Défi

Dans le seul article que j'ai publié au CRAS, j'ai associé canoniquement à tout ordre total (construit sans AC) sur IR un élément unique canonique de IR qui est le maximum quand il existe et qui sinon joue un role de succédané de maximum.

Je viens de m'apercevoir d'un leger trou dans l'ensemble de ces phénomènes , tout bizarre et à priori assez subalterne que je ne parviens à prouver qu'assez salement et incomplètement avec des passages assez pourris.

Donc je vous le transmets. Soit E espace compact , f continue de E dans E et R un ordre total sur E (sans aucune hypothèse qui le relie à la topologie ou f). On suppose quand même qu'il n'est pas construit avec AC (par exemple borélien si vous voulez).

Prouver qu'il existe x tel que (x,f(x)) est dans R.

Remarque: c'est relativement facile quand f Lipschitzienne. Je ne trouve pas d'extension simple quand f est juste.continue.

Je numeroterai ça dans IEFD.