relativement simple en regardant juste localement ce qu'elle dit, par récurrence sur le degré des formes (le cas degré $0$, c'est-à-dire les fonctions à valeurs réelles est plus pénible dans mon souvenir, il faut prouver que des choses commutent à des dérivées, tandis que l'étape de récurrence il n'y a pas gtand chose à faire)

12/ aucune idée je l'ai jamais compris :-D enfin compris au-delà de "tiens on a cette formule"

(Tout ça c'est de mémoire, pas impossible que je me trompe, on me corrigera au besoin)

Foys · June 2019

12/ Stokes dit exactement ça: intuitivement la variation d'une quantité à l'intérieur d'une enceinte est exactement ce qui passe à travers la paroi (choses intuitives à définir mathématiquement...).

Cf V.I.Arnold: Mathematical methods of classical mechanics pour une description intuitive de l'opérateur de différentiation des formes diférentielles (intimement lié à la formule de Stokes):
Soient $U$ un ouvert de $\R^d$, $a\in U$, $v_1,...,v_d\in \R^d$. Soit $\omega$ une $d-1$-forme sur $U$. Soit $\varepsilon>0$. Pour tout $j \in \{0,1\}^d$, soit $a_j(\varepsilon) := a+\sum_{k=1}^d \varepsilon j_k v_k$.

Soit $\rho>0$ tel que le parallélépipède $P(\rho)$ de sommets $\left( a_j(\rho) \right )_{j\in \{0,1\}^d}$ soit contenu dans $U$ (c'est celui dont les arêtes sont définies par les $v_1,...,v_d$).
On note $F_i(\rho)$ la face de $P(\rho)$ parallèle à $vect(v_1,...,v_{i-1},v_{i+1},...,v_d)$ et qui passe par $a$.
On note $F_i^+ (\rho)$ l'autre face de $P(\rho)$ qui lui est "parallèle" (à formaliser proprement quand les $v_1,...,v_d$ sont liés mais c'est intuitif quoique un peu fastidieux).

Théorème (Stokes infinitésimal): lorsque les $F_i,F_i^+$ sont orientées par normale sortante, $$\lim \limits_{t \to 0} \frac{1}{t^d} \sum_{i=1}^d \left ( \int_{F_i(t)} \omega + \int_{F_i^+(t)}\omega \right ) = d_a \omega(v_1,...,v_d) \tag{$\dagger$}$$

Soit $i\in \{1,...,d\}$. Soit $e_1,...,e_d$ la base canonique de $\R^d$. Soit $\psi_i$ l'application linéaire envoyant $e_k$ sur $v_k$ si $k<i$, $e_k$ sur $v_{i+1}$ si $i\leq k < d-1$ et $e_d$ sur $v_i$.
Soient $\phi_{t,i}:=x\mapsto a+t\psi_i(x)$ et $\phi^+_{t,i}:=tv_i + \phi_{t,i}$.
Alors $(\dagger)$ équivaut à (vérifier l'orientation):
$$\lim \limits_{t \to 0} \frac{1}{t^d} \sum_{i=1}^d (-1)^{d-i} \int_{[0,1]^{d-1}} t^{d-1}
\left [ \omega \left ( a+\phi_{t,i} (x) \right ) - \omega \left ( \phi_{t,i}(x) \right )
\right ] (v_1,v_2,...,v_{i-1},v_{i+1},...,v_n) d\mu_{d-1} (x)= d_a \omega(v_1,...,v_d) \tag{$\dagger \dagger$}$$
où $\mu_{d-1}$ désigne bien sûr la mesure de Lebesgue sur $\R^{d-1}$.

$(\dagger \dagger)$ est un simple exo de prépa (on suppose des conditions de régularité suffisantes sur le objets envisagés).

On en déduit immédiatement la formule de Stokes pour des cubes ou des parallélépipèdes par des arguments du type intégrale de Riemmann.

La formule de Stokes pour des variétés à bord quelconques est non triviale mais cet exemple devrait déjà être éclairant.

Foys · June 2019

Remarques:
-En dimension 1, la formule $(\dagger \dagger)$ n'est rien d'autre que $f(b)-f(a)=\int_a^b f'$ avec $a,b\in \R$ et $f$ $C^1$.
-La formule de Stokes est invariante par difféomorphisme. Si on recolle des cubes "tordus" (images de cubes par difféomorphisme) face contre face, les intégrales de $(d-1)$ formes sur des faces adjacentes vont s'annuler entre elles et la formule de Stokes reste vraie pour la réunion de tous ces cubes, ce qui forme une classe d'objets "stokables" assez grande (là, un physicien dirait que c'est moralement tout le temps vrai).
-C'est pour ça que "dans les bons cas" (les hypothèses propres sont laissées aux bon soins des lecteurs) la cohomologie de De Rham est duale de l'homologie singulière: l'intégrale est le crochet de dualité et vous intégrez sur des cycles et non plus seulement sur des cubes.

En conclusion, on pourrait quasiment dire que "la différentiation des formes différentielles est par définition l'opérateur ad-hoc qui rend la formule de Stokes vraie" :-D (les développements plus haut montrent que de toutes façons il n'y en a qu'un seul possible).

[size=x-small]Un gentil forumeur (que je remercie) m'a écrit pour dire que "Stokes" ne prend pas de "c". Ne faites pas cette faute vous non plus.[/size]

christophe c · June 2019

Un grand merci à toi et à Max. Le problème est que je sais prouver** Stokes mais ne sais pas le voir comme ton interprétation confirmée.

