Platonisme
Bonjour à toutes et à tous,
j'aimerais bien comprendre un peu ce que les gens entendent par platonisme, et l'importance que ça a. Je vais faire une série d'affirmations. Pouvez-vous me dire si elles sont hors-sujet, fausses, idiotes, ou juste ce que vous en pensez ? Bien entendu, vous pouvez ajouter ce que vous voulez !
1) Je crois que pour Dehornoy, il y a une sorte de "réalité mathématique" avec des trucs dedans, et que les phrases mathématiques que nous formulons y sont soit vraies, soit fausses, et que les démonstrations sont un moyen d'accéder à cette information, et de voir si les axiomes de ZFC, par exemple, collent bien avec cette réalité.
2) J'ai l'impression que ce que Dehornoy veut dire est équivalent à quelque chose comme : il y a un "vrai" modèle de ZFC, et nous tentons d'y accéder. Je dis ça parce que la seule notion formalisée de "vrai" que je connaisse, c'est qu'un énoncé peut être vrai dans un modèle de blablabla.
3) J'ai l'impression que le platonisme est une attitude d'auto-persuasion psychologique de croire que les maths "parlent de quelque chose", afin d'y trouver de l'intérêt, de faciliter la découverte et la mémorisation de théorèmes et de démonstrations. Par exemple, croire que les nombres réels existent vraiment, voir le plan complexe dans sa tête et, pour chaque polynôme, voir s'allumer sur ce plan l'ensemble fini de ses racines, ce n'est pas la même attitude que de considérer la suite de caractères correspondant à la démonstration de "pour tout corps ordonné archimédien complet, si on lui ajoute une racine de $-1$, alors on obtient un corps algébriquement clos". Pour faire une analogie, le platonisme serait comme l'attitude qui consiste, quand on lit un roman, à croire que les personnages existent vraiment, ont vraiment des sentiments, au lieu de considérer "froidement" que ce roman n'est qu'un élément parmi tant d'autres de l'ensemble $\{a,b,c,d,e,f,\dots,x,y,z\}^{n}$.
4) J'ai l'impression que ces questions n'ont aucune importance, parce que les maths consistent uniquement à produire des démonstrations correctes, ou, autrement dit, ne sont qu'un jeu syntaxique qui ne parle de rien.
5) Christophe, de temps en temps, j'ai l'impression que tu dis que plein de domaines des maths consistent à (essayer de) fabriquer des $P$ arbitraires et des démonstrations de $ZFC \vdash P$, ou $PA \vdash P$ et que tu dis que ça n'a aucun intérêt ; et que par contre, le domaine appelé "théorie des ensembles", lui, consiste à, étant donné des $P$, chercher des $Q$ et à (essayer de) démontrer que $ZFC + Q \vdash P$. Mais démontrer $ZFC + Q \vdash P$ est aussi difficile que démontrer $ZFC \vdash (Q \Rightarrow P)$, et donc, qu'est-ce qui différencie la théorie des ensembles des autres spécialités ?
j'aimerais bien comprendre un peu ce que les gens entendent par platonisme, et l'importance que ça a. Je vais faire une série d'affirmations. Pouvez-vous me dire si elles sont hors-sujet, fausses, idiotes, ou juste ce que vous en pensez ? Bien entendu, vous pouvez ajouter ce que vous voulez !
1) Je crois que pour Dehornoy, il y a une sorte de "réalité mathématique" avec des trucs dedans, et que les phrases mathématiques que nous formulons y sont soit vraies, soit fausses, et que les démonstrations sont un moyen d'accéder à cette information, et de voir si les axiomes de ZFC, par exemple, collent bien avec cette réalité.
2) J'ai l'impression que ce que Dehornoy veut dire est équivalent à quelque chose comme : il y a un "vrai" modèle de ZFC, et nous tentons d'y accéder. Je dis ça parce que la seule notion formalisée de "vrai" que je connaisse, c'est qu'un énoncé peut être vrai dans un modèle de blablabla.
