Géométrisation de la logique.
Bonsoir à tous,
J'aimerais vous exposer un problème qui me tracasse depuis ce matin : :-)
Il s'agit d'une variante du théorème de Gelfand Naimark, très connu en géométrie non commutative, ou du théorème de Swan en théorie des fibrés sur des espaces de Hausdorff compacts, et modules projectives, ou de plein d'autres théorèmes dans d'autres théories algébro-géométriques, comme la théorie des schémas, la théorie des faisceaux quasi cohérents, la théorie de surfaces de Riemann ... etc.
Le point commun entre ces théorèmes issues de plusieurs théories distinctes, mais présentant une certaines analogie, est la possibilité d'algébrisation de certains espaces géométriques, et la géométrisation de certaines structures algébriques, d'où la correspondance :
- Géométrie $ \longleftrightarrow $ Algèbre.
Entrons dans le vif du sujet :
J'aimerais trouver une démonstration de l'anti-équivalence fonctorielle suivante qui permet de voir la théorie des ensembles comme une géométrisation de la logique, et inversement, la logique comme une algébrisation de la théorie des ensembles.
Il s'agit de l'anti-équivalence suivante :
$$ \{ \ \mathrm{sets} \ \} \simeq \{ \ \text{complete atomic Boolean algebras} \ \}^{ \mathrm{op} } $$
Comment démontrer l'anti-équivalence entre ces deux catégories ?
Merci d'avance.
J'aimerais vous exposer un problème qui me tracasse depuis ce matin : :-)
Il s'agit d'une variante du théorème de Gelfand Naimark, très connu en géométrie non commutative, ou du théorème de Swan en théorie des fibrés sur des espaces de Hausdorff compacts, et modules projectives, ou de plein d'autres théorèmes dans d'autres théories algébro-géométriques, comme la théorie des schémas, la théorie des faisceaux quasi cohérents, la théorie de surfaces de Riemann ... etc.
Le point commun entre ces théorèmes issues de plusieurs théories distinctes, mais présentant une certaines analogie, est la possibilité d'algébrisation de certains espaces géométriques, et la géométrisation de certaines structures algébriques, d'où la correspondance :
- Géométrie $ \longleftrightarrow $ Algèbre.
Entrons dans le vif du sujet :
J'aimerais trouver une démonstration de l'anti-équivalence fonctorielle suivante qui permet de voir la théorie des ensembles comme une géométrisation de la logique, et inversement, la logique comme une algébrisation de la théorie des ensembles.
Il s'agit de l'anti-équivalence suivante :
$$ \{ \ \mathrm{sets} \ \} \simeq \{ \ \text{complete atomic Boolean algebras} \ \}^{ \mathrm{op} } $$
Comment démontrer l'anti-équivalence entre ces deux catégories ?
Merci d'avance.
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Réponses
Oui, alors, dans un premier temps, on définit le premier foncteur : $ F \ : \ \{ \ \mathrm{sets} \ \} \longrightarrow \{ \ \text{complete atomic Boolean algebras} \ \}^{ \mathrm{op} } $ par : $ F(E) = \mathcal{P} ( E ) $, et le deuxième foncteur : $ G \ : \{ \ \text{complete atomic Boolean algebras} \ \}^{ \mathrm{op} } \to \{ \ \mathrm{sets} \ \} $, j'ai du mal à l'exprimer proprement. Peux tu m'aider s'il te plaît ?
Merci d'avance.
Dans tes rêves, $A=P(E), B=P(F)$ et $f= g^{-1}$ avec $g: F\to E$. Dans ce rêve là, comment décrire $g$ à partir de $f$ ?
Si tu veux plus d'indications et vu que tu aimes les trucs catégoriques abstraits ( (:D ) tu peux décrire $g$ à partir de $f$ en pensant à l'équivalence $\mathbf{Set}/X \simeq \mathbf{Set}^X$
Alors, je sais que le foncteur $ \mathcal{P} \ : \ \mathrm{Ens} \to \mathrm{Ens} $ est représentable par l'ensemble : $ \{ 0 , 1 \} $.
En effet : $ \forall E \in \mathrm{Ens} $ : $ \mathcal{P} (E) = \mathrm{hom}_{ \mathrm{Ens} } ( E , \{ 0 , 1 \} ) $. Non ?
Soit $ f : A \to B $ un morphisme d'algèbres de Boole atomique complète.
Comme tu le dis, si dans mes rêves $ A = \mathcal{P} ( E ) $ et $ B = \mathcal{P} ( F ) $, alors : $ f = \mathcal{P} (g) \ : \ \mathcal{P} ( E ) \to \mathcal{P} ( F ) $ qui s'identifie à $ f = \mathrm{Hom} ( g , \{ 0 , 1 \} ) \ : \ \mathrm{hom}_{ \mathrm{Ens} } ( F , \{ 0 , 1 \} ) \to \mathrm{hom}_{ \mathrm{Ens} } ( E , \{ 0 , 1 \} ) $ définie par : $ \mathrm{hom} (g , \{ 0 ,1 \} ) ( h ) = h \circ g $ avec : $ g : F \to E \in \mathrm{Set} / \{ 0 ,1 \} $. Non ?
Mais, je ne comprends pas où tu veux en venir. (:D
Donc : $ g : \ \mathrm{hom}_{ \text{ Bool } } ( B , \{ 0 , 1 \} ) \to \mathrm{hom}_{ \text{ Bool } } ( A , \{ 0 , 1 \} ) $ défini par : $ g ( h ) = h \circ f $. Non ?
Mais comment justifier que : $ E/ \{ 0 , 1 \} = \mathrm{hom}_{ \text{ Bool } } ( A , \{ 0 , 1 \} ) $ et $ F / \{ 0 , 1 \} = \mathrm{hom}_{ \text{ Bool } } ( B , \{ 0 , 1 \} ) $?
