Ensembles finis et égalité de cardinaux

Bonjour. Le raisonnement suivant est-il valide ?

Soient f: A $\rightarrow$ B et g: B $\rightarrow$ A injectives et p dans N. Notation : |A| = Card(A)

Si A et B sont finis, par injectivité de f et g, (|A| $\leq$ |B| et |B| $\leq$ |A|) $\Rightarrow$ (|A| = p = |B|) $\Rightarrow$ ( $\exists$u : A $\rightarrow$ \{1,...,p\} et $\exists$v : \{1,...,p\} $\rightarrow$ B bijectives ) $\Rightarrow$ v $\circ$ u : A $\rightarrow$ B bijective.


D'avance merci pour votre réponse et bonne journée/soirée.

PS: Je suis autodidacte débutant en maths. Loin de tout matheux et du monde francophone, il m'est difficile de me contenter d'un écran ou d'un livre. Votre aide est donc la bienvenue.