3) J'ai l'impression que le platonisme est une attitude d'auto-persuasion psychologique de croire que les maths "parlent de quelque chose", afin d'y trouver de l'intérêt, de faciliter la découverte et la mémorisation de théorèmes et de démonstrations. Par exemple, croire que les nombres réels existent vraiment, voir le plan complexe dans sa tête et, pour chaque polynôme, voir s'allumer sur ce plan l'ensemble fini de ses racines, ce n'est pas la même attitude que de considérer la suite de caractères correspondant à la démonstration de "pour tout corps ordonné archimédien complet, si on lui ajoute une racine de $-1$, alors on obtient un corps algébriquement clos". Pour faire une analogie, le platonisme serait comme l'attitude qui consiste, quand on lit un roman, à croire que les personnages existent vraiment, ont vraiment des sentiments, au lieu de considérer "froidement" que ce roman n'est qu'un élément parmi tant d'autres de l'ensemble $\{a,b,c,d,e,f,\dots,x,y,z\}^{n}$.
4) J'ai l'impression que ces questions n'ont aucune importance, parce que les maths consistent uniquement à produire des démonstrations correctes, ou, autrement dit, ne sont qu'un jeu syntaxique qui ne parle de rien.
5) Christophe, de temps en temps, j'ai l'impression que tu dis que plein de domaines des maths consistent à (essayer de) fabriquer des $P$ arbitraires et des démonstrations de $ZFC \vdash P$, ou $PA \vdash P$ et que tu dis que ça n'a aucun intérêt ; et que par contre, le domaine appelé "théorie des ensembles", lui, consiste à, étant donné des $P$, chercher des $Q$ et à (essayer de) démontrer que $ZFC + Q \vdash P$. Mais démontrer $ZFC + Q \vdash P$ est aussi difficile que démontrer $ZFC \vdash (Q \Rightarrow P)$, et donc, qu'est-ce qui différencie la théorie des ensembles des autres spécialités ?
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Réponses
Pour 3), tu dis que c'est de l'autopersuasion, et que c'est comme "croire que les personnages existent vraiment" : peux-tu affirmer que ces personnages n'existent pas ? Un exemple similaire est "Mario [le personnage de jeu vidéo ] existe-t-il ?". Naturellement il n'y a pas d'amas physique de trucs qui s'appelle Mario et se comporte comme on s'attendrait que Mario se comporte mais d'un autre côté, si je discute avec quelque'un de Mario, on saura de quoi je parle, on se comprendra et on pourra dire "non ça c'est faux" ou "oui ça c'est vrai" à propos d'affirmations concernant Mario (e.g. "oui, Mario a une moustache", "non Mario n'est pas blond"). Il me semble compliqué d'affirmer que ces énoncés n'ont pas de sens où sont faux puisqu'il y a moyen de les vérifier et surtout qu'on se comprend quand on parle (cf. "Wittgenstein" : quand on discute, l'important n'est pas que nos mots se réfèrent à quelque chose mais que l'on se comprenne)
Inversement, si tu es prêt à affirmer que Mario "n'existe pas" (quoi qu'exister veuille dire) , est-ce que moi j'existe ? En admettant que chaque atome de mon corps est là, moi je ne suis qu'une structure abstraite qu'on emploie pour désigner cet amas d'atomes qui est plus ou moins stables (pour des laps de temps très courts mais réitérés) et qui semble se comporter comme une entité à part : qu'est-ce qui te permettrait de dire que j'existe et pas Mario ? Ou la planète Terre ? Le soleil, etc.
Ce que j'essaie de dire avec mes exemples c'est que l'existence est compliquée à définir; et que si on accepte de la considérer comme un phénomène émergent (mon existence émerge de l'amas d'atomes qui me constitue, et on ne peut pas imaginer autre chose puisqu'il n'y a pas d'objet physique fixé que je peux raisonnablement appeler "Maxime") alors considérer que les personnages de romans (ou de jeux vidéos : Mario) ou les objets mathématiques existent n'est que naturel; et alors (en suivant [ma compréhension de ] Wittgenstein) pour discuter de ces choses qui existent de manière émergente, puisque leurs noms ne se réfèrent à rien, il faut en parler de manière à se comprendre, et c'est le mieux qu'on puisse espérer.
Dans ton 4) tu dis que ça n'a aucune importance. Là je dis qu'il y a deux réponses : si tu considères que dans l'ensemble la philosophie est une entreprise inutile et sans aucune importance, alors effectivement, je ne pourrai pas te convaincre que la question du platonisme a un quelconque intérêt sans d'abord changer ton avis sur la philo.
