Une définition des réels

Bonjour,
il est usuel de définir les réels par complétion des rationnels, développement en base $n$ ou coupures de Dedekind. Je propose une définition des réels par les fractions continuées. On définit sur les suites d'entiers relatifs $(a_i)$ une addition et une multiplication par troncature de fractions continuées à coefficients la suite d'entiers :
$$
x= a_0 +1/(a_1+1/(a_2 + ...
$$
on somme et on multiplie les fractions tronquées qui sont des rationnels, ce qui donne de nouvelles suites d'entiers naturels représentant le résultat de l'opération. Et de même pour la soustraction et la division.
Merci,
CFGauss
PS: aussi pour les $p$-adiques, on peut faire de même.