Paradoxe de Banach Tarski

Je pense personnellement que les longues discussions "philosophiques" sur des axiomes purement abstraits, qu'on peut a priori aussi bien accepter que refuser ne mènent généralement à rien qui puisse faire réellement progresser notre connaissance scientifique. Je pense aussi que si on accepte l'axiome du choix, plutôt qu'on le refuse, c'est à la fois qu'il est assez valable intuitivement, mais peut-être surtout en pratique : D'une part il évite de se poser en permanence la question de savoir si on ne l'utilise pas de manière cachée dans une démonstration, et d'autre part il permet d'avoir des résultats remarquables dans tous les domaines des maths.

Mais ceci n'engage que moi.

Oh c'est intéressant Maxtimax. Bon l'article par contre ne donne pas envie... :-D

@max pardon je vais te contredire durement mais pas sur ton zdage"il y a des résultats surprenants en maths" évidemment :-D

JLouis à PARFAITEMENT raison de trouver BT surprenant. Et oui c'est bien l'axiome du choix le magicien de l'histoire.

Par contre Dougherty Foreman n'a STRICTEMENT AUCUN interet (autre que pour son caractère sportif): je le rappelle une e nieme fois les ensembles maigres sont tout sauf PETITS. Ne pas noter ça conduit à des intuitions FAUSSES. En fait ce sont les ensembles comaigres assez génériques qui sont "tout petits petits". Ils forment à peu de choses près un genre de pseudo ultraftres utile pour produire des preuves mais ne représentant en rien une bonne notion de taille.

BT est lui PARTICULIÈREMENT efficace en ce qu'il indique à l'univers qu'il ne contient pas tous les réels et ce qui est bien est qu'il dit "où sont" ceux qui lui manquent.

Pour info: un réel de Cohen (ie appartenant à tous led comaigres) est essentiellement une fonction de IN dans IN) qui croît plus vite que toutes les fonctions de l'univers

Un random réel (ie un réel "appartenant" à tous led Boreli s de mesure 1 ) est lui par contre "naturel" au sens qu'il ne GÉNÈRE aucune pathologie comme celle évoquée ci-dessus.

@Jean-Louis : je ne comprends pas pourquoi tu continues à te prendre la tête sur Banach-Tarski, je l'ai déjà dit à plusieurs reprises je ne vois rien de choquant là-dedans. Tu devrais relativiser, et rester zen.

@Maxtimax : je suis entièrement d'accord avec toi quand tu dis que le truc c'est qu'il y a des résultats surprenants en math.
N'oublions pas que nous vivons une époque privilégiée (même si on vit à crédit depuis hier) : tout a été inventé avant que nous ayons fini de téter notre dernier biberon. Bon, certes le revers de médaille c'est que c'est plus difficile de faire une thèse maintenant qu'il y a 200 ans, mais on ne peut pas tout avoir.
Quand Galilée a démontré qu'il y avait autant de monde dans $[0,5]$ que dans $[0,12]$ tout le monde a crié au scandale, et il a bien failli se retrouver au bûcher pour ça. (Bon, il a fini par y aller quand même, mais pour autre chose si la légende dit vrai).
En gros, à l'époque on était incapables d'appréhender l'infini, heureusement que Dedekind a fait d'une "tare" une définition, et qu'ensuite Cantor s'est engouffré dans la brèche ainsi ouverte, avec les détracteurs que l'on sait. N'empêche, il y a laissé des plumes, car beaucoup de gens "bien pensants" ont refusé à l'époque de se remettre en question. Si j'avais Kronecker sous la main (lui qui est en grande partie responsable de la dépression de Cantor), je lui mettrais un sérieux coup de boule, quitte à trafiquer ladite boule par Banach-Tarski.
Heureusement, Tonton David veillait au grain (paradis cantorien and so on).

De mon téléphone

En fait on y trouve la nécessité que le groupe soit moyennable pour que le téléphone associé soit casino inoffensif.

