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Bonjour,

C’est le « commun » raisonnement par l’absurde qui n’en est pas tout à fait un.
Ta démonstration est juste mais le vocabulaire pourra t’être reproché.

Le raisonnement par contraposée donne :
Soit $f$ croissante de $R$ dans $R$.
si $f\neq id_R$ alors $f\circ f\neq id_R$.

En fait c’est ce que tu fais dans ta preuve.
Et on peut se passer complètement de l’expression « raisonnement par l’absurde ».

Remarque :
Je colle un lien : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,929257
Cette histoire de « raisonnement par l’absurde qui n’en est pas un » est assez répandue. Même dans des ouvrages sérieux ou encore même par des profs sérieux et compétents.
Toute ma formation a été faite dans cette « mouvance ». C’est La Logique (discipline à part entière) qui fait ce travail de nomenclature.
Je ne crois pas qu’il faille s’inquiéter. Ce n’est pas utile de s’embrouiller là-dessus.
Mais dans ce lien tu pourras peut-être te faire une idée.
Je t’avoue que je ne suis pas encore au point sur la question.

Excuse-moi Dom, mais le diable se cache dans les détails, et la démonstration d'Attien n'est pas tout à fait correcte :
de x < f(x) on peut déduire f(x) $\leqslant$ x, mais certainement pas f(x) < x.

Par ailleurs, nul besoin de raisonnement par l'absurde ou par contraposition :
Pour tout réel x, x $\leqslant$ f(x) ou x $\geqslant$ f(x) puisque l'ordre est total.
Si x $\leqslant$ f(x), alors f(x) $\leqslant$ x et f(x) = x.
Si x $\geqslant$ f(x), alors f(x) $\geqslant$ x et f(x) = x.
Dans tous les cas, f(x) = x.

de rien :-)

J'essaye (encore, oui, oui, je sais) de synthétiser (façon bouquin austère qui balance le truc sans commentaire :

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On appelle "utiliser un Raisonnement Par l'Absurde" lorsque l'on utilise l'axiome suivant :

Pour tout $A$, $\Bigg( (A\to Tout) \to \Big( (A\to Tout)\to Tout \Big) \Bigg) \to A$.

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1) C'est ça ?

2) Je comprends que l'on suppose deux fois $(A\to Tout)$, tu en parles souvent pour le RPA.
Mais je me dis qu'un gars de mauvaise foi pourra toujours dire "supposons $(A\to Tout)$, et supposons $(A\to Tout)$" ou un subterfuge du même type pour rentrer dans les clous.
Dis-je des bêtises ? Et surtout vois-tu ce que je veux dire ?

3) Je ne vois pas de négation sans ce truc là, ne m'engueule pas si j'ai l'air d'un touriste.
Est-ce que $non(A)$ est justement $(A\to Tout)$ qu'on pourrait traduire (toute proportion gardée) vulgairement par "bah si on n'a pas $A$ alors on a n'importe quoi !"

EDIT : j'ai déjà posé des questions là-dessus dans ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1209957,1210051 que j'avais même initié.
Ce n'est pas faute d'avoir essayé d'assimiler le schmilblick.
Que les intervenants ne m'en veuillent pas, je suis dans le cas où il faut m'expliquer longtemps.
A force de procrastiner, j'oublie une partie du travail déjà fait (oui, oui, j'ai déjà fait le début du boulot...) et je dois recommencer...

Ne te fatigue pas trop Christophe, je vais relire le fil de jadis.
Je pose les mêmes questions (pas en les mêmes termes, cela dit) et je clôture par "je reviendrai"...