** Enfin pour être précis je sais prouver que tel machin calculé sur seulement le bord est la somme algébrique de tous les petits machins car 0 = +face cachée -face cachée donc on se ramène à mini Stokes infinitésimaux.

Mais .... je ne saisis pas ce qu'est une forme diff. Disons qu'en ramenant aux petits machins infinitésimaux je sais "faire le tour d'un atome". Là suis sur mon tel milieu de cambrousse donc pas d'urgence.

Maxtimax · June 2019

L'interprétation c'est celle de Foys, moi j'ai dit que j'en savais rien :-D

Une $k$-forme différentielle c'est un truc qui en $x$ te donne une une forme $k$-linéaire alternée sur $T_xM$, l'espace tangent à $M$ en $x$, et cette $k$-forme varie lissement avec $x$. Le point délicat est de décrire ce "lissement" : pour ça il faut définir le fibré $\Omega^k(M) := \bigwedge^k T^*M$, et c'est là que se fait tout le travail. Une fois qu'on a cette définition, une $k$-forme c'est "juste" une section $C^\infty$ du fibré.

Localement, elles s'écrivent toutes $f \mathrm{d}x_{i_1} \wedge ... \wedge \mathrm{d}x_{i_k}$ où $f$ est à valeurs réelles $C^\infty$ et $(x_1,...,x_n)$ est une carte

Tu as alors un théorème qui te dit qu'il y a une unique suite d'applications (toutes notées $\mathrm{d}$) $d:\Omega^k(M)\to \Omega^{k+1}(M)$ telle que $\mathrm{d}^2 = 0$, telle que $\mathrm{d}$ soit une dérivation pour le produit extérieur et qui vaut ce à quoi on s'attend localement, c'est-à-dire si sur la carte $(x_1,...,x_n)$, $\omega = f \mathrm{d}x_{i_1} \wedge ... \wedge \mathrm{d}x_{i_k}$ alors sur la même carte, $\mathrm{d}\omega$ vaut $\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_{i_1} \wedge ... \wedge \mathrm{d}x_{i_k}$ (bon en fait si on a la localité, il suffit de cette formule localement pour $k=0$ pour caractériser entièrement $\mathrm{d}$), et $\mathrm{d}$ est alors naturelle ($\Omega^k$ est un foncteur de manière relativement claire)

Georges Abitbol · July 2019

On est en mode "soft-question", n'est-ce pas ? Je me permets de ne pas être trop formel. J'ai deux ensembles d'idées un peu vagues à propos de tout ceci, les voici :

1) Pour intégrer des choses, on aime bien avoir des mesures.
2) Théorème : si $R$ est un parallélépipède plein de la bonne dimension dans $\mathbb{R}^n$, le nombre obtenu en divisant la mesure de Lebesgue de $R$ par le déterminant des vecteurs donnés par les côtés de $R$ est égal à $1$.
2)bis) Donc, dans $\mathbb{R}^n$, mesure-genre-Lebesgue = déterminant.
3) Dans 2)bis) c'est comme si on avait un "déterminant d'unité constante", mais on peut changer ça : pour toute fonction $f$ sur $\mathbb{R}^n$, pour tout $x$ et pour tout $n$-uplet de "vecteurs pointés en $x$" $((x,v_1),\cdots,(x,v_n))$ (où les $v_i$ sont des vecteurs), on définit le "déterminant pointé en $x$ dilaté par $f$ appliqué à ces vecteurs pointés" comme étant $f(x) \det(v_1,\cdots,v_n)$. Si $f $ est constante de valeur $1$, ça redonne le déterminant normal.
3)bis) On peut refaire des mesures avec des déterminants pointés.
4) Ces déterminants pointés, ça s'appelle en fait des $n$-formes.
5) En fait, on aurait très bien pu faire la même chose avec autre chose que le déterminant, par exemple des $k$-formes linéaires alternées. Par contre, le fait qui est un peu caché derrière 3) c'est que les $n$-formes alternées sur $\mathbb{R}^n$, c'est de dimension $1$, donc une fonction suffit ; par contre, pour les $k$-formes qui sont de dimension plus grande, c'est autre chose.
6) Une $k$-forme différentielle, c'est la donnée, en tout point, d'une $k$-forme alternée sur l'espace tangent, autrement dit, c'est, en chaque point, une façon de mesurer les $k$-aires orientées infinitésimales.
7)... Mmmmh ça s'arrête là, désolé.

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Une variation discrète et triviale de Stokes :

Soit $T$ un complexe de triangles, c'est-à-dire un dessin fini avec des triangles d'intérieurs disjoints se touchant en un sommet ou partageant une arête. On note $T_0$ l'ensemble de ses sommets, $T_1$ l'ensemble de ses arêtes, et $T_2$ l'ensemble de ses intérieurs de triangles.

Munissons-le d'une orientation, c'est-à-dire qu'on dessine une flèche sur chaque arête et pour tout intérieur de triangle, on dessine une flèche qui tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse (disons que ceux qui contiennent une flèche qui tourne dans le sens trigo sont "directs"). On dessine tout ça comme on veut, peu importe. Ca donne l'impression d'une brisure de symétrie mais on pourrait s'en passer.

Soit $k \in \{0,1,2\}$. Une $k$-forme différentielle est une application $T_k \rightarrow \mathbb{R}$. Une $k$-chaîne est aussi une application $T_k \rightarrow \mathbb{R}$.

