Hilbertopie

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
J'ai la sensation bizarre de pouvoir prouver l'énoncé suivant qui me paraît pourtant aberrant. Je lance un appel à un contre exemple.

Soit H un Hilbert de dimension infini et S sa sphère unité. Soit f continue de S dans H. Il existe alors un cercle équatorial dont l'image directe par f est incluse dans un sous-espace de dimension 2 ? (ou finie, ou éventuellement pas équatorial mais de rayon non nul le cercle affirmé).
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Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    @christophe c tu excuseras mon ignorance crasse mais qu'elle est la définition de "cercle équatorial" voir de cercle tout court sur la sphère unité d'un Hilbert ?

    L'intersection d'un hyperplan avec $S$ peut-être ?
  • christophe c
    christophe c
    Oui c'est ça (équatorial : l'hyperplan passe de plus par le centre)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • raoul.S
    raoul.S
    @cc je crois bien que c'est faux. Si on prend pour $f$ la restriction de l'identité à $S$ un tel cercle n'existe pas. Car autrement tous les hyperplans seraient de dimension finie. Enfin comme ça à la "va-vite".
  • Poirot
    Poirot
    Avec n'importe quelle application linéaire continue de rang non fini on obtient un contre-exemple d'ailleurs.
  • christophe c
    christophe c
    Ououla mille pardons j'ai mal répondu à Raoul. J'ai laissé bêtement trainer le préfixe "hyper".

    Je voulais parler de PLAN et non pas "d'HYPERplan". Je vous ai fait poster pour rien alors que la vie est courte.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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