Le téléphone associé à un groupe G est le suivant et dépend d'une fonction f (en fait non mais de mon téléphone c'est plus simple de.consoderer f comme choisie AVANT par les acheteurs du téléphone):

Quand ils appuient respectivement sur les touches x,y (éléments de G) sur leur écran s'affiche au dessus de x un élément u de G et au dessus de y un élément v de G avec garantie que v=u.f(x,y)

C'est téléphone très faible (pense au groupe F2 ou Z) en général. Mais sa casino inoffensivite pour toute f est équivalente à la moyennabilite du groupe

Autrement dit un groupe non moyenable permet (avec la bonne f) d'augmenter son espérance de gain (Léa voit le numéro gagnant mais elle a seulement le droit d'utiliser une fois le téléphone pour communiquer avec Bob qui est son équipier qui mettra les.jrton sur le tapis (et réciproquement en croise)

Pour le dire autrement (c'est équivalent) un tel téléphone ne permet pas qu'on lui associé des probas séparées par combiné. La touche tapée par Léa influe FORCEMENT led probas de réaction du combiné de Bob à ce que Bob affiche. Autrement dit il "envoie presque un vrai signal"

Utilisé avec BT il permet à Léa et Bob de s'apercevoir que le modele de ZFC qu'ils ont chacun dans leur sac ne contient pas tous les réels puisqu'ils se retrouveront coincés au moment de taper sur la touche x (pas de touche x) où x est le réel affiché gagnant par le casino et n'auront qu'à pester contre le "trop petit ZFC modèle mis dans la valise avant de se rendre au casino

Mmmmh, je vais réfléchir à ce que tu dis sur la non-moyennabilité. Mais en quoi ton énigme de boîtes et des dix-neuf stratégies gagnantes sur vingt témoignent de la non-plénitude d'un univers ?

Euh, je ne suis pas sûr de comprendre (et c'est en général le cas quand tu parles de "choses qui ne sont pas dans l'univers").

J'ouvre vingt fois $\omega$ boîtes et je regarde les valeurs de ma fonction de Galvin sur les suites des contenus de ces boîtes et je joue en conséquence (je ne précise pas pour ne pas spoiler la solution). Est-ce que tu veux dire que l'univers ne peut pas accepter que dix-neuf stratégies sur vingt gagnent à chaque fois ? Et que du coup, ma fonction de Galvin va refuser certaines entrées ? Et si oui, qu'est-ce que ça veut dire ?

Bon, et puis pour la moyennabilité, j'espère que tu sais que le mot "moyennable" n'a aucune occurrence dans ta thèse ? Je ne trouve pas de trace de ce théorème.

Et merci je ferai un ajout sur HAL. Même si c'est "évident" une fois dépliées les defs.

Par réelle j'entends juste que face à un réel que tu NE CHOISIS PAS et face auquel tu dois répondre quelque chose il est NÉCESSAIRE que ce réel appartienne au V (univers que tu transportes dans ta valise) pour que tu puisses appliquer une fonction définie dans ce V. RIEN DE PLUS. De mon téléphone avec problèmes de connexion

"tous" ne veut hélas rien dire. Limite des mots.

@ Jean-Louis .

BT n'existe pas dans $\R^2$ d'après un théorème de prolongement dû à Banach de la mesure de Lebesgue à toutes les parties du plan.

En revanche il existe bien dans tous les $\R^n, \; n\geqslant3$.

amicalement,

e.v.

J'ai de grosses difficultés de connexion et un wifi qui semble ne pas marcher et la 2G en montagne bof.

Mais tu te compliquée la vie. Je te prends un exemple simple. Soit P un énoncé clos tel que dans V aucun modèle bien fondé pour P n'existe.

Un visiteur vient aux gens de V "vous savez moi je connais un modèle dénombrable bien fondé de P" (et il le leur montre )

Et bien la seule chose que pourront faire les habitants de V avec c'est rendre tous leurs ordinaux dénombrables. Bon c'est déjà bien .

Or pour trouver des P non abusives j'ai besoin d'un PC mais c'est très simple. Et la en plus ce n'est pas un réel aléatoire qui échappe à V mais un réel ayant une definition bien formelle et précise mais permettant de coder trop d'ordinaux pour habiter V

@Jean-Luis peux-être qu'avec cette vidéo tu visualiseras mieux... le concret commence à 10:25 (il faut s'accrocher).

