Somme vide, produit vide
Parmi les choses qui tournent autour de l'ensemble vide, il y a :
- une réunion indexée par l'ensemble vide : on peut démontrer que ça donne l'ensemble vide, donc que $\displaystyle \bigcup_{i \in \varnothing}E_i = \varnothing$ n'est pas "juste" une convention.
- une intersection indexée par l'ensemble vide : idem, on on peut démontrer que ça donne l'ensemble vide.
- un produit cartésien indexé par l'ensemble vide : par définition, c'est l'ensemble des applications définies sur l'ensemble vide, il n'y en a qu'une, l'application vide $\varnothing$, donc on peut démontrer que $\displaystyle \prod_{i \in \varnothing}E_i = \{\varnothing\}$.
Bon.
Maintenant, plaçons-nous dans un anneau unitaire $(A,+,\times)$, de neutres respectifs $0$ et $1$.
Je n'ai jamais trouvé de source où les formules $\displaystyle \sum_{x \in \varnothing}x = 0$ et $\displaystyle \prod_{x \in \varnothing}x = 1$ sont introduites comme des théorèmes, juste des conventions pratiques. Peut-on démontrer qu'elles sont vraies, ou pas ?
- une réunion indexée par l'ensemble vide : on peut démontrer que ça donne l'ensemble vide, donc que $\displaystyle \bigcup_{i \in \varnothing}E_i = \varnothing$ n'est pas "juste" une convention.
- une intersection indexée par l'ensemble vide : idem, on on peut démontrer que ça donne l'ensemble vide.
- un produit cartésien indexé par l'ensemble vide : par définition, c'est l'ensemble des applications définies sur l'ensemble vide, il n'y en a qu'une, l'application vide $\varnothing$, donc on peut démontrer que $\displaystyle \prod_{i \in \varnothing}E_i = \{\varnothing\}$.
Bon.
Maintenant, plaçons-nous dans un anneau unitaire $(A,+,\times)$, de neutres respectifs $0$ et $1$.
Je n'ai jamais trouvé de source où les formules $\displaystyle \sum_{x \in \varnothing}x = 0$ et $\displaystyle \prod_{x \in \varnothing}x = 1$ sont introduites comme des théorèmes, juste des conventions pratiques. Peut-on démontrer qu'elles sont vraies, ou pas ?
Réponses
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Homo Topi écrivait:
> - une intersection indexée par l'ensemble vide : idem, on on peut démontrer que ça donne
> l'ensemble vide.
Nan pas d'accord. Si on se place dans le monoïde commutatif des parties d'un ensemble fixé $E$ pour l'intersection, l'intersection indexée par le vide est l'élément neutre, c.-à-d. $E$.
> Maintenant, plaçons-nous dans un anneau unitaire $(A,+,\times)$, de neutres respectifs $0$ et $1$.
> Je n'ai jamais trouvé de source où les formules $\displaystyle \sum_{x \in \varnothing}x = 0$ et
> $\displaystyle \prod_{x \in \varnothing}x = 1$ sont introduites comme des théorèmes, juste des
> conventions pratiques. Peut-on démontrer qu'elles sont vraies, ou pas ?
À mon avis ça fait partie de la définition de l'itérée d'une loi de composition interne indexée par un ensemble fini $I$ dans un monoïde commutatif. En notant la loi comme un produit noté $*$ d'élément neutre $1$ :
$$\begin{aligned}
\prod_{i\in \emptyset} x_i&=1\\ \prod_{i\in I} x_i&= x_j * \prod_{i\in I\setminus\{j\}} x_i\quad \text{si } j\in I\;.
\end{aligned}$$ -
Version rectifiée :
Si je me donne un ensemble $X$, et $(E_i)_{i \in \varnothing}$ une famille de parties de $X$ indexée par $\varnothing$, alors $\displaystyle \bigcap_{i \in \varnothing}E_i := \{x \in X \mid \forall i \in \varnothing : x \in E_i\} = X$ car la condition $\forall i \in \varnothing : x \in E_i$ est vide.