Le fait que tout soit discret fait que les $k$-formes et les $k$-chaînes sont la même chose, mais il faut plutôt s'imaginer que les $k$-formes sont des fonctions généralisées sur $T$, puisqu'au lieu d'être nécessairement définies sur les "points" de $T$, ses éléments de dimension $0$, elles peuvent être définies sur des choses de dimension plus grande ; de même, les $k$-chaînes doivent être envisagées comme des morceaux d'espaces, munis d'un coefficient, comme si on pouvait compter l'espace "plusieurs fois".

Soit $I$ une arête. Son bord est défini comme étant la $0$-chaîne valant $1$ sur le point "but" de la flèche, comme valant $-1$ sur le point "source" de la flèche et comme valant $0$ sur tous les autres sommets.

Soit $\Delta$ l'intérieur d'un triangle de $T$. Supposons qu'il est direct. Alors son bord est défini comme étant la $1$-chaîne suivante :
- sur les arêtes qui appartiennent au bord de $\Delta$, elle vaut $1$ (resp. $-1$) si la flèche sur l'arête tourne dans le sens direct (resp. dans le sens indirect) ;
- sur les autres arêtes, $0$.
Si $\Delta$ est indirect, on échange les signes.

Exo : Supposons que $T$ soit donné par deux triangles adjacents par un côté. Donner à ces triangles un sens direct, et mettre des flèches sur les arêtes de plein de façons différentes, et calculer à chaque fois le bord de la $2$-chaîne donnée par la fonction constante égale à $1$. Le but est de se convaincre que le bord est défini de la bonne façon, et que les signes et les orientations servent à quelque chose.

Ensuite, si $\alpha$ est une $k$-forme différentielle, et $C$ est une $k$-chaîne, on pose $\int_C \alpha$ comme étant la somme, pour $A$ parcourant $T_k$, des $C(A)\cdot \alpha(A)$.

Maintenant, si $k \in \{0,1\}$, si $\alpha$ est une $k$-forme différentielle, on définit $d\alpha$ comme étant la $k+1$-forme différentielle définie comme suit : sur tout élément $A$ de $T_{k+1}$, $d\alpha(A) := \int_{bord(A)} \alpha$.

Grâce à cette définition, la formule de Stokes est évidente (ou fausse si je me suis trompé

) !

Exo : Essayer de donner un sens géométrique/physique (ou ce qu'on veut) à l'application $\alpha \mapsto d\alpha$.

Exo : Essayer de comparer avec la "vraie" formule de Stokes.

christophe c · July 2019

Merci. C'est surtout l'augmentation de dimension que j'aimerais "ressentir à donf" quand on passe de w à dw.

Dans Stokes => Brouwer ca joue un rôle essentiel !!!

Or je voudrais faire une preuve qui est Stokes => Brouwer ce que ma preuve sans déterminant des liaisons ded lignes quand trop de lignes est à Déterminant => lui

christophe c · July 2019

Ca y est j'ai trouvé une preuve "epsilonesque" de Brouwer, donc je vais aller vers un nettoyage.

Quelques questions sur un de mes posts précédents où je parle de minimiser les $x\mapsto \sum_i |x-a_i|^p$ avec les biens connus médiane (pour $p=1$, qui ne focalise que sur les indices), moyenne (pour $p=2$, qui fait un subtil mélange et semble de loin l'indicateur préféré de tous), les trucs qui ne porte pas de noms (pour $p\notin \{1;2\}$), et la peu usitée "milieu des extrêmes" pour $p=\infty$).

Avec Brouwer on ne disposait (avant ma preuve du jour :-D ) que de preuves inspirées, "exotiques", l'une exploitant $p=2$ (via Stokes) étant celle préférée des pros (on compte un nombre de tours qui est un nombre entier), mais faire des intégrales, c'est calculer des espérances, donc être dans le $p=2$.

Avec Stone-Weirstrass, on dispose de deux preuves célèbres:

-l'une avec (l'état d'esprit)) $p=1$, qui prend des min et des max de fonctions affines, fabriquant ainsi essentiellement une fonction dite "affine par morceaux",

-d'une preuve à jeter à la poubelle, historique, ou le gars approxime min,max en approximant $x\mapsto |x|$ par des polynômes salement et avec une bite et un couteau

-et enfin d'une preuve (je ne sais pas si elle est plus récente) "correcte" éthiquement qui prend le parti de plonger à donf dans $p=2$, calcule des espérances de manière assumée et approxime, certes en $L^\infty$ en conclusion, mais avec un esprit $p=2$ (ie $L^2$), "Bernstein"

J'aimerais, si quelqu'un a une idée, tracer un continuum connexe entre la preuve $p=1$ et la preuve $p=2$ de Stone W, donc entre autre, plutôt qu'approximer à la force du poignet $x\mapsto |x|$ avec des polynômes, alle "plus naturellement" de la "médiane" vers la "moyenne" afin de "prouver" que partant de la preuve "p=1" de SW, on arrive "naturellement" à la preuve "p=2" de Bernstein du théorème SW?

christophe c · July 2019

Idem (même esprit de questionnement) en ce qui concerne les différents "centres" des convexes.

Dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1837908,1837908#msg-1837908 je signale le "centre $L^\infty$" d'un convexe, par ailleurs tout le monde connait le centre $L^2$ (de gravité). On imagine "à peu près" ce qu'on attend du centre $L^1$, mais je ne sais même pas s'il existe. Par ailleurs, y a-t-il continuité (une fois défini, je ne l'ai pas fait) de $p\mapsto $ centre $L^p$ du convexe $C$?

