Bijection de $\R$ dans $\N$ ?
Bonjour les matheux,
je me demandais s'il existait une bijection de R dans N ?
J'ai beau essayer d'en trouver une je n'arrive pas donc je me demandais si c'était possible ou non avec justification !
J'ai l'impression que ce n'est pas possible à cause du fait que N est inclus dans R mais n'y est pas dense.
Des idées ?
je me demandais s'il existait une bijection de R dans N ?
J'ai beau essayer d'en trouver une je n'arrive pas donc je me demandais si c'était possible ou non avec justification !
J'ai l'impression que ce n'est pas possible à cause du fait que N est inclus dans R mais n'y est pas dense.
Des idées ?
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Réponses
La densité n’est pas un argument : il existe une bijection entre $[0;1]$ et $\R$ (Tu dois pouvoir trouver ça ;-)).
Et entre tout intervalle non vide et non réduit à un point $(a;b)$ et $\R$.
Essaye de trouver tout ça ;-).
Remarque : les parenthèses autour de $a;b$ signifient que tu peux mettre les crochets dans n’importe quel sens.
Une preuve (la plus répandue) utilise le développent décimal des réels, en passant en base deux pour se simplifier la vie.
Un lien : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1713946,1714942
skikis : je te propose de te renseigner d'abord sur la preuve que Dom mentionne, avant de regarder la suite de ce que je raconte.
Sinon il y a la preuve originale de Cantor qui, même si elle est plus compliquée, est assez visuelle et plus "topologique" : il construit, à partir d'une bijection (en fait surjection) $f : \N\to \R$ deux suites $(a_n), (b_n)$ qui sont presque adjacentes, et il montre que tout réel qui se trouve au milieu (il en existe au moins un) n'est pas dans l'image de $f$ :
Pour la construction de $(a_n)$ et $(b_n)$ : on les construit par récurrence, à l'étape $n+1$ on fait comme suit : je prends le plus petit $k$ qui n'a pas déjà été utilisé et qui est tel que $a_n < f(k) < b_n$ et je dis $a_{n+1} := f(k)$ (et je déclare que "$k$ a été utilisé") et puis le plus petit $l$ qui n'a pas été utilisé tel que $a_{n+1} < f(l)<b_n$, je dis $b_{n+1}:= f(l)$ (et déclare que $l$ a été utilisé).
Pour "le réel qui se trouve au milieu" : on regarde $\bigcap_n [a_n; b_n]$, il s'agit d'utiliser le théorème des segments emboîtés pour montrer que c'est non vide. Ensuite, la preuve que si $x$ y est alors il n'est pas dans l'image de $f$ est intéressante et je la laisse en exo.