@Jean-Louis :
1) Bonjour, ça fait plaisir.
2) Je me souviens bien de cette discussion mais j'hallucine quand je vois qu'elle remonte 9 mois en arrière !
3) Je ne vais pas te dire ce que je pense de BT, puisque tu le sais.
4) A ma connaissance 5 morceaux suffisent (dans $\R^3$) et on ne peut pas faire mieux.
Mais je ne connais pas les détails pour cause de nullité transcendentale en géométrie.
5) Comment veux-tu "visualiser la forme de ces morceaux réputés non mesurables...", puisque justement ils ne sont pas mesurables ?
Pour te donner un exemple qui n'a rien à voir : personne n'a jamais réussi à "visualiser" un espace ultramétrique, au sens où tous les dessins que tu peux faire pour te le représenter sont faux, puisque n'importe qui est capable de dessiner un triangle qui n'est ni isocèle, ni équilatéral. De même, quand tu dessines une boule et que tu prends un point proche de la frontière, tu as du mal à t'imaginer qu'il est encore au centre de la boule. Et pourtant il y a pléthore d'espaces ultramétriques (et là, pas besoin d'AC) et il y a des gens très bien qui sont payés depuis 40 ans pour les étudier.
6) Je suis comme Calli, je ne sais pas ce que tu appelles le néant.
Amitiés
Martial

foys a écrit:

Bon ils sont souvent de dimension infinie certes ...

Juste un tout petit détail pour visualiser :-D :-D

@JL, je ne sais pas si je te l'ai déjà dit, mais si ça peut te rassurer;, BT est "essentiellement" faux. Il est une des célèbres façons pour un univers de s'apercevoir qu'il ne contient pas tous les réels. Ce n'est d'ailleurs pas la meilleure car s'appuie sur une intuition matérielle que l'on est forcé de considérer comme douteuse.

Il y a 10ans (je te mettrai un lien) j'avais ouvert un fil, mais si tu veux, je te donne une autre histoire "bien pire" que BT. On joue au jeu suivant:

Lea cache des réels, chacun choisi comme elle veut, dans 10 boites différentes.

Bob a le droit d'ouvrir 9 boites. Et doit proposer un ensemble $A_1$. Si le réel encore caché c'est pas dans$A_1$, Bob perd.

Sinon, le jeu continue avec 100 boites, et comme les boites sont indiscernables, elle repart dans son atelier, pendant que Bob patiente en musique, et revient avec 100 boites, mais cette fois-ci, règle du jeu, les 100 boites contiennent chacune un réel se trouvant dans $A_1$. C'est une manière de rétribuer la devination précédente de Bob.

Bob ouvre 99 boites, celles qu'il veut. Il propose un ensemble $A_2$. Si le réel encore caché n'est pas dans $A_2$, il perd. Sinon la partie continue avec 1000 boites.

Et ainsi de suite.

Au bout d'un moment, Bob a le devoir de s'arrêter (il choisit quand, mais ça ne doit pas durer éternellement) et de proposer un réel $x$ en disant "je parie que c'est $x$ qui est dans la boite pas ouverte". Evidemment il gagne s'il a raison et sinon perd.

Et bien sache que si Bob s'y prend bien il a une stratégie infaillible qui lui permet de gagner avec une probabilité supérieure à 0.8.

Et là "pas d'intuition" spatiale ou je ne sais quel préjugé physique. Que du formel.

Evidemment :-D :-D !

Merci je vais corriger, ce sont des mots oubliés, j'ai remarqué que ça s'aggrave.

Bonsoir,
j'ai sans doute mal compris, mais je dirais :
Bob propose $A_1=\{1\}$ et il gagne au coup suivant en proposant 1 comme contenu de la centième boite.

Edit : j'avais mal lu en effet.

@Calli:

Soit $a$ l'ensemble des $x$ tels que $[x\in x$ => Calli est beau et tendre (abrégé en CEBT) $]$.