Maxtimax · July 2019

Ma preuve préférée de Brouwer (qui est la preuve préférée de toutes les personnes que je côtoie) n'apparaît pas dans celles que tu décris :-D enfin elle est liée à Stokes (in fine on compte aussi des tours) mais n'appelle pas de géométrie. Mais bon comme c'est de la topo algébrique tu n'aimes pas ;-)

christophe c · July 2019

Mais si, je l'ai signalée (relis tu vas voir, c'est même celle que j'appelle "Stokes", car elles sont proches, sauf que la tienne n'utilise pas les connaissances "tiré en arrière" , $\int F(dw) = \int dF(w)$... (connaissances que je n'ai pas), mais je soupçonne que ce sont essentiellement les deux mêmes preuves, sauf que le mot "nombre de tours" n'est pas prononcé dans Stokes.

De toute façon, j'ai une preuve qui va détrôner bien comme il faut toutes celles-ci :-D mais je la taperai seulement dans quelques jours.

christophe c · July 2019

Pour les lecteurs, je précise de quoi il s'agit (preuves évoquées):

Soit $B$ une boule fermée de centre $E$ et rayon $1$ et $f$ une fonction sans point fixe de $B\to B$. Lorsqu'on fait parcourir le bord de $B$, ou une autre sphère centrée en $E$ sphère (disons $S_r$) à $x$, la petite flèche $\overrightarrow xf(x)$ bouge. On prend un autre représentant du même vecteur et je le normalise je note $\overrightarrow Ag(x)$. Comme $A$ ne bouge pas, si on met de la peinture au bout de la flèche (en $g(x)$), on va peindre un mur (précisémment la sphère de contre $A$ et de rayon $1$).

La mesure algébrique de cette quanitité de peinture est un nombre entier (fois une unité fixe bien choisie), mai sil y a une difficulté "d'orientation", car quand la flèche revient en arrière, il faut compter ça en négatif, etc, on somme donc non pas des nombres mais des "vecteurs". C'est là que l'excellence académique de maxtimax et des pros sont absolument indispensables.

Maintenant si $r=0$, il est évident que ce nombre entier $=:h(r)$vaut $0$ et si $r=1$ qu'il n'est pas nul. En outre on a continuité de $h$, donc contradiction.En dim 2, c'est "populaire" (on compte la quantitié de PQ déroulée).

Maxtimax · July 2019

Oui j'ai fait remarquer qu'elles étaient liées, mais celle par homotopie (ou homologie) requiert beaucoup moins de travail que celle par Stokes.
Ce sont effectivement les mêmes preuves au sens où l'intégrale d'une $1$-forme est l'élément non trivial de $H^1(S^1)$ (bon, cohomologie de de Rham = cohomologie singulière je le passe sous le tapis mais bon...)
Je ne pense pas que ta preuve puisse détrôner celle par groupe fondamental, qui est super agréable, et instructive pour le reste de la topo algébrique. + il ne faut pas oublier que "élémentaire" ne veut pas dire simple (cf théorème des nombres premiers), surtout si c'est epsilonesque puisque les preuves epsilonesques c'est globalement très laid.

christophe c · July 2019

Oui bien sûr, mon objectif est de "déplier" l'aspect probant, en particulier en vue d'un exécution dans le cadre de la CorCuHo. Les preuves d'avant ne le permettent pas facilement (pour pratiquer l'euphémisme), elles ressemblent à des tours de magie.

D'ailleurs, le fait d'avoir trouvé cette preuve m'a fourni des intuitions que certaines choses que "monsieur tout le monde" constate tous les jours et qui ne sont toujours pas mis en théorèmes de maths seront bien un jour des théorèmes, mais ça paraissat "tellement trop frustre" à affirmer que si ça se trouve, on n'a pas cherché de contre-exemples tout en pensant qu'il y en avait probablement plein.

Pour le dire autrement: Brouwer ou le TVI c'est "essentiellement" la même chose, avec juste un jonglage epsilonesque bien plus chiant et lourdingue à vérifier en dims supérieures.

Autrement dit, j'ai contredit Anatole :-D :-D : il existe bien une preuve "vide" de Brouwer. De toute façon, tu me donneras ton avis en la voyant...

Maxtimax · July 2019

Oui on verra, ça ne sert à rien d'en discuter sans la voir :-D

christophe c · July 2019

De mon téléphone: autre remarque: ça donne Borsuk Ulam sans rien ajouter or j'ai lu quelque part que les ingrédients homotopiques ne présentent pas les preuves comme si proches.

christophe c · July 2019

Pour les visiteurs, je pense que max (il confirmera ou pas) évoquait la preuve qui suit, sur laquelle j'ai eu la chance de tomber par hasard.

Alors comme l'auteur saute peu de lignes, et remet tout en pack, je conseille d'utiliser le zoom et je signale qu'il n'y a rien d'autre à lire que le point4 qui fait 7 lignes qui est "l'habituel tour de magie" qui ne se CorCuHowardise pas facilement, enfin à ma connaissance.

http://benjamin.dadoun.free.fr/point-fixe-brouwer.pdf

TOUTES les autres preuves possèdent au moins un défaut similaire (ou bien elles sont intuitives, mais infligent de grandes difficultés expressionnelles (simplexes, Sperner, etc) et donnent l'impression de faire un tour de magie, ou à tout le moins d'être plus ed la forme $n\apsto $ preuve que c'est vrai en dim $n$, plutôt que preuve que c'est vrai $\forall n$; ou bien elles reposent sur des lemmes discrets expressionnellement cash et formels, dont les preuves sont complexes)

L'avantage de celle de BD est qu'il n'y a pas de "Stokes" dedans.

