Comité Fields (suite dans les idées)

J'ai réalisé hier, en ouvrant un fil de demande d'aide en base de calcul intégral et différentiel, une forme apparente (mais je n'ai comme échantillon que 3 médaillés) de cohérence et de maxime suivie par le comité Field.

- Je m'étais toujours demandé pourquoi L.Schwartz avait reçu la MF pour le truc d'apparence triviale qu'il avait inventé.

- Je ne connais pas les travaux de Grothendieck, mais idem, aucun non exprert ne connaitre ses découvertes.

- La MF probablement la plus "légendaire", celle de Paul Cohen, au moins je la connais, et surtout je connais la découverte en détails.

Mais en fait: je crois faire un constat très simple: je prends un domaine que je connais, la théorie descriptive. On sait depuis longtemps qu'on peut retirer un petit ensemble (aussi petit qu'on veut en mesure de Lebesgue) à l'ensemble de définition d'une fonction QUELCONQUE* pour en faire une fonction CONTINUE. Ce n'est pas très dur, il suffit de retirer, pour chaque couple de rationnel $(r,s)$ un petit ensemble en dehors duquel $\{x\mid f(x)\in r,s][\}$ est ouvert

Idem avec maigre: là c'est même encore plus spectaculaire: toute fonction est continue à condition qu'on lui retire un maigre bien choisi de son domaine

Ok, ok. Mais au fond qu'a découvert Schwartz et qu'est-il allé chercher pour ça?

Et bé, la capacité d'approximer une fonction QUELCONQUE non pas par des fonctions continues, mais pas des fonctions $C^\infty$. Et pour ça, il utilise les fameuses $C^\infty$ à bosse et support compact aussi petit que l'on veut dont "dieu" nous a fait cadeau et qui ne seront JAMAIS de la vie des fonctions analytiques.

Demander à un théoricien descriptif de vous prouver au pied lever que toute fonction est approximable par un $C^\infty$, je peux vous dire qu'il ne trouvera pas vite (et il essaera des $n$ dérivables avec n de plus en plus grand avec bite et couteau et il geindra). Evidemment pour ça, il faut une baguette magique qui lui fait oublier ses cours d'analyse hors-logique, puisque évidemment les gens de cette spécialité connaissent leur classique.

Et avec ça, Schwartz prouve un truc de la forme suivante:

1/ Si javais une fonction continue $E$ tel que blabla alors j'aurais $T$
2/ Hélas je n'ai pas de fonction $f$ tel que blabla
3/ Mais je vous présente un succédané de fonction continue $f$ tel que blabla
4/ Et avec ça, je suis encore capable de vous prouver T


Qu'a fait Grothendieck selon les rumeurs robustes qui l'entourent. Et bien la même chose:

1/ Si javais un espace topologique $E$ tel que blabla alors j'aurais $T$
2/ Hélas je n'ai pas de tel $E$ tel que blabla
3/ Mais je vous présente un succédané de $E$ tel que blabla
4/ Et avec ça, je suis encore capable de vous prouver T


Qu'a fait Cohen? Et bien la même chose:

1/ Si javais un élément $x$ de $\{0;1\}(=:\{vrai; faux\})$ tel que blabla alors j'aurais $T$
2/ Hélas je n'ai pas de tel $x$ tel que blabla
3/ Mais je vous présente un succédané de $x$ tel que blabla
4/ Et avec ça, je suis encore capable de vous prouver T


En conséquence de quoi, je souheterais connaitre ce qu'ont fait les autres MF (en dehors des habituels problem-solver, eux aussi récompensés). Si quelqu'un qui sait ou peut leur écrire pour leur poser la question (une réponse de 20 lignes me suffit), je vous en remercierais d'avance.

[small]* sauf si construite avec AC et je fais exprès la provoc d'utiliser le mot quelconque, puisque sans AC, on peut taffer avec "tout est mesurable".[/small]