Déterminant
Je sais que je suis saoulant avec cette obsession qui semble aigue, mais bon, tant que le serveur du forum a de la mémoire, j'espère que ce n'est pas trop couteux :-D
Est-il humainenement évident que $\phi(A) = \phi(^tA)$?
où je précise bien que $\phi$ c'est en fait $det$, mais je souhaite dans ce fil vivre dans un monde où personne ne connait $det$ et où $\phi$ est défini comme le volume blabla.
On a, en effet, une preuve "toute douce" que $det=volume$ qui hélas passe par admettre ça.
En langue avachie: est-il humainement facile de voir que la transposée a le même effet sur les volumes?
Est-il humainenement évident que $\phi(A) = \phi(^tA)$?
où je précise bien que $\phi$ c'est en fait $det$, mais je souhaite dans ce fil vivre dans un monde où personne ne connait $det$ et où $\phi$ est défini comme le volume blabla.
On a, en effet, une preuve "toute douce" que $det=volume$ qui hélas passe par admettre ça.
En langue avachie: est-il humainement facile de voir que la transposée a le même effet sur les volumes?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
En gros si $A:\R^n\to \R^n$, $A^T$ représente $-\circ A : (\R^n)^* \to (\R^n)^*$ munis des bases canoniques. Mais comme l'isomorphisme $\R^n\to (\R^n)^*$ est en réalité un homéomorphisme qui préserve la mesure, ça devrait le faire.
Au moins, je dirais que tu as concentré le problème dans une case bien précise. "préserver la mesure", j'avoue que pour convaincre l'homme de la rue, avec un passage au dual et une base "canonique" qui n'est "pas trop" censée être appelée à la rescousse ***
@Cyrano: peux-tu détailler? Tu as dû penser à quelque chose que je ne devine pas.
***lecteurs: pour info: Le dual de $E$, c'est non(E) et son bidual c'est non(non(E)). C'est dire la sulfurosité qu'il y a à gratter la lampe d'Aladin puis demander une base et donc un iso entre E et non(E).
Mais comme tu dis, tu admets un "gros morceau".
Le document de GBZM (sans que ça m'étonne puisqu'on dispose de cette "forte ressource de la signature") le prouve via la formule développée.
Je joins s le lien par souci de mis ensemble des thèmes.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1847220,1847234#msg-1847234
Corps :IR
Deux matrices transposées sont elles forcément dans la même composante connexe de leur classe de similitude
Peut on toujours choisir la matrice de passage de déterminant 1 (ou au moins positif)?
PXAX'P' = PAXX'P' = PAP'
' étant l'opération qui inverse. Donc pas de restriction quand on exige du direct ou du det =1.
En dimension paire ... considère la matrice compagne du carré d'un polynôme. Toutes les matrices qui commutent avec elle sont de déterminant $\geq 0$.
Bon de toute façon il était clair des ta demande que mon argument t tombait à l'eau de seul fait de la NON EVIDENCE de l'existence de ces X et des que je t'ai lu je l'ai vite éprouvé.
Par contre ça n'interdit pas à divers matrices d'être semblables "directement" à leur transposée quand bien même elles commutent mal avec les gens désirables du coup ça fait un sujet (non équivalent) de plus. Ne me donne pas la correction pour la preuve de ton indication car j'aimerais l'éprouver encore et toujours en recul que j'ai en algèbre linéaire (qui a un peu progressé mais reste lacunaire). Je rereflechirai régulièrement avant de venir pleurer pour une solution.
En fait, elle est très proche d'un e déjà donnée mais bcp plus "convaincante".
Comme je dois chercher une station essence espagnole je laisse ca à l'etat de devinette.
"La "matrice générique est (bien plus facilement que les autres) semblable à une matrice compagnon.
De mon téléphone je ne peux pas mettre en blanc. Pis j'ai pas vérifié les détails.
J'admets (sans même maîtriser :-D les détails)
1/ la matrice compagnon de P possède P comme polycar.
2/ ladite est annulée par son polycar
3/ une ligne de calcul: deux matrices semblables sont annulées par les mêmes polys.
4/ une routine: partant de e:= (1,0,..) dans F:= K^n, M générique : les M^i forment une base de F et M est un endo qui écrit dans cette base est une matrice compagnon.
Évidemment ça a l'air moins décontractant pour les altitudistes que le corps alg clos etc où pas un calcul n'apparait mais à mon sens et sauf erreur de ma part on a BEZUCOUP moins de background > L2 ici.
De mon téléphone et aire autoroute
Mais attention en tant que pseudo béotien en alg linéaire je n'ai pas vérifié certains petits ponts. Disons que mon petit doigt me dit que c'est encore plus tautologique qu'on imagine. J'yreviendrai d'un PC
Donc tout est trivial SAUF le caractère libre (intuitivement évident) des M^i (1,0,0,0..)
Ou bien je loupe quelque chose ou bien cette preuve est largement plus simple et la moins backgroundee que j'ai abordée. Pas de corps, de formatrice, de densité , de prop fines du déterminant.
Bon il reste un peu probable que je me gourre quelque part ce ne serait pas une première.
De mon téléphone pu de batterie