Maxtimax · July 2019

Non c'est pas à cette preuve que je pensais :-S enfin je ne vais pas me casser la tête à essayer de voir si "au fond c'est pas la même" mais ça a l'air franchement différent puisque la preuve à laquelle je pense n'utilise aucune différentiabilité de quoi-que-ce-soit (ce ne serait pas ma préférée si c'était le cas :-D)
Enfin c'est le même schéma de preuve : on montre qu'il n'y a pas de rétraction, puis une non-Brouwer induit une rétraction, contradiction; seulement on montre le lemme pour les fonctions $C^0$ directement (ce qui facilite la construction de la rétraction) et en disant simplement que $\pi_1(S^1) $ est non nul.

christophe c · July 2019

Oui pardon ici pas de "nombres de Tours" de mon iPhone

En fait on oublie souvent enfin me semble t il que c'est la dim n quelconque qui est important. Les dim 1 et 2 étant essentiellement triviales.

C'est pourquoi je reste assez morose face aux évocations des groupes d'homotopie puisque ce sont les n iemes qui jouent. Qu'on ait découvert les groupes est une bonne chose mais paraît que c'est "trop dur".

Dans la preuve en lien "tout va bien", mais l'exécuter reste coton. Les autres ne sont tout simplement pas humainement exécutables.

Maxtimax · July 2019

Oui pardon je voulais dire $\pi_n(S^n)$, ça ne change pas grand chose à l'argumentaire (:P). Sinon si c'est trop dur de prouver ça tu peux faire la même chose avec $H_n(S^n)$, qui est très facile à calculer (et du coup je ne comprends pas ta morosité : autant effectivement $\pi_n$ est difficile à calculer, autant $H_n$ est vraiment facile, rien qu'à partir des axiomes d'Eilenberg-Steenrod; et je pense même que ça peut se faire sans prouver tous les résultats durs sur l'homologie - qui passent par l'opérateur prisme etc. - , via de la cohomologie de faisceaux (puisqu'ici on a une rétraction pure et dure, ça devrait le faire; j'ai pas vérifié) )

christophe c · July 2019

De mon téléphone de Tout façon je n'y connais rien ni en homologie ni en homotopie. Je respecte ces outils mais suis trop agé pour tenter de les acquérir frontalement. De plus sans leur utilité pour prouver Brouwer et autres résultats de top alg il seraient restés relativement anecdotiques en ce sens qu'ils ne "s'exécutent pas".

Disons qu'en pratique ils répondent plus qu'ils ne prouvent. Anatole me dit que ce sont des cas particuliers de degrés ludiques (ma théorie) et je veux bien le croire (il m' a décrit les degrés correspondant aux espaces et courbures) mais le nombre de caractères pour les définir sont incomparables.

La preuve en lien est exécutable sans aller jusqu'au infiniment petits en approxiamnt avec affines par morceaux ce qui est déjà ENORME.

Maxtimax · July 2019

"et autres résultats de topo alg" : beeh il s'agit d'outils qui concernent essentiellement la topo alg. (pour le groupe fondamental) alors tu m'étonnes que sans topo alg ils auraient eu du mal à se faire accepter...:-D
Bon en fait pour l'homologie, c'est pas vrai du tout en réalité puisque l'homologie (en fait la cohomologie) est vachement utilisée en géométrie algébrique (et donc en arithmétique) et différentielle (/symplectique et autres variations); et une notion de groupe fondamental étale (donc en géométrie algébrique) a été développée : la $\mathbb A^1$-homotopy theory est en vogue; même si effectivement l'homologie est née de questions topologiques (Poincaré, Noether)

Héhéhé · July 2019

Tu as une façon de parler de certaines branches des maths avec tellement de dédain CC je ne sais pas si tu t'en rends compte...

christophe c · July 2019

@hehehe non je ne m'en rends pas compte et surtout il n'y a strictement aucun dedain chez moi. Ou bien c'est dans ta tête ou bien je suis maladroit.

Je suis à l'opposé fasciné par le développement d'outils leur DECOUVERTE déjà et leur manière de produire du théorème à la façon dont telle plante guérit en biologie ou dont tel matériau trouvé au fin fond du Pacifique s'avère incassable en physique.

Mais MA position (que je n'impose pas aux autres) à un âge qui flirte un peu avec la retraite c'est de voir comment transformer ça en évidences généralisantes (tout théorème est un cas particulier d'evidence) d'où pour communiquer et aider à ce qu'on m'aide je dois bien faire des commentaires qui tentent d'indiquer la distance entre mon but et ce qu'on me propose. De mon téléphone

Héhéhé · July 2019

Je pense vraiment que tu ne te rends pas compte. Quand tu écris des phrases comme "je n'y connais rien ni en homologie ni en homotopie [...] De plus sans leur utilité pour prouver Brouwer et autres résultats de top alg il seraient restés relativement anecdotiques", c'est vraiment dédaigneux pour l'homologie/homotopie, qui sont des outils centraux dans bien des branches des maths.

christophe c · July 2019

Merci d'avoir été un peu plus précis sur la citation. Je vais m'expliquer de manière très précise:

1/ Tu n'es probablement pas sans savoir que je suis assez vigilant sur les trivialités prouvées avec des outils savants. Mais "vigilant" ne veut pas dire "dédaigneux". C'est une vocation (de retraite) chez moi, et non une position de jugement de valeur. J'en ai fait un des buts intellectuels de ma vie de partir à la poursuite des suites finies

$$ A:= E_1\to (E_2\to (\dots (E_n\to P))\dot )\ (***)$$

tels que tous les $E_i$ sont des axiomes et $A$ aussi (ce qui donne $P$ comme étant un théorème de maths) pour la simple et bonne raison que ça couvre toute la science (dans le sens que tout théorème de maths, donc de science, a cette propriété de pouvoir se manifester comme rendu cas particulier d'évidence sous la forme (***)

2/ En outre, je ne vais pas te faire un dessin, tu n'as peut-être pas suivi, mais on a des dizaines, voire des centaines de posts (tout à fait corrects et érudits, là n'est pas la question) par an, si ce n'est pas trimestre, sur le forum, qui démontre des choses triviales avec des "bombes atomiques".