Si au contraire tu es d'accord que la philo a un intérêt, alors tu ne peux être qu'intéressé par la question du platonisme vs formalisme (qui est une fausse dichotomie puisqu'il y a d'autres options mais c'est plus facile à présenter comme ça). En effet si les maths ne sont qu'un jeu d'écriture et réécriture, comment comprendre qu'elles s'appliquent si bien au monde réel ?
Comment comprendre que quand j'ai deux stylos dans une main, deux stylos dans l'autre, j'ai au total 4 stylos ?
Moins dans la philo et plus dans le pragmatisme, imagine que je suis une entreprise d'avions, et que mon nouvel avion utilise un programme informatique dans sa sécurité en vol; et que mes mathématicien.ne.s ont prouvé (mathématiquement) que le programme fonctionnait et empêchait bien à l'avion de se crasher : comment utiliser cette information si les maths ne sont qu'un jeu de symboles ? Quel est le rapport entre la preuve de mes mathématicien.ne.s et le vrai programme sur mon avion sur lequel repose la vie de centaines de personnes à chaque vol ?
À ce sens, la question du platonisme et de la notion d'existence des objets mathématiques est primordiale !
Par exemple, le platonisme apporte "une réponse" possible (ce n'est pas à dire que lui ou elle soit correcte !) : le programme d'avion et les objets que les mathématicien.ne.s manipulent ne sont que des modèles imparfaits d'un même objet réel, parfait (qu'on ne peut observer - dont l'existence pourrait être émergente) et donc quand les mathématicien.ne.s prouvent des choses, elles peuvent (on espère) s'appliquer à l'objet réel et donc au deuxième model imparfait : le programme d'avion.
Je peux donc avoir confiance en la preuve et faire voler mon avion (sauf si je suis très écolo mais c'est une autre question :-D)
Voilà, c'était un peu long, mais j'espère un minimum intéressant
Pour Mario, je pense que la vraie question philosophique "est-ce que Mario existe" est vague, et surtout ne change rien au plaisir qu'on a à jouer à la console. Par contre, l'acte momentané de "faire semblant de croire que Mario existe" (et ce, qu'il existe vraiment ou non) est fait par beaucoup de gens.
Quand je dis que je pense que la question du platonisme est sans importance, je voulais dire, vis-à-vis des mathématiques que l'on produit ; banalement, le fait de savoir que Gauss était platonicien ou non ne change rien à la validité de ses théorèmes.
Et enfin, pour cette histoire d'application au réel, c'est pour moi un mystère ! Mais pour moi, les maths ne démontrent pas que les avions ne s'écrasent pas ; elles démontrent juste que la théorie gravité+mécanique des fluides prédit que l'avion, construit de telle façon et conduit de telle façon, ne s'écrasera pas.
Naturellement, le platonisme, en pratique, change au plus la manière dont on réfléchit aux problèmes (comme tu disais, on s'imagine le plan complexe dans son cerveau), mais ne change pas les théorèmes que l'on écrit, ni la validité de leurs preuves - je suis d'accord.
Je ne parlais pas vraiment de démontrer que l'avion s'écrase ou pas, je parlais de démontrer la validité d'un programme utilisé par l'avion, même si ça se rejoint. Mais en ce sens la question devient : si cette preuve n'est qu'une suite de symboles, pourquoi ça me satisfait et je suis prêt à monter en avion même si cette preuve n'a aucun rapport avec le vrai avion ? ( une suite de symboles qui suit des règles arbitraires n'a aucun lien avec des atomes qui s'entrechoquent dans un moteur)
J'élaborerai plus tard mais ce n'est pas parce que $E=\emptyset$ que $F^E=\emptyset$ et que $f:E\to F$ n'a "pas de sens".
La valeur des maths consiste précisément en la capacité à à forger ce $f:E\to F$, la question de la vacuité de $E$ étant secondaire (et différente de la problématique de la description précise de $E$).
De même le platonisme est un ensemble de prises de positions personnelles variant d'un mahématicien à l'autre et ne jouant aucun rôle dans la validité des mathématiques (cf plus haut: l'existence ou non de $m\in E$ n'empêche pas celle de $f:E\to F$).
