Interpolation douce

christophe c · July 2019

Soit une fonction $f$ et $F$ un ensemble fini.

Pour trouver "le" polynôme sympa de plus petit degré qui coincide avec $f$ sur $F$, on utilise une formule de la forme:

$$\sum_i c_i(X-a_1)(X-a_2)\dots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\dots$$

en ajustant les $c_i$ pour que ça marche.

Hélas, comme j'en ai déjà parlé ici: (lien à mettre)

c'est de l'approximation $L^1$, celle qui "est sale" et donne la médiane plutôt que la moyenne. En fait, ça consiste à prendre l'inverse de la distance de $x$ à $a_i$ comme coefficient de pondération (divisez par les produits des $(X-a_i)$ pour vous en rendre compte), alors que la manière douce consiste à ne pas s'embourber avec la racine carrée et à pondérer avec l'inverse du carré de la distance.

Quelqu'un connait-il des documents (avec des conclusions lisibles!!) où ce traitement "doux" est systématique?

christophe c · July 2019

Voici le lien que j'évoquais: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1829244,1829408#msg-1829408

GaBuZoMeu · July 2019

Je ne comprends rien à ce que tu écris. Il n'y a pas unicité du polynôme de plus petit degré ($n-1$) prenant des valeurs données en $n$ points distincts donnés ?

christophe c · July 2019

Avant tout merci de réapparaître quel grand plaisir de te revoir. J'étais inquiet car j'ai quelques amis en situation difficile.

Je ne cherche PAS DU TOUT à minimiser le degré ici. J'ai même cru faire une pointe d'ironie avec mes guillemets pour sous entendre que cette minimalite du degré me semblait la trop grosse star comme critère.

Mon obkectif est de savoir ce qu'on gagne à prendre le barycentre pondéré par les inversés des CARRES des distances de x aux points de F.

Héhéhé · July 2019

Je ne comprends pas exactement ce que tu cherches à faire, et notamment ce que tu entends par méthode "'douce".

Ton but est de minimiser $\| f - P \|_{L^1}$ pour tous les polynômes $P$ coïncidant avec $f$ sur $F$ ?

Si j'ai bien compris, ton ensemble $F \subset \mathbb R$ est fixé au début, on ne peut pas jouer avec ?

christophe c · July 2019

Pardon non in fine je ferai varier F!!

En fait je cherche à créer un continuum entre : la preuve académique de Stone Weierstrass et la preuve probabiliste avec les polynômes de Bernstein. Mais dans un premier temps je me fiche de la convergence uniforme. Et ce serait plutôt la convergence L^2

En fait j'aimerais "comprendre" la fonction t |----> succès de la convergence L^t.

Héhéhé · July 2019

Désolé je ne comprends vraiment pas ce que tu cherches à faire.

christophe c · July 2019

Ca peut attendre, j'essaierai de préciser. Je vais remettre un lien vers le post où j'ai exprimé le plus franchement mon interrogation générale, ça aidera peut-être à préciser mes désirs.

christophe c · July 2019

Mais je l'ai déjà mis en fait, ce sont les points 8.1 à 9 du lien mis à mon deuxième fil.

En gros, je "ressens" le rebus suivant:

Aller de $L^1$ à $L^\infty$
C'est comme aller de la médiane à l'indicateur "idiot" moyenne des deux valeurs extrêmes

La médiane s'occupe des indices sans se préoccuper des valeurs
$L^\infty$ s'occupe des valeurs sans se préoccuper des indices

La moyenne, "instinctivement" choisi par l'humanité est un genre de "mix idéal" entre indices et valeurs

En outre, les lois de la physique privilégient très largement le $1/distance^2$.

Mon fantasme serait de "comprendre" et "fondre dans la logique" ce continuum qui va de $x$ à $f(x)$ pour une $f$ où on n'a absolument aucune structure sur l'ensemble de départ.

Pour moi, c'est important, car en logique, $x$ est le coup joué par le pôle nord et $f(x)$ celui joué par le pôle sud autrement dit "in some sense", on va de $A$ à $non(A)$ de cette façon.

Donc voir que les $L^t$ ont réussi partiellement ça est assez frustrant si on n'y connait rien. J'aimerais investiguer.

christophe c · July 2019

Ah pardon, je rappelle aussi "la base", parce que j'ai peut-être eu tendance à l'escamoter.

Je nomme le $t$-indicateur "le" réalisateur du minimum de $x\mapsto \sum_i |x-a_i|^t$

Médiane = $1$-indicateur
Moyenne = $2$-indicateur

Non nommé car "stupide" = $\infty$-indicateur (c'est la moyenne entre la valeur max et la valeur min)

L'interpolation "pas douce" usuelle consiste à prendre $f(x):=$ barycentre des $f(a_i)$ pondérés par les $|1/(x-a_i)|$. C'est la $1$-interpolation

Je connais mal les aspect calculatoire des polynômes de Berstein, mais je soupçonnerais plutôt un lien avec la $2$-interpolation

D'une manière générale, je ne sais pas ce que donne la $t$-interpolation.

