Déterminant

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
Je sais que je suis saoulant avec cette obsession qui semble aigue, mais bon, tant que le serveur du forum a de la mémoire, j'espère que ce n'est pas trop couteux :-D

Est-il humainenement évident que $\phi(A) = \phi(^tA)$?

où je précise bien que $\phi$ c'est en fait $det$, mais je souhaite dans ce fil vivre dans un monde où personne ne connait $det$ et où $\phi$ est défini comme le volume blabla.

On a, en effet, une preuve "toute douce" que $det=volume$ qui hélas passe par admettre ça.

En langue avachie: est-il humainement facile de voir que la transposée a le même effet sur les volumes?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • Cyrano
    Cyrano
    Cela résulte simplement du fait qu'une permutation et sa permutation inverse ont la même signature et de ce que $\mathcal{S}_n \to \mathcal{S}_n, \nu \mapsto \nu^{-1}$ est une bijection.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Peut-être via l'isomorphisme $\R^n \to (\R^n)^*$ (qui est "canonique" puisqu'on a la base canonique) qui se traduit sur les matrices par la transposée ?

    En gros si $A:\R^n\to \R^n$, $A^T$ représente $-\circ A : (\R^n)^* \to (\R^n)^*$ munis des bases canoniques. Mais comme l'isomorphisme $\R^n\to (\R^n)^*$ est en réalité un homéomorphisme qui préserve la mesure, ça devrait le faire.
  • christophe c
    christophe c
    Merci à tous les deux, je vais étudier ça et reviendrai
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  • christophe c
    christophe c
    max a écrit:
    est en réalité un homéomorphisme qui préserve la mesure, ça devrait le faire.

    Au moins, je dirais que tu as concentré le problème dans une case bien précise. "préserver la mesure", j'avoue que pour convaincre l'homme de la rue, avec un passage au dual et une base "canonique" qui n'est "pas trop" censée être appelée à la rescousse ***

    @Cyrano: peux-tu détailler? Tu as dû penser à quelque chose que je ne devine pas.

    ***lecteurs: pour info: Le dual de $E$, c'est non(E) et son bidual c'est non(non(E)). C'est dire la sulfurosité qu'il y a à gratter la lampe d'Aladin puis demander une base et donc un iso entre E et non(E).
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  • paf
    paf
    Pour moi, c'est évident géométriquement si on sait que toute matrice carrée est semblable à sa transposée. Par contre, avoir une intuition de cette similitude me paraît moins évident...
  • christophe c
    christophe c
    Là je suis d'accord que l'implication est "triviale". Vu que la propriété "produit" du déterminant est évidente quan dil est vu comme voulant dire "Volume".

    Mais comme tu dis, tu admets un "gros morceau".
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe: beh pour un ev général je suis d'accord mais pour $\R^n$ qui est fourni avec sa base, ça va, non ? Surtout que puisqu'on parle de mesure etc., on a un produit scalaire et donc en plus de sa base canonique on a Riesz. Puisque dans les bases canoniques, l'iso canonique est représenté par la matrice identité, la préservation de la mesure elle est raisonnable, non ?
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone: ah ouiii excellente idée le coup du produit scalaire canonique. Je vais digérer ça.
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  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone qui semble avoir parfois et étrangement une connexion boostee par le fait d'être dans un cumulo nimbus.

    Le document de GBZM (sans que ça m'étonne puisqu'on dispose de cette "forte ressource de la signature") le prouve via la formule développée.

    Je joins s le lien par souci de mis ensemble des thèmes.

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1847220,1847234#msg-1847234
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  • christophe c
    christophe c
    Deux petites questions qui peuvent préciser avec l'avantage formel le désir du fil.

    Corps :IR

    Deux matrices transposées sont elles forcément dans la même composante connexe de leur classe de similitude

    Peut on toujours choisir la matrice de passage de déterminant 1 (ou au moins positif)?
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  • christophe c
    christophe c
    En fait j'ai répondu à la deuxième aussitôt après envoyage. Via le czlcul:

    PXAX'P' = PAXX'P' = PAP'

    ' étant l'opération qui inverse. Donc pas de restriction quand on exige du direct ou du det =1.
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu peux expliquer ? Qui est X, pourquoi commute-t-il avec A ?
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone du haut du pic du midi: déjà merci pour ta réponse. Mais en fait "rien de spécial" j'ai juste SUPPOSÉ qu'il y a foison de matrices commutant avec À dont on peut choisir le déterminant comme on veut. Comme tu as réagi j'y regarderai plus attentivement )à foison dont je parle étant ptet bin une peau de chagrin
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pas de problème pour trouver une matrice de déterminant $-1$ qui commute avec n'importe quelle matrice en dimension impaire.
    En dimension paire ... considère la matrice compagne du carré d'un polynôme. Toutes les matrices qui commutent avec elle sont de déterminant $\geq 0$.
  • christophe c
    christophe c
    Merci (oui j'avais vu que pas de souci pour degré impair). La deuxième partie, je la mémorisé mais pour l'instant durant les 12mn de descente en télécabine je n'ai pas réussi à le prouver en guise d'exo.