Pour certains types $T$ on se donne deux symboles $parfois [T ]: (T \to Prop)\to Prop$ et $toujours[ T ]: (T \to Prop) \to Prop$.
Si $S$ est un type, $F:Prop$ et $x$ une lettre de type $S$, $\lambda x F$ est de type $S\to Prop$ et la phrase
"Il existe $x$ de type $S$ tel que $F$" est la version en prose de "$parfois (\lambda x F)$; de même la phrase "pour tout $x$ de type $S$ on a $F$" signifie $toujours (\lambda x F)$.
Les abréviations $\exists (x:S) F$, $\forall (x:S) F$ (ou des variantes) peuvent être utilisées.
Le point très important est que:
$\exists (x:S) F$ exprime une propriété de $F$ et SURTOUT PAS de $x$ qui n'est qu'une variable liée , remplaçable par une autre!!! (dans certaines variantes du lambda calcul $x$ disparaît carrément dans la formation du terme $\lambda x F$)
Donc des phrases comme "est-ce que super mario existe" sont avant tout mal typées et doivent être reformulées pour être abordables mathématiquement (et pas que d'ailleurs).
Ce serait comme partir d'une théorie dont on ne sait pas si elle est cohérente, et justifier sa cohérence par le fait que la théorie en question prouve sa propre cohérence.
Mais je peux comprendre que tu ne souhaites pas la traiter non-mathématiquement (après tout, on est sur un forum de mathématiques); je rappelle simplement que j'avais explicitement précisé que mon message initial ne se voulait pas mathématique, et n'avait pas vocation à être traité mathématiquement.
Pour le platonisme c'est un peu pareil. Dire qu'on ne l'est pas voudrait situer l'infinitude des nombres premiers (par exemple) ou le fait que 945 est le plus petit nombre abondant dans l'espace temps et par contraste tant qu'on a pas trouvé la caverne où c'est inscrit lui denier son absoluite. Un peu comme le procès fait à ceux qui croient non pas à Dieu mais aux prophètes. Le platonicien ne loge pas l'absoluite de la premierete de 19 dans une caverne galactique.
Être platonicien ce N'EST PAS l'obligation de croire à la consistance de ZF , n'en déplaise aux caricaturistes.
De mon téléphone
Je partage pleinement le point de vue platonicien de Patrick Dehornoy dont Georges parlait dans son premier post.
Pour moi, il existe une sorte d'"univers réel" dans lequel on aimerait bien vivre, disons y faire des mathématiques, même si cet univers "de rêve" peut varier peu ou prou d'un mathématicien à l'autre.
Mais là où j'en rajoute une couche par rapport à Patrick (à moins qu'il l'ait dit quelque part auquel cas j'ai zappé), c'est que pour moi tout modèle de ZFC n'est qu'une approximation de l'univers réel… approximation d'autant plus fine qu'on rajoute à ZFC des axiomes de grands cardinaux de plus en plus exigeants.
Je m'explique.
Löwenheim-Skolem nous dit qu'il existe un modèle dénombrable de ZFC. Certes. Mais je pense que tout le monde sera d'accord avec moi que ce modèle est loin d'être le candidat idéal pour occuper le poste d'univers réel. En effet, nous qui "dominons la situation par en dessus" avons tendance à traiter l'habitant du modèle en question de gros petzouille, genre : "Espèce d'imbécile, tu vois pas que ton cardinal soi-disant $\beth_{\omega}$ il est tout ce qu'il y a de dénombrable. Je fais t'en filer, moi, des bijections !"
Supposons maintenant qu'il existe dans l'univers réel un cardinal fortement inaccessible, et soit $\kappa$ le plus petit d'entre eux. On sait que $V_{\kappa}$ est modèle de ZFC. Ce modèle-là paraît déjà plus sérieux : il est transitif, donc sa relation d'appartenance n'est pas artificielle comme le précédent, et il a les mêmes cardinaux que nous jusqu'à un certain niveau. Mais on voit qu'il est encore incomplet, en particulier parce qu'il n'a pas d'inaccessibles.
And so on, on peut continuer ainsi ad vitam aeternam tout le long de la hiérarchie des grands cardinaux.
Vous en pensez quoi ?
J'ai souvent parlé d'une de mes injections dynamiques préférées de IR dans IN. De mon téléphone ca va être.un peu vite dit mais je la rappelle.
