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Sujet du bac philo :-D

Envoyé par christophe c 
Sujet du bac philo :-D
le mois dernier
En villégiaturant, il m'est venu l'idée de créer ce fil.

Origine: [www.les-mathematiques.net]

+ Nombreux mails privés que j'ai reçus apparemment d'un gars qui pensait que je comprendrais son combat (qui semblait avoir eu des déboires avec le forum, mais je n'ai pas suivi ou ne me rappelais plus en tout cas son problème).

Proposition de discussion: NE SAUTER AUCUNE ETAPE MEME INFIME DETAIL DANS étude de la question suivante.

Tirer équiprobablement (loi uniforme) un point de la sphère S indice n-1 est il équivalent à tirer équiprobablement (loi uniforme USUELLE) un point de la boule B indice n et de le diviser par sa norme?

Le relatif flou de la question donne du grain à moudre.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Sujet du bac philo :-D
le mois dernier
Qu'entends-tu exactement par équivalent ?

Si $n=1$, alors tirer uniformément un point de la sphère est juste une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=1/2$ (pile ouf face). Comment relier ça à un sous-ensemble de $[-1,1]$ ?
Re: Sujet du bac philo :-D
le mois dernier
Dans ce cas c'est "évident": tu tires (uniformément) un élément de [-1,1] et prends son signe (ce qui revient bien à la diviser par sa norme). 0 ayant proba nulle de survenir.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Sujet du bac philo :-D
le mois dernier
Ca veut dire quoi exactement tirer uniformément un élément de $[-1,1]$ ? Vu que la mesure d'un singleton est nulle...
Dom
Re: Sujet du bac philo :-D
le mois dernier
J’en ai compris : loi uniforme continue sur le segment.
La densité étant un créneau, non ?
Re: Sujet du bac philo :-D
le mois dernier
Mathématiquement, le but est de montrer l'unicité d'une mesure de probabilité invariante par rotation sur la sphère.
De même, "tirer un nombre uniformément dans $[-1,1]$" veut dire "exhiber une mesure de proba $P$ sur $[-1,1]$" telle que pour tous $a,b$, $P([a,b])= \frac{b-a}{2}$ (la probabilité d'un segment est proportionnelle à sa longueur). Bon ça c'est trivial, on sait que c'est la moitié de la mesure de Lebesgue.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Foys.
Re: Sujet du bac philo :-D
il y a sept semaines
Merci à foys d'avoir proposer une formalisation à laquelle j'ajoute cependant une précision (enfin 2)

1/ pas de sigma additivité supposée d'emblée, ce serait tue l'amour.

2/ les mesurables doivent être au moins les boreliens (pour éviter la migration vers la complexité des ensembles qui serait HS ici.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Sujet du bac philo :-D
il y a sept semaines
christophe c écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------
> Tirer équiprobablement (loi uniforme) un point de la sphère S indice n-1 est il équivalent à
> tirer équiprobablement (loi uniforme USUELLE) un point de la boule B indice n et de le diviser par sa norme ?

On construit justement une mesure de probabilité uniforme sur $S_{n-1}$ via la mesure à densité $h=\vert Jac(f)\vert$ où $f$ est la transformation "sphérique" puis on normalise.
Si on prend la loi uniforme usuelle, et que ces deux mesures sont égales sur un cube alors elles sont égales partout. Il me semble que c'est évident.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
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