Raisonnement par l'absurde

Gon
Gon
dans Fondements et Logique
Bonjour, j'ai traité un exercice, et j'aimerais que vous apportiez vos remarques.88738
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Réponses

  • Gon
    Gon
    Je crois bien que j'ai fait une erreur dans le choix de ma proposition , c'est plutôt :

    DONC UN RAISONNEMENT PAR CONTRAPOSITION règle l'affaire88746
  • Rietveld
    Rietveld
    Bonjour,
    oui c'est bien un raisonnement par contraposition que tu peux utiliser.

    Il faut que tu montres que :
    quelque soit ton choix d'entiers $i, j$ et $k$ dans $1 ; 9$ tel que $a_i + a_j + a_k \leq 30$ alors $a_1 + a_2 + \cdots + a_9 \neq 90$.

    Tu as montré que ta somme est nécessairement strictement inférieure à $90$, donc c'est bon.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Aucun raisonnement par l'absurde n'est nécessaire. Par ailleurs je ne vois en fait aucun argument sur la feuille : rien qui justifie le "Alors".

    On peut supposer, sans perte de généralité, les nombres rangés dans l'ordre croissant.
    Alors
    $$90=(a_1+a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6)+(a_7+a_8+a_9)\leq 3(a_7+a_8+a_9)\;.$$
  • Gon
    Gon
    Oui oui comme dit plus haut je m'étais trompé dans ma proposition , donc bon le raisonnement par contraposition marche bien.


    Merci à vous pour vos réponses.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Désolé, mais je ne vois pas de raisonnement (que ce soit par l'absurde ou par contraposition) dans ce que tu écris. C'est-à-dire, je ne vois pas d'argument. Ai-je loupé quelque chose ?
  • Gon
    Gon
    j'ai dit plus haut après avoir publié que je m'étais déjà trompé de base en écrivant la proposition , donc je l'ai refait , mais bon j'ai juste dit ici que le raisonnement par contraposition est adéquat ...
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone périgourdin. Le "raisonnement" auquel tu penses est probablement celui de GBZM mais SANS ranger dans l'ordre croissant mais je ressens que tu aurais pu avoir la gentillesse de le lui préciser car il a raison tu n'as écrit aucun argument probant. Il est difficile d'aider ou commenter en faisant de la télépathie.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Gon
    Gon
    Oui vous avez effectivement raison ,désolé .
  • christophe c
    christophe c
    @riet : tu confonds

    1/ si forallx P alors Q

    avec

    2/ forallx (si P alors Q)

    Par ailleurs il est peu usuel d'appeler

    Q => (exists x (non P))

    une contraposée de

    (Forall x P) => (non Q)

    en raison de la difficulté à produire un témoin explicite
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Rietveld
    Rietveld
    Bonjour @christophe c,

    je n'ai pas compris ta remarque, à moins que j'ai fait une erreur à laquelle il faut que j'y remédie.

    Pour moi, la contraposée de cette proposition est, selon ta terminologie : "si forallx P alors Q".
    Ce n'est pas cela ?

    J'interprète la proposition ainsi dans le sens direct : "si $a_1+a_2+...+a_9=90$ est vraie alors il existe..." autrement dit "Si P vraie alors Existe(x) tel que Q soit vraie".

    Merci.
  • christophe c
    christophe c
    Quand tu écris

    " Si R( a ) alors Q "

    et dis "voilà ce qu'on veut prouver"

    99% des lecteurs comprennent

    " On veut prouver que pour tout a (si R(a) alors Q) "

    De mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Rietveld.

    Quand tu écris : "Si $a_1+a_2+...+a_9=90$ est vraie" de quoi parles-tu ? Tes $a_1, a_2, ... a_9$ sont ils très particuliers (par exemple tu sais que $a_1=12, a_2=11, ... a_9=11$, ou bien veux-tu que tous les cas possibles soient traités, sans connaissances particulière ? Dans le premier cas, il n'est pas nécessaire de faire autre chose que le calcul $a_1+a_2+a_9=34$. Dans le deuxième, qui est la façon dont tout le monde comprend l'exercice, les $a_1, a_2, ... a_9$ sont quelconques (vérifiant la condition donnée), et la formulation de ta proposition est :
    $\displaystyle \forall (a_1, a_2, ... a_9) \in \mathbb N^9, a_1+a_2+...+a_9=90 \Rightarrow \exists (i_1,i_2,i_3)\in E\ \ a_{i_1}+a_{i_2}+a_{i_3}\le 30$ (*)
    Et c'est cela que tu dois contraposer (si tu veux le faire).

    Cordialement.

    (*) $E$ étant l'ensemble des triplets d'indices distincts entre 1 et 9.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone: j'evoquais http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1842132,1842146#msg-1842146
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    De toute façon il y a une règle très simple. Quantifie tout comme ça tu évites les malentendus.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • SERGE_S
    SERGE_S
    @ Attien :


    Pour démontrer une proposition A => B par l'absurde on raisonne de la façon suivante :

    A l'hypothèse A du problème on ajoute l'hypothèse non (B). A partir de ces deux hypothèses on fait un raisonnement déductif et on arrive à une contradiction mathématique. C'est à dire à une proposition qui est absurde. Par exemple "tous les nombres premiers sont pairs", ou "l'ensemble des nombres premiers est fini" ou encore que non (A) est vraie ou que 0=1 etc... Par conséquent l'hypothèse non (B) est fausse donc B est vraie. CQFD.

    Dans ton problème
    Hypothèse 1 : a1 + a2 + ... a9 = 90
    Hypothèse 2 : ai+aj+ak < 30 pour tous i, j, k appartenant a [1, 9] (c'est le non (B)) l'hypothese qui va porter à une contradiction

    De l'hypothèse 2 on deduit que a1+a2+a3 <30, a4+a5+a6 <30 et a7+ a8+ a9 <30 d'ou a1+a2+....a9 <90. Contradiction avec l'hypothèse 1. Donc l'hypothèse 2 est fausse et par conséquent il existe 3 termes dont la somme est superieure ou egale a 30. CQFD.
  • christophe c
    christophe c
    @Serge : en fait Attien y pensait des le début mais a préféré... ne pas le dire. Il s'en est excusé à son dernier post. Comme tu le fais remarquer être précis et détailler est TRED UTILE sur le forum. De mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Rietveld
    Rietveld
    @tous :
    merci pour vos réactions.

    Il y a bien un malentendu, j'ai bien compris la proposition comme il le fallait, cependant j'ai omis un quantificateur que je trouvais implicite.
    Je n'avais pas rédigé cela de manière formelle et rigoureuse, en pensant aider @Attien avec une formulation simple de la tâche à réaliser. Cela a été contre-productif.
    La phrase peut prêter à confusion, en effet.
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