Pour avoir l'image du réel x (quelconque):
1/ Monter jusqu'au premier ordinal badge u tel que Lu contient x comme élément.
2/ Chercher la première définition d sans paramètre de x dans Lu
3/ renvoyer l'entier (P,d) où P est le badge de u.
Un ordinal s est dit badge par un énoncé clos Q quand il est le premier tel que
Lu models ZF + tout réel a une définition + Q, et j'appelle alors Q son badge.
Plus un univers monte haut (ordinalement parlant) plus l'ensemble de definition de cette injection partielle de IR dans IN est grand. Mais elle est dynamique autrement dit aucun univers ne parvient à la rendre définie sur IR tout entier. Par contre évidemment tous led univers la voient pareil au sens que les versions partielles sont des prolongations les unes des autres.
Et tous led grands cardinaux possibles et imaginables qu'on inventera ne feront gagner que peu de territoire à l'ensemble de définition car on doit monter en hauteur.
Ce qui me semble clair, c'est que 7 est un nombre premier, qu'il ne peut pas ne pas être premier, que son caractère de nombre premier ne résulte d'aucune convention ou choix. Son caractère premier s'impose à nous, et sa premièreté est comme une chose du monde extérieur, que nous découvrons. Pour 7, ça semble élémentaire, mais pour 8565593 ça l'est moins.
Je ne peux pas dire mon mot sur les histoires de consistance de systèmes d'axiomes, puisque je n'en suis qu'au début de mon étude du sujet - Logique mathématique de Cori et Lascar - mais je constate déjà (ce que je subodorais) qu'on aborde ces questions des fondements en supposant déjà des fondements. On va construire nos systèmes formels sur la base de chaînes, par exemple, en supposant que les objets élémentaires qui forment ces chaînes (les «lettres», etc.) existent, qu'on peut en faire des chaînes et qu'on peut les manipuler avec les règles mathématiques habituelles. Si on considère que tout n'est que convention, sur la base de quoi admet-on par exemple que si $a$ est une sous-chaîne de $b$, et $c$ une autre chaîne, alors $a$ est aussi une sous-chaîne de la concaténation $bc$? Et non seulement on utilise dans cette formalisation cette mathématique de base, mais aussi des considérations sur des ensembles infinis, et même qui utilisent l'axiome du choix (genre que si dans un ensemble quelconque de propositions tout sous-ensemble fini est satisfaisable, alors l'ensemble tout entier est satisfaisable). Je ne sais pas quel rôle l'axiome du choix, et d'autres axiomes (déjà sur l'existence d'ensembles infinis) jouent dans la suite de la construction formelle, mais ça me pose quand même des questions.
Si on n'accepte pas que certaines choses sont vraies et vraiment vraies, sans recours à une formalisation préalable, non seulement on ne va pas accepter ZF ou ZFC comme vrais ou faux «dans l'absolu», mais on ne va même pas pouvoir tenir comme discours «Dans le cadre de ZFC, on peut démontrer que...». On ne tiendra aucun discours du tout. Faire croire qu'on peut tenir toutes les vérités mathématiques pour conventionnelles (par opposition à réelles) tout en faisant des mathématiques quelles qu'elles soient est une absurdité.
À la base, je pense que tous les discours contre le réalisme mathématique, comme ceux contre le réalisme éthique (c'est intéressant que la question se pose un peu dans les mêmes termes dans les deux domaines), n'ont aucune valeur tant qu'on ne s'est pas rendu compte que le problème du réalisme en général - «qu'est-ce qui montre que quelque chose existe?» - est de même nature, ou en tout cas n'a rien d'évident lui non plus. On trouve pourtant plein de discours anti-réalistes concernant les mathématiques et/ou l'éthique de la part de personnes qui semblent trouver complètement évidente l'existence de la «réalité matérielle». Or les développements de la physique du siècle dernier ont rendu cette existence bien ténue; sans parler des développements philosophiques des siècles précédents. La «réalité» matérielle existe, nous répond-on, parce que c'est l'évidence de nos sens qui nous le dit, et il n'est pas sérieux de la remettre en cause. Pourtant, le fait que 7 est un nombre premier me frappe comme tout aussi évident, et on veut m'expliquer que ce n'est que convention? C'est là, je pense, qu'il y a un manque de sérieux.
