Un autre phénomène "3 cas".
Pour me faire pardonner d'avoir été un peu vague dans certains de ce que j'ai appelés "projets estivaux", en voici presque parfaitement précis.
Je vous donne un exemple de théorème certes très facile, mais qui a l'espièglerie d'exiger 3 paragraphes presque "totalement distincts".
Défi: le prouver d'une manière "connexe".
Soit $G$ un graphe (simple non orienté) et $k$ un cardinal. Supposons que tout sommet de $G$ soit $k$-vidable***. Alors on peut colorier $G$ avec $k$ couleurs.
Je vous le laisse en exercice facile à prouver, mais je signale quand-même un truc.
Il y a 3 cas qui semblent assez réfractaires à se laisser traiter de la même façon:
c1/ $G$ fini
c2/ $G$ infini $k$ fini
c3/ $G,k$ tous deux infinis.
*** on retire les sommets ayant strictement moins de $k$ voisins. Puis on recommence, ad vitam eternam jusqu'à ne tomber sur un "coeur", le graphe où il ne reste que des sommets de degrés $\geq k$. Il est dit vidable s'il ne reste personne. Merci à un intervenant qui avait posé une question sur les fermés où on retire les points isolés, puis on recommence, car ça m'a inspiré ce fil
Je vous donne un exemple de théorème certes très facile, mais qui a l'espièglerie d'exiger 3 paragraphes presque "totalement distincts".
Défi: le prouver d'une manière "connexe".
Soit $G$ un graphe (simple non orienté) et $k$ un cardinal. Supposons que tout sommet de $G$ soit $k$-vidable***. Alors on peut colorier $G$ avec $k$ couleurs.
Je vous le laisse en exercice facile à prouver, mais je signale quand-même un truc.
Il y a 3 cas qui semblent assez réfractaires à se laisser traiter de la même façon:
c1/ $G$ fini
c2/ $G$ infini $k$ fini
c3/ $G,k$ tous deux infinis.
*** on retire les sommets ayant strictement moins de $k$ voisins. Puis on recommence, ad vitam eternam jusqu'à ne tomber sur un "coeur", le graphe où il ne reste que des sommets de degrés $\geq k$. Il est dit vidable s'il ne reste personne. Merci à un intervenant qui avait posé une question sur les fermés où on retire les points isolés, puis on recommence, car ça m'a inspiré ce fil
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