Löwenheim-Skolem
Bonjour à tous,
Je suis en train de relire mes cours de M2 de 2003/2004.
Je m'intéresse en particulier aux théorèmes de Löwenheim-Skolem.
Pour le descendant, ça va… enfin, à première vue.
Pour l'ascendant, je m'aperçois avec stupeur que la preuve utilise la méthode des diagrammes, à laquelle je n'ai jamais compris grand-chose, d'autant que les notations varient d'un ouvrage à l'autre.
Et, bien entendu, les choses sont faites exactement de la même façon dans le Cori-Lascar.
Ma question : quelqu'un connaît-il une preuve du théorème de Löwenheim-Skolem ascendant qui n'utilise pas la méthode des diagrammes ?
Merci d'avance
Martial
Je suis en train de relire mes cours de M2 de 2003/2004.
Je m'intéresse en particulier aux théorèmes de Löwenheim-Skolem.
Pour le descendant, ça va… enfin, à première vue.
Pour l'ascendant, je m'aperçois avec stupeur que la preuve utilise la méthode des diagrammes, à laquelle je n'ai jamais compris grand-chose, d'autant que les notations varient d'un ouvrage à l'autre.
Et, bien entendu, les choses sont faites exactement de la même façon dans le Cori-Lascar.
Ma question : quelqu'un connaît-il une preuve du théorème de Löwenheim-Skolem ascendant qui n'utilise pas la méthode des diagrammes ?
Merci d'avance
Martial
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Réponses
Löwenheim-Skolem ascendant c'est de la compacité : tu rajoutes un symbole de constante par élément de ta structure (infinie) $M$, tu prends toutes les formules closes qui sont valables dans ta structure dans ce nouveau langage (où bien sûr tu interprètes ces nouvelles constantes comme l'élément en question).
Ça te donne une théorie et il est facile de voir que si une structure satisfait cette théorie alors $M$ en est une sous-structure élémentaire (en se restreignant au langage initial).
Maintenant si tu as un cardinal $\kappa$ plus grand que $M$ tu rajoutes d'autres symboles de constante $c_\alpha$ pour chaque $\alpha\in \kappa$ et tu rajoutes à ta théorie les axiomes que ces constantes sont différentes.
Par compacité, cette dernière théorie a un modèle, il est de taille $\geq \kappa$ et il a $M$ comme sous-structure élémentaire : bam.
Maintenant si tu veux $=\kappa$ il faut utiliser LS descendant.
Comme les témoins sont t généralement en nombre dénombrable.... Ça te fait un SM élémentaire dénombrable
@Max : je crois que je vais me débrouiller avec ce que vous m'avez dit tous les deux.
Il me semblait bien aussi que sortir la méthode des diagrammes (que je trouve fortement absconse, voire imbittable) uniquement pour ça, c'était un peu comme dégainer une Kalashnikov pour dégommer une mouche.
Pour info : le diagramme simple c'est kif-kif, sauf que tu te restreins aux formules sans quantificateurs… enfin, si j'ai bien compris.
Moralité : la méthode des diagrammes a été inventée uniquement pour embrouiller le cerveau des néophytes… et visiblement, ça a bien marché.
Quant à savoir pourquoi ça s'appelle diagrammes, I Don't know.
C'est "le miracle" de la compacité-complétude du premier ordre. En fait, il s'agit juste d'une prise de conscience alliée à un argument non logique de ... SYMETRIE que premier ordre ou propositionnel, c'est essentiellement pareil.
La raison provient de ce que contrairement encore une fois à un préjugé les témions de Skolem n'ont "à peu près" rien à voir avec leur version sémantique impliquant l'axiome du choix.
Et ce car .. n'importe quelle lettre non utilisée*** SUFFIT A VOUS DONNER UN NOUVEAU TEMOIN DE SKOLEM.
Tant qu'on ne fouille pas cette magie de fond en comble, on ressent toujours un "petit flou", une petite insécurité avec le 1er ordre.
C'est pourquoi en général je recommande de ne pas faire de différence entre syntaxe et sémantique et nommer "modèles" tout bêtement les théories complètes qui nomment tous leurs individus. Ca évite des séparations artificielles. Je l'ai souvent dit sur le forum, mais peut-être pas ces derniers temps.
Je crois que "théorie complète qui nomme tous ses objets" est appelé "diagramme", mais peu importe.
*** et soyons franc, c'est un principe de symétrie.