On a $a\in a \to (a\in a\to CEBT)$, autrement dit $[(a\in a)$ et $(a\in a)]$ => CEBT.

Comme $a\in a$ implique $[(a\in a)$ et $(a\in a)]$, il s'en suit qu'on a

$(a\in a)$ => CEBT.

Donc que $a\in a$.

Or on vient de prouver que

$(a\in a)$ => CEBT, c'est donc que finalement Calli est beau et tendre

Je t'ai mis en rouge la mauvaise raison: on a dupliqué une garantie.

Le jour où tu dupliqueras un billet de banque, tu m'appelles :-D

Calli a écrit:

Par exemple, il a employé deux fois cette semaine l'expression "pour de mauvaises raisons" à propos de maths, sans que je sache qu'elles étaient ces raisons, ni pourquoi elles étaient mauvaises.

Je vais essayer de t'expliquer ce que j'en pense. Christophe dit (et a raison de le dire) que tout raisonnement est correct : si je te montre un raisonnement et que tu doutes de sa conclusion, on va discuter ensemble et au bout d'un moment, tu vas me dire : "ha mais tu as utilisé une hypothèse fausse" ou "ha mais tu supposes telle phrase qui a l'air d'un axiome logique mais qui n'en est pas un" ou quelque chose du style. Christophe dit aussi que toute "règle logique" invoquée doit être considérée comme une hypothèse du raisonnement en question. Bref, un exemple qu'il utilise souvent est que les "fausses démonstrations de $1=0$" où on divise à un moment par $0$ est en fait... un théorème affirmant "si un truc mérite de s'appeler $1/0$, alors $1=0$". Ok ? Pour le résumer vite : "un raisonnement est toujours correct, et il est en fait plutôt le prétexte d'un débat où le.a sceptique est invité.e à pointer l'hypothèse/règle logique qui ne lui plairait pas, au cas où la conclusion du raisonnement ne lui plaît pas".

Or, il y a une règle logique qui dit que si tu as une hypothèse, tu peux l'utiliser plusieurs fois dans ton raisonnement ; eh bien celle-là, elle intéresse beaucoup certaines personnes qui font de la logique. Par exemple, en mécanique quantique, il y a une impossibilité prouvable de cloner des choses ; et, de manière plus terre-à-terre, si tu as un billet de cinq euros, tu peux t'acheter un kebab ou tu peux t'acheter un burger, mais si tu achètes l'un, tu ne peux plus acheter l'autre.

Et du coup, Christophe aime bien montrer des démonstrations aux conclusions surprenantes et dire : oui mais regardez, on a utilisé cette hypothèse deux fois. Enfin, si j'ai bien compris, dans la situation où Christophe parlait, il y a un raisonnement dont nous (toi, moi, etc.) n'acceptons pas la conclusion. En regardant bien, on se rend compte, comme on pouvait s'y attendre, que ce raisonnement utilise un "axiome" faux ; mais ce que Christophe dit, c'est que, certes, cet "axiome"-là est faux, et donc c'est normal que vous le pointiez du doigt, mais voyez quand même qu'on a utilisé deux fois une hypothèse ici, et ça, c'est quelque chose de beaucoup plus intéressant !

Dans le dernier exemple, supposons que tu n'es pas beau ou pas tendre. Christophe utilise l'axiome "il existe un ensemble $a$ qui contient exactement les $x$ qui ne se contiennent pas eux-mêmes". Les personnes qui ont entendu parler du paradoxe du barbier, et Foys le premier, montent au créneau pour dire : "hopopopop, papiers du véhicule monsieur, vous savez que vous utilisez le schéma de compréhension non restreint là ?". Mais ce que Christophe voulait que tu voies, c'est que si jamais cet axiome ne posait pas problème, il faudrait plutôt douter du reste, et en particulier de l'histoire d'utiliser deux fois une hypothèse.

Christophe, est-ce que tu veux dire (ou juste nous faire envisager) que le schéma de compréhension non restreint seul, et sans autorisation de dupliquer les hypothèses, n'est pas contradictoire ?