    Bon de toute façon il était clair des ta demande que mon argument t tombait à l'eau de seul fait de la NON EVIDENCE de l'existence de ces X et des que je t'ai lu je l'ai vite éprouvé.

    Par contre ça n'interdit pas à divers matrices d'être semblables "directement" à leur transposée quand bien même elles commutent mal avec les gens désirables du coup ça fait un sujet (non équivalent) de plus. Ne me donne pas la correction pour la preuve de ton indication car j'aimerais l'éprouver encore et toujours en recul que j'ai en algèbre linéaire (qui a un peu progressé mais reste lacunaire). Je rereflechirai régulièrement avant de venir pleurer pour une solution.
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  • christophe c
    christophe c
    Juste pour tenir informé j'ai essayé parfois 5mn parfois 10mn d'y réfléchir de temps à autre, mais pas trouvé. Bon de tête j'ai mal à mettre mains dans cambouis en imaginant intégralement la matrice écrite. En espérant que les autres passants sur le fil ne se retiennent pas de demander la solution.
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  • christophe c
    christophe c
    Pour info, en allant en Espagne, je réfléchissais à un détail et ai trouvé une preuve de Cayley Hamilton encore plus simple et sans background que toutes celles évoquées selon moi sur le forum.

    En fait, elle est très proche d'un e déjà donnée mais bcp plus "convaincante".

    Comme je dois chercher une station essence espagnole je laisse ca à l'etat de devinette.
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  • christophe c
    christophe c
    Je retrouve un peu de 4G sur la route à 300m au lieu de 2000 donc je me dépêche de poster avant de remonter :

    "La "matrice générique est (bien plus facilement que les autres) semblable à une matrice compagnon.

    De mon téléphone je ne peux pas mettre en blanc. Pis j'ai pas vérifié les détails.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je précise:

    J'admets (sans même maîtriser :-D les détails)

    1/ la matrice compagnon de P possède P comme polycar.

    2/ ladite est annulée par son polycar

    3/ une ligne de calcul: deux matrices semblables sont annulées par les mêmes polys.

    4/ une routine: partant de e:= (1,0,..) dans F:= K^n, M générique : les M^i forment une base de F et M est un endo qui écrit dans cette base est une matrice compagnon.

    Évidemment ça a l'air moins décontractant pour les altitudistes que le corps alg clos etc où pas un calcul n'apparait mais à mon sens et sauf erreur de ma part on a BEZUCOUP moins de background > L2 ici.

    De mon téléphone et aire autoroute
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Je voudrais bien voir ta routine. Déjà qui est $K$ ? Le corps de base ? Si oui, comment $M^i e$ est-il dans $K^n$ ?
  • christophe c
    christophe c
    Non K c'est le corps des fractions blabla (Z(les n^2 indéterminées)). Le point c'est que la généricité va empêcher que ça s'arrête avant la fin ie aucun des M^i (e) ne sera combi lin des précédents sauf pour le dernier (i:=n).
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ah ok (ça valait peut-être le coup de dire qui c'était ;-) ) dans ce cas je vois. Je ne sais pas si c'est plus simple ou moins simple que d'autres trucs proposés du coup, mais ça va dépendre des sensibilités
  • christophe c
    christophe c
    Bin objectivement j'ai du mal à croire que l'ajoute de racines par agrandissement de corps, bien qu'humainement ultra intuitif et remâché soit "logiciel proving" aussi léger.

    Mais attention en tant que pseudo béotien en alg linéaire je n'ai pas vérifié certains petits ponts. Disons que mon petit doigt me dit que c'est encore plus tautologique qu'on imagine. J'yreviendrai d'un PC
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  • christophe c
    christophe c
    Je viens de vérifier de tête. Le fait que la matrice compagnon annule son pylonome est trivial. Le fait que ce doit son polycar idem.

    Donc tout est trivial SAUF le caractère libre (intuitivement évident) des M^i (1,0,0,0..)

    Ou bien je loupe quelque chose ou bien cette preuve est largement plus simple et la moins backgroundee que j'ai abordée. Pas de corps, de formatrice, de densité , de prop fines du déterminant.

    Bon il reste un peu probable que je me gourre quelque part ce ne serait pas une première.

    De mon téléphone pu de batterie
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  • christophe c
    christophe c
    Comatrice*
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