Que $X$ soit un monoïde de parties ou je ne sais quoi, cette définition ensembliste est totalement générale... non ?
Mais sinon, pour le produit vide égal au neutre, c'est donc une définition qu'on pose "comme ça", pas un truc qui se démontre ? -
L'intersection des éléments de A est "l'endemble" des x tels que pour tout e dans A : x dans e. L'intersection de l'ensemble vide contient donc Monsieur Homotopie :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Tu tye trompes dans la définition de l'intersection : $x$ appartient à l'intersection de $E_i$ quand, pour tout $i$, $x$ appartient à $E_i$.
Si tu veux définir une somme finie, tu le fais par récurrence en initialisant avec l'ensemble d'indices vide. Et tu vois que tu peux difficilement faire autrement que d'adopter la définition donnée pour l'ensemble d'indices vide si tu veux avoir la propriété que $\sum_{i\in I} x_i + \sum_{i\in J} x_i = \sum_{i\in I\sqcup J} x_i$. -
Quantificateur exists : réunion
Quantificateur forall : intersectionAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oui, je me suis gourré sur un quantificateur (j'avais le bon en tête, mais j'ai écrit le mauvais, et donc j'ai fait tout le reste faux... ça va, avec moi on a l'habitude à force). Du coup mon intersection, avec le bon quantificateur, c'est $X$. En plus, je sais que c'est ça... je ne sais pas pourquoi je n'ai pas tilté :)o
Et voilà un argument qui me plaît. Avec les sommes finies. Nickel ! -
On a d'ailleurs un statut étrange pour ce désir de morphisme (impliquant le "1") pour les produits Y COMPRIS SI QUE ASSOCIATIVITÉ puisqu'on a les listes qui servent de structure LIBRE. Tu connais probablement mais sinon pour éviter la présence d'un désir Google etc la notion de liberté (groupes libres etc )Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Je veux juste revenir (et être lourd) sur l'intersection vide. L'intersection d'une famille d'ensembles indicée par $\emptyset$ ne peut pas valoir $X$, ça n'aurait pas de sens.
Ce qui est vrai c'est que la borne inf d'une famille vide dans $(P(X), \subset)$ est $X$, la dénonstration étant évidente. Maintenant pour l'intersection d'une famille vide on a au moins 3 choix :
- On est dans une théorie qui a un ensemble universel, auquel cas l'intersection vide, c'est lui. La preuve est évidente, christophe l'a donnée
-On n'a pas d'ensemble universel mais on veut à tout prix garder $\bigcap_{i\in I}E_i = \{x \mid \forall i\in I, x\in E_i\}$. Dans ce cas on n'a pas le choix : on doit imposer qu'une intersection ne se fait que sur une famille non vide. C'est peu élégant, peu naturel, peu satisfaisant (jugement entièrement subjectif bien sûr)
-on n'a pas d'ensemble universel, mais on est prêt à adapter la définition d'intersection. Dans ce cas, la définition suivante est souvent adoptée : $\bigcap_{i\in I}E_i := \{x\in \bigcup_{i\in I}E_i \mid \forall i \in I, x\in E_i\}$. Dans ce cas l'intersection vide est l'ensemble vide : la preuve est à nouveau évidente. Ça a plusieurs inconvénients (on perd l'associativité notamment, ou en tout cas il faut la préciser) mais au moins on a une définition uniforme. -
Oui, celle que moi je voulais utiliser, c'est la dernière, j'aurai quelques vérifications à faire dans mes papiers.
-
De mon téléphone: si en tant qu'objet mathématique c'est formel et précis et on peut vouloir s'amuser avec , ta dernière, max , me paraît totalement confidentielle. Bon après je n'ai pas lu toute la littérature du monde mais un critère qui semble minimal de toute façon pour la vocation de cette notion c'est sa DÉCROISSANCE pour l'inclusion: plus on intersecte d'ensembles moins on obtient de monde dans le résultat (principe allant d'ailleurs naturellement bien au delà de la compétence en maths puisque usité dans toute les notions de sélection de la vie courante.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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