3/ Il m'arrive (quand je peux, m'en rends compte ET n'ai pas la flemme) de le signaler avec un sketch preuve à l'appui, mais ce n'est pas du tout le problème.

4/ Tout ça pour dire que ce n'est pas un JUGEMENT que je porte, mais une POSITION sentimentale (non dénuée de fondement, mais pas spécialement "ultra importante" non plus) que je maintiens VOLONTAIREMENT (comme une personne fait des mouvements, court un peu, etc, pour maintenir les muscles chauds avant de jouer un match de Tennis).

5/ IL n'y a strictement aucun dédain là dedans et effectivement, si c'est mal pris, bin, j'en suis un peu désolé, mais en même temps, j'ai tellement fini par m'habituer à ce que les gens ont la vanité à fleur de peau et peuvent te poursuivre 10 ans, voire 20 ans, juste parce que tu les as involontairement vexés une fois que j'ai renoncé à réellement chercher à comprendre. J'aurais bien aimé comprendre mais je n'ai jamais réussi à "me mettre à leur place".

5.1/ Il y a quelques jours, un couple de personnes agées stylé "catho, je veux le salut de mon âme" me voyant manger assis sur des marches** de batiment m'ont demandé si j'avais besoin de quelque chose, etc, etc, bref, j'ai dû attendre qu'ils aient fini de parler pour leur expliquer que je n'étais pas un clodo.

5.2/ Idem, assez régulièrement on me met une pièce dans ma tasse de café en carton quand je fume dehors (ce qui me bousille mon café), parce qu'on croit que je suis en train de la tendre pour qu'elle reçoive des pièces.

5.3/ Un jour, une étudiante m'a même apporté un sandwich qu'elle venait d'acheter exprès en me disant "tenez Monsieur, c'est pour vous" alors que j'étais ASSIS banalement dans un mc do.

5.4/ Et bien toutes ses personnes, je les ai accueillies et je les accueille avec tendresse et bonhomie. Je suis conscient qu'avec mon nouveau gros ventre de quinqua et ma tendance à bien aimer être bronzé, je tape plus dans les apparences de rom/SDF/migrant/clodo, et alors?

6/ Je ne comprends pas pourquoi les gens perçoivent continuellement les choses sous l'angle "valorisant/dévalorisant").

7/ J'en viens aux Brouwereries: je me suis bien des fois expliqué là dessus. Si $f$ va de $B$ dans sa frontière $S$ en étant l'identité sur $S$ alors les images directes des $x\mapsto tx+(1-t)f(x)$ vont être un file d'espace continue, avec des extrémités très différentes et les "homo-trucs" ont réussi à interdire que ça existe, d'où Brouwer.

8/ La preuve que j'ai mise en lien est bien plus efficace car ne crée pas un nouveau concept.

9/ Jamais je n'ai dit que ces outils ne sont pas beaux, simples, ou que les gens qui les ont découverts sont faibles. Jamais!!! Je ne le pense même pas à 0.00000001%

10/ J'évoquais juste le fait qu'ils DOIVENT leur popularité aux Brouwereries, dont je rappelle qu'on n'en a toujours pas trouvé de "bonne preuve" et que c'est un problème ouvert de savoir s'il en existe ou non.

11/ Rien de dédaigneux là dedans, je pense vraiment ça en profondeur et ça ne fait pas de moi quelqu'un qui "prend de haut" ces activités mathématiques.

12/ Ce que je dis, c'est qu'elles ont une nature physique qui rend difficile le dépliage pour identifier les (***) des Brouwer-Borsuk-Ulam phénomènes. En outre, on oublie souvent de rappeler qu'elles sont un peu bouclantes, à savoir qu'il est aussi difficile de justifier leur fonctionnement que de prouver Brouwer lui-même.

Il y aurait beaucoup à ajouter, mais je ne veux pas faire trop long. En gros, Brouwer-B-U-etc qui est un Peano phénomène est pour l'heure prouvé à coup de Z^2 (ie Peano second ordre), pour parler grossièrement et ce n'est pas une situation satisfaisante (pour moi, les autres sont libres). En quoi est-ce dédaigneux d'avoir ses sentiments, en quoi les gens qui auraient dit que sans Fermat, les outils arithmético-geo-alg auraient eu moins de publicité, etc, est dédaigneux?

** notre inimitable gauchiste Hidalgo (je précise maire de Paris) a décidé de faire la guerre à tous les SDF, migrants, etc, donc supprime toute possibilité de faire aurte chose, dans les rues que d'y marcher rapidement pour se rendre d'un point à un autre, mais plus question de s'assoir (idem dans le métro).

christophe c · July 2019

Toujours à héhéhé:

je te rappelle que je suis profondément dyscalculique et que si j'étais dédaigneux, je n'étalerais pas d'une part mon inculture sur le forum, d'autre part mon handicap. Ce n'est pas très compatible. Je pense que tu auras remarqué que je suis le seul intervenant qui n'hésite jamais à se ridiculiser ni à se faire expliquer des choses simples. En outre, comme je ne fais rien par écrit, j'ai étalé ma contemplation incrédule du déterminant (dont je n'ai toujours pas compris les ressorts profonds et la puissance**) sur de nombreux fils. Les gens dédaigneux, je les imagine mal faire ça.