Héhéhé · July 2019

Bon si j'ai bien compris ton problème: on se donne deux ensembles finis $\{a_1,\dots,a_n\} \subset \mathbb R$ et $\{b_1,\dots,b_n\} \subset \mathbb R$ (qui correspondent à $b_i = f(a_i)$ pour une certaine fonction $f$ mais ce n'est pas important pour l'instant).

On cherche à minimiser la quantité ($t \geq 1$):
$$Q(t) := \sum_{i=1}^n \vert b_i - P(a_i) \vert^t.$$
où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes de $\mathbb{R}[X]$.

Et toi tu t'intéresses à l'application qui $ t \geq 1$ associe le (ou les) minimiseurs $P$ de $Q(t)$ (s'ils existent...). C'est cela ?

EDIT: bon évidemment il faut limiter le degré de $P$ sinon ca devient trivial.

christophe c · July 2019

Merci, je vais y réfléchir avant de te répondre "oui", trop vite.

christophe c · July 2019

Non, en fait, je ne crois pas que ce soit ça. Mais les calculs et moi...

Déjà, pour une fonction régulière définie sur $[0,1]$ (ou un carré, etc), j'ai remarqué que l'interpolation habituelle approxime bien $f$ pour :

[large]$$L^\infty$$[/large]

or on prend la moyenne que j'appelle "indicateur de type 1" des inverses des distances de $x$ aux points de référence.

Il semble donc y avoir une sorte de dualité.

MAIS SURTOUT les $a_i$ sont pris en compte d'une manière qui semble plus accentuée que dans ta formule qui met l'accent sur les $b_i$.

MAIS: tu as raison de proposer une "jolie formule"***, dont je ne sais pas où elle se situe dans toutes ces approximations mais qui est bien sympathique

Rien n'exclut que tu aies raison, après un calcul qui montrarait que nous nous rejoignons, mais je ne suis pas compétent voir ça en moins de plusieurs jours

*** par compacité, ta $\phi(t,n,points)$ est presque bien définie, le $n$ indique le degré maximum autorisé, mais a priori faut voir s'il y a un unique polynôme de degré au plus $n$ qui réalise le minimum de

$$P\mapsto \sum_i |b_i-P(a_i)|^t$$

christophe c · July 2019

Je donne ma formule, vu qu'elle est toute bête:

Pour $x\notin \{a_1,\dots \}$,

$$ g(t)(x) := a(x) \times ( \sum_i b_i \times \frac{1}{|x-a_i|^t} ) $$

avec $a(x):= \sum_i \frac{1}{|x-a_i|^t}$

christophe c · July 2019

Et évidemment, mon fil est ouvert surtout pour parler du cas $t:=2$. Pourquoi ne figure-t-il pas "en haut de l'affiche médiatique des maths"?

Les autres $t$ étaient plutôt évoqués dans mon autre post.

christophe c · July 2019

De toute façon, comme indiqué ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Approximation_de_Bernstein

L'astuce de Bernstein n'est pas une interpolation. C'est plus une sorte de convolution. Donc j'ai été un peu vite en besogne, même si ça ne change pas grand chose au but, qui est de antidiscrétiser différentes preuves d'un même théorème (ie trouver des continuum entre elles), ici par exemple SW.

Héhéhé · July 2019

Bah le cas $t = 2$ s'appelle la méthode des moindres carrés, il y a des centaines de livres et d'articles consacrés au sujet...

christophe c · July 2019

Pour moi, la méthode des moindres carrés porte sur les images et non les indices :-S

Héhéhé · July 2019

Décidément je ne comprends rien. Peux-tu donner un énoncé de maths précis et non ambigu ?

christophe c · July 2019

Je ne vais hélas que te copier-coller ce que j'ai écrit (en remplaçant t par 2):

Begin citation

Je donne ma formule, vu qu'elle est toute bête:

Pour $x\notin \{a_1,\dots \}$,

$$ g(x) := a(x) \times ( \sum_i b_i \times \frac{1}{(x-a_i)^2} ) $$

avec $a(x):= \sum_i \frac{1}{(x-a_i)^2}$

End citation

Et redire que le seul type d'aide que je vois possible est de m'indiquer si cette formule a été utilisée avec des "conclusions intéressantes".

Pardon, je t'avais répondu sur les motivations, je ne pensais pas que tu souhaitais "prendre à bras le corps" ma problématique un peu vague. En tout cas merci pour ta disponibilité.