Le platonisme pour moi c'est juste dire qu'on découvre et non qu'on invente les maths. Autrement dit accorder à l'extensionnalite tout son rôle.
Hein ? Comment ça ? Là, il faut t'expliquer !
Vous irez fouiller l'archive et trouverez u e erreur "jamais vue" avant dans la preuve classique. Et alors?
L'important me semble t il est de bien mesurer "ce qu'on ferait si". Peano offre "d'assez bonnes assurances post" mais déjà ZF nettement moins par exemple. Il y a même une correspondance de mieux en mieux comprises entre force des théories et asdurance-post.
Constance et platonisme ne dont pas synonymes. Ne pas oublier que les preuves syntaxiques différent des phrases écrites en ce qu'il e phrase ecrite sur papier ou dans ordi utilisent plusieurs OCCURRENCES d'une même lettre faisant aidn dépendre la valeur du texte de l'existence d'un graphe où seules des flèches différentes apparaissent mais menant en 3D à LA MEME OCCURRENCE. Ces graphes sont rarement dessinés puisque n'existent qu'en 3D.
Alors c'est que l'énoncé était faux, il n'est pas soudainement devenu faux quand on a trouvé l'erreur, il l'était déjà et ceux qui ont cru qu'il était vrai en 2019 se sont trompés.
Par ailleurs, même si on arrive à donner un sens distinct aux mots "inventer" et "découvrir", je ne vois pas comment il pourrait y avoir d'objection à ce qu'on se trompe en pensant inventer quelque chose ou à ce qu'on se trompe en pensant découvrir quelque chose. En fait, le constat de base, c'est que potentiellement, tout le monde peut se tromper, sur tout, sans que ça change la nature de ce sur quoi on se trompe.
La conviction de l'immuabilité des théorèmes EST UNE CONVICTION que l'on peut redéfinir en définition certes, par exemple en disant, si on découvrait un diviseur de 19 en 2034 que ce diviseur existait déjà en 1515 et que personne ne l'avait vu avant. On PEUT LE DIRE. Ça ne mange pas de pain.
Bon courage, mon ami. LOL
tout cela est pour moi assez compliqué, juste deux points pour le plaisir de la discussion :
1° Quand on évoque le réalisme mathématique ou platonisme, j’aime bien citer la conférence de Jacques Bouveresse que je trouve éclairante :
http://athena.unige.ch/athena/bouveresse/bouveresse-platonisme-mathematique.html
Il montre qu’au-delà de la question de la réalité des objets mathématiques, se pose la question de l’accès que nous avons à cette éventuelle réalité.
2° Par ailleurs, j’ai des idées simples : est pour moi réel, ce qui résiste ; est pour moi vrai, ce qui dure.
J’associe la résistance au réel, grâce à l’allemand, où on parle de « Wirklichkeit » pour désigner la réalité. Or ce mot est apparenté au verbe wirken, qui signifie peu ou prou « agir » et au substantif Werk, qui signifie l’œuvre, c’est à dire « ce qui a été agi ». Est réel donc ce qui agit, c’est-à-dire expérimentalement ce qui réagit, ce qui résiste.
A ce titre les mathématiques sont réelles puisqu’elles résistent à notre volonté, on ne peut pas en faire ce que l’on veut. Certes c’est une action abstraite, dans le domaine des idées et non de nos 5 sens, mais cela reste une action.
J’associe la vérité à la durée, par l’allemand « Wahrheit » qui signifie justement vérité. Or ce mot est voisin du verbe wahren qui signfie « faire durer » et du verbe währen qui signifie durer ; Est donc vrai ce qui dure.
A ce titre, tout ce qui est vrai est aussi réel, car ce qui dure, résiste, l’inverse n’étant pas vrai (la physique est justement l’étude des changements des phénomènes). Les mathématiques sont également vraies, car elles durent : un théorème reste vrai, même si on l’oublie.
Le fait que la vérité des mathématiques soit relative à un choix préalable d’axiomes, ne change rien à l’affaire : Paris est une ville si on se place sur la planète Terre, pas au-delà, ce n’en est pas moins vrai que Paris est une ville.
Ces conceptions sont certainement assez grossières...
Cordialement