Je n'ai même pas besoin de te chercher des exemples dans les passé, rien que ces derniers jours, j'ai dû posté dans L1L2 des arguments triviaux pour "démythifier" auprès des (éventuels) lecteurs des choses triviales annoncées de manière savantes par des gens qui le font pas parfois involontairement mais qui pour certaines autres personnes, on peut soupçonner qu'elles compliquent VOLONTAIREMENT les choses pour montrer "je ne sais pas quoi" d'elles.

Je ne le fais pas pour embêter les gens, mais dans un esprit positif, en souhaitant faire profiter tous de ma faiblesse et DONC de l'angle de vue qu'elle m'oblige à adopter. Comme un daltonien expliquerait dans un café à des amis l'effet que lui fait le rouge (qu'il ne voit pas, donc voit en noir).

[small]** j'en profite pour raconter le preuve de Brouwer de manière sketchée, mais digérable, car étonnamment, l'étudiant qui l'a publiée l'a fait probablement pour lui en la mettant sur un support que google m'a renvoyé, mais pas pour "faciliter" la tâche des lecteurs "détendus" qui ne passent pas d'examen. La raison est que le rôle joué par le déterminant n'est pas très importante

Si $f:B\to S$ est continue (identité sur $S$) (suffisamment dérivable(?)) $B$ une boule et $S$ sa sphère frontière, il est:

1/ routinier de voir que si $t$ est petit $L_t:=[x\mapsto tf(x) + (1-t)x]$ est une BIJECTION

2/ On considère maintenant que la boule est une ville partitionnée en immeuble qui sont tous de hauteur $1$.

3/ Il y a deux manières de calculer le volume de cette ville.

3.1/ on peut sommer $x\mapsto Base(x)\times Hauteur(x)$, quand $x$ parcourt les immeubles.
3.2/ on peut sommer $x\mapsto Base(g(x))\times Hauteur(g(x))$, quand $x$ parcourt les immeubles et $g$ bijective.

4/ Mais attention, il ne faut pas sommer $x\mapsto Base(x)\times Hauteur(g(x))$!! C'est la vocation et la difficulté du calcul intégral.

5/ La formule (3.2) se réécrit comme la somme de

$$x\mapsto \frac{Base(g(x))}{Base(x)} \times Base(x) \times Hauteur(g(x))$$

6/ Et en abrégeant $Jac_g(x) := \frac{Base(g(x))}{Base(x)} $, on obtient

$$x\mapsto Jac_g(x) \times Base(x) \times Hauteur(g(x)) = x\mapsto Jac_g(x) \times Base(x) \times 1$$

7/ L'étudiant signale alors un apport essentiel:

$$r:=(t\mapsto Somme([x\mapsto (Jac_{L_t}(x) \times Base(x) \times 1] )$$

est de la forme $\forall t: r(t) = P(t)$ pour un polynôme bien choisi sur $[0,1]$ et .. constant sur un petit intervalle $[0,e]$, avec $e>0$, donc constant tout court. Le fait que ce soit un polynôme ne nécessite pas de connaitre le déterminant

8/ Le fait que $r(1)=0$ et que $r(0)=$ contenance totale de la ville conduit donc à une contradiction limite.[/small]

Héhéhé · July 2019

Non mais CC pas la peine de me sortir un gros paragraphe de justification, je sais très bien qu'au fond tu ne le penses pas. Je te mets juste en garde sur la forme de certains de tes messages qui paraissent très dédaigneux, c'est tout, et qui à mon avis pollue ton discours et le rende moins audible.

christophe c · July 2019

Je suis tombé sur ce récit concernant les formes différentielles qui me semble plutôt informant. En particulier on y trouve "enfin" une définition motivée de $d$

https://www-liphy.ujf-grenoble.fr/pagesperso/bahram/Math/chap_FormeDif.pdf

rebellin · July 2019

Je n'ai pas compris la plupart des choses écrites dans les messages qui précèdent, mais je me permets de ramener ma fraise (cette attitude prouve que je suis français).

La preuve "magique" du théorème de Brouwer mentionnée dans ce post est due à John Milnor. Il y a un article de vulgarisation à ce sujet sur le site image des maths. Le professeur que j'ai eu en préparation à l'agrégation nous en avait donné une version assez épurée.

Par ailleurs j'ai déjà vu une vidéo avec une preuve du lemme de Sperner extrêmement simple... mais je n'arrive plus à la retrouver (de mémoire c'était une dame qui présentait la preuve, et ça ressemblait à ce que l'on trouve sur la page youtube du Centre Henri Lebesgue).

christophe c · July 2019

De mon téléphone un grand merci à toi pour ces liens. Je vais les regarder soigneusement d'un PC

christophe c · July 2019

Dans le lien que Rebellin a mis vers IDM, il y a un lien vers l'article de Milnor suivant: https://people.ucsc.edu/~lewis/Math208/hairyball.pdf

qui est une écriture publiée officielle de l'argument déjà présenté ci-dessus.

Avant de cliquer, enfin de lire, vu titre et abstract, j'espérais trouver une discussion "logique" de l'argument, mais je prévisn qu'il n'y en a pas. Il y a présente la considération de "fascination" qu'exerce cet argument: un polynôme constant sur une petit intervalle ouvert non vide est constant partout, et ça trivialise Brouwer.

Toujours est-il que ça donne quand-même une prise pour tenter de déplier car la preuve du fait en italique est tout de même un terme assez simple à exécuter.

