L'égalité, prédicat primordial : vraiment ?

Adrien_
Adrien_
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Minimaliste comme je suis, je me demande pourquoi l'égalité est souvent (tout le temps ?) présentée comme un prédicat primordial plutôt que dérivé : n'est-il pas plus simple de définir l'égalité au lieu d'en plus lui rajouter un axiome ?
Par exemple, dans $ZFC$, on pourrait définir l'égalité par extensionnalité (qui ne serait alors plus un axiome), tout en gardant le schéma de Leibniz (sans cette nouvelle notation, cela donne : pour chaque prédicat unaire $P$, on a l'axiome $\forall x,\ \forall y,\ [\forall z,\ z \in x \leftrightarrow z \in y] \rightarrow [P(x) \leftrightarrow P(y)]$ ).

Merci d'avance ! ^^

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Bah si tu fais ça rien ne t'assure que tes modèles interpréteront l'égalité comme égalité. C'est une coquetterie, certes, mais elle est agréable.*
    + elle permet de ne pas se taper une infinité d'axiomes pour chaque théorie (enfin elle les encapsule en un coup, mais uniformément), ce qui permet de faire des distinctions du type "finiment axiomatisable" (ça cache l'infinité d'axiomes de l'égalité, certes, mais comme ils sont uniformes ça marche)

    + il y a des indiscernables qui ne sont pas égaux si tu enlèves le prédicat d'égalité (dans le langage des groupes par exemple; $(1,0),(0,1)$ et $(1,1)$ sont indiscernables dans $(\Z/2\Z)^2$ si tu n'as pas l'égalité - enfin d'ailleurs maintenant que j'y pense dans le langage des groupes sans l'égalité, il n'y a pas de formules et ça c'est un peu triste)
  • Foys
    Foys
    Il est possible de virer le symbole d'égalité de ZF et de remplacer l'axiome d'extensionnalité par
    $$\forall x \forall y \left [(\forall z, z \in x \leftrightarrow z \in y) \leftrightarrow (\forall t, x \in t \leftrightarrow y \in t)\right ]$$
    Ensuite, pour voir qu'on retombe sur ses pieds, on peut définir étant données des lettres $a,b$, $"a \equiv b"$ comme étant une abréviation de la formule $\forall x, a \in x \leftrightarrow b \in x$ et montrer par induction sur sa taille, que pour toute formule $R$ du langage de la théorie des ensembles et toute lettre $\theta$, on a $a\equiv b \to \left (R[\theta :=a] \leftrightarrow R[\theta :=b] \right)$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Adrien_
    Adrien_
    Merci pour vos réponses.

    @Maxtimax Il faut vraiment que je me mette à étudier cette théorie des modèles !
    En fait je pensais surtout à $ZFC$, mais c'est vrai qu'en théorie des groupes, sans égalité, on est un peu mal.

    @Foys Ah, je ne connaissais pas cet axiome alternatif ! Il faut aussi que je me familiarise avec les inductions transfinies.
  • christophe c
    christophe c
    Précision de mon téléphone:

    << u=v>> est juste une abréviation de "pour tout x: si u dans x alors v dans x"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Ah adrien si si tu le sais "en toi". Tu distingues u de v par telle ou telle chose qui arrive à u sans arriver à v. C'est juste une remontée à la conscience que superficiellement tu n'effectue pas.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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