J'ai hâte de le faire et je crois que je vais emmener mon PC en haut des Pyrénées :-D

christophe c · July 2019

Pour que d'éventuels lecteurs (j'imagine ce que je dirais face à ces rédactions si je n'en connaissais pas le contenu) ne se découragent pas, je conseille de ne lire que le passage important (le reste est trivial) et dû à Picard :

Je redécris la proportion des importances de l'argument:

1/ Ne s'occuper que d'une application $C^1$ $f$ d'une boule dans sa sphère frontière (garder le WLOG à ça pour plus tard, c'est sans profondeur)

2/ Admettre sans lire que pour $t$ proche de $0$, $tf+(1-t)f$ est bijective, avec sa dérivée bijective ne chaque point. C'est juste du Picard bateau et les auteurs prennent énormément de temps à détailler ce point trivial par respect des standard de publications

3/ Ingérer en masticotant bien et savourant la partie sur le volume.

christophe c · July 2019

J'oublie à chaque fois de dire qu'il y a une amélioration, ou à tout le moins une mise au propre très pure par Antoine Chambert Loir de cette famille d'argument, qui est le théorème suivant:

Théorème de Chambert Loir: soit $n$ un entier et $g:\R^n\to \R^n$ qui est $C^1$. Soit $f$ continue $\R^n\to \R$
Hypothèse: $\exists a\in \R\forall x\in \R^n : ||x||\geq a\to g(x)=x$

Alors, on a la formule qui déchire tout suivante:

$$ \int_{\R^n} f(g(x)) det(Dg(x)) dx = \int_{\R^n} f(x)dx$$

dont on déduit trivialement Brouwer. (Ce théorème oblige $g$, sans l'avoir supposé, à être surjective, sinon prendre $f$ d'image disjointe de celle de $g$)

Ce qui est bien ici, c'est que pas de demande du style "difféomorphismes", injectivité, etc.

christophe c · July 2019

1/ Je vous répercute un exo amusant suggéré par Anatole qui est parait-il facile: (IEFD)

Hypothèse: un pavage d'un rectangle R en rectangles ayant tous au moins un côté de longueur entière.
Conclusion: l'un des côté de R a une longueur entière.

Il déclare que c'est très proche de Brouwer en termes de recherches de preuves

2/ L'exo qui suit je l'ai croisé je ne sais plus où, mais il est aussi réputé "pas très difficile" quand on sait que c'est de la Brouwer-technique. (IEFD)

Il n'est pas possible de partitionner un parallélogramme en un nombre impair de triangles tous de même aire.

3/ Anatole me suggère la chose suivante: plutôt qu'avoir recours à l'argument des polynômes constant dans Brouwer ou Chambert Loir, et ce afin d'élminer cette coupure un peu délicate, il me suggère de tout bêtement dériver le volume par rapport à $t$ et constater que c'est nul , donc induisant constance (sans parler de polynômes). C'est du calcul.... donc pas pour moi. Quelqu'un trouve que c'est évident que la dérivée est nulle?

4/ La théorie de la mesure (ou du comptage, on peut le faire sans intégrale, juste en ANS avec des ensembles finis) donne Brouwer. Hélas, il y a des nombres et des calculs. Un de mes projets estivaux est de voir si on peut plagier l'argument "mesure" pour obtenir un argument "Baire". En effet, dans la plupart des cas (quand c'est proche du finitisme), on peut. Et dans Baire pas de calcul. Mais si quelqu'un connait des gens qui l'ont déjà fait, ça m'arrangerait

Maxtimax · July 2019

On peut généraliser l'exo 1 en remplaçant "entier" par "dans $G\cap \R_+$, où $G$ est un sous-groupe additif de $\R$ " (trouvé par un ami). Les preuves analytiques ne permettent pas de voir ça

Georges Abitbol · July 2019

On m'a donné une solution très jolie et très rigolote de ton premier exo (je ne l'aurais jamais trouvée tout seul). A priori, je suppose que les rectangles ont tous des côtés parallèles aux axes, mais ça marche peut-être pour n'importe quelle sorte de rectangles. Surligner, comme d'habitude.

Considérons la fonction $f : (x,y) \mapsto e^{i2\pi(x+y)}$. Disons qu'un rectangle est $P$ s'il a un côté entier. Alors il est très facile de démontrer qu'un rectangle $R$ a $P$ si et seulement si l'intégrale de $f$ sur $R$ est nulle (utiliser Fubini).
Maintenant, soit un rectangle $R$ partitionné en rectangles qui ont $P$. Alors, comme l'intégrale est additive sur les partitions, l'intégrale de $f$ sur le rectangle $R$ est nulle, puisque son intégrale sur chacun des morceaux de la partition est nulle. Et donc, $R$ a $P$.

christophe c · July 2019

Bravo et merci Georges. De mon téléphone. Je sélectionnerai d'un pc

christophe c · August 2019

Actualités montagnardes : évidemment réfléchir au principe logique non découvert (u e récurrence spéciale ou autre) qui met Brouwer, Jordan, etc dans les cas particuliers est adapté à la vue inouïe de mon lieu de vacances.

Quelques points:

La plupart du temps un item en dimension n+1 entraîne tous les autres en dim n.

Plus rigolo: un contre exemple à Brouwer entraine retournement possible de l'hypersphere SANS LE DROIT "usuel" que les parois se passent à travers. Autrement dit :

Non Brouwer implique on peut faire sortir l'eau d'un ballon sans le trouer ni le plier ou faire de toucher des points différents de paroi.

En bref les banques doivent à Brouwer l'existence de coffres, de sacs à main etc.

Vocabulaire demande aide diff et intégrales

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