Merci d'avance.
1- Tu as mal renseigné le domaine (ou le codomaine) de $\mathcal P$
2- tu justifies une représentabilité de foncteur par une égalité qui a- n'en est pas une; b- en admettant l'abus de notation sur $=$ (qui n'est pas si grave) ne concerne que les objets, pas les flèches. La propriété en question est vraie, mais ce n'est ni utile ici ni une preuve complète.
3- Tu mélanges $A\to B$, $B\to A$, $E\to F$ et $F\to E$.
4- Tu écris $g: F\to E \in \mathbf{Set}/\{0,1\}$ ce qui n'a pas de sens ici
5- Tu réutilises la notation $g$ pour une autre application qui n'a rien à voir.
6- Tu écris $E/\{0,1\}$ qui n'est pas une notation usuelle et que tu n'as pas défini, et tu écris une égalité avec $\hom (A, \{0,1\})$ que tu voudrais justifier mais pour ça il faudrait déjà définir tes termes.
Et finalement tu n'as rien écrit de nouveau, juste répété des choses soit inutiles, soit fausses, soit sans aucun sens, soit reprises du contexte sans aucun apport. Voilà pourquoi je dis que tu racontes n'importe quoi. Si tu veux que je t'aide plus (peut-être d'autres seront plus généreux.ses) il faudra que tu écrives des choses qui ont un sens sans lancer des mots que tu ne comprends pas et que tu précises ce qui te pose problème
Peux tu m'écrire ici la solution du problème de manière propre pour que je puisse la mémoriser pour que ça devient une habileté pour moi ? Merci infiniment.
Et non je ne le ferai pas - ce n'est pas comme ça ("mémoriser une solution") qu'on fait des maths. Par contre, si tu fais des efforts, je t'aiderai à trouver la solution
Tu voudrais dire que : $ \mathcal{P} \ : \ \mathrm{Ens} \to 2^\mathrm{Ens} $. Non ?
Je précise que $ 2 $ est la catégorie : $ 2 = \{ 0 , 1 , \ \mathrm{id}_0 : 0 \to 0 , \mathrm{id}_1 : 1 \to 1 , f_{0,1} : 0 \to 1 \ \} $
Bon allez je te donne un coup de main : si $f:E\to F$ alors $f^{-1} : P(F)\to P(E)$ vérifie $f(x)=y \iff y\in f^{-1}(x) \iff \{y\} \leq f^{-1}(\{x\})$
La, tu veux appliquer ça à des choses où l'évidence n'a par essence pas besoin d'être retenue (autrement dit tu veux pontifier un cycle de longueur ... 3 , voire 2). Scientifiquement c'est littéralement idiot. Une évidence de longueur 1 milliard on comprend qu'on l'habille, mais une de longueur 3 bof bof.
Quant à utiliser le mot géométrie à toutes les sauces idem. Les ensembles sont les espaces projectifs sue le corps F1 (c'est vrai), mais le dire => s'inscrire aux soirées des précieuses ridicules.
Et je ne commenterai pas tes difficultés avec la syntaxe tes confusions entre a^b et b^a, mais en plus du reste elles ne te fo t pas avancer. Dommage, si tu étais plus simple on essaierai de s'orienter.
Soit $ \{ y \} \in \mathcal{P} ( F ) $ un atome de $ F $ :
On pose : $ L_y = f^{-1} ( \{ y \} ) \in \mathcal{P} ( E ) $.
Alors : $ f : E \to F $ défini par $ f(x) = y $, est l'unique morphisme tel que : $ f^{-1} ( \{ f(x) \} ) = L_{ f(x) } $. Non ?
C'est redondant, mais ...
Voilà. J'ai défini $ f : F \to E $. Et après ?
Edit : Croisement avec le message de CC.
A partir d'un morphisme $ f : E \to F $, on construit un morphisme : $ f^{-1} : \mathcal{P} ( F ) \to \mathcal{P} ( E ) $, et inversement, à partir d'un morphisme $ g \in \mathrm{hom}_{ \mathrm{Bool } } ( A, B ) $, on a pu ''recover'' $ f : E \to F $ tel que : $ f^{-1} = g $. Ainsi, $ \Phi_{E,F} \ : \ \mathrm{hom}_{ \mathrm{Set} } ( E , F ) \to \mathrm{hom}_{ \mathrm{Bool } } ( \mathcal{P} ( F ) , \mathcal{P} ( E ) )$ est bijective pour tout $ E,F \in \mathrm{Set} $. D'où : le foncteur : $ \bullet^{-1} : \mathrm{Set} \to \mathrm{Set} $ est fully faithful. Il reste à montrer qu'il est essentiellement surjective. C'est à dire, $ \forall A $ : a complete atomic boolean algebra, il existe $ E \in \mathrm{Set} $ tel que $ \mathcal{P} ( E ) = A $.
Comment faire pour résoudre ça ?
Merci d'avance.
Christophe. Peux tu détailler un peu ce propos que tu affirmes là ? Merci.
Je viens de survoler vite le papier des quelques 27 pages que tu mentionnes, et il suffit de lire la page $ 1 $ et $ 2 $ pour comprendre comment se fait la classification des finitely generated projective modules ( i.e : Algebraic vector bundles over a compact algebraic manifold ) ici sur la $ 2 $ - sphère algébrique : $ B = \mathbb{C} \otimes_{ \mathbb{R} } \mathbb{R} [x,y,z] / ( x^2 + y^2 + z^2 - 1 ) $. Qu'est ce que tu ne comprends pas exactement dans ces deux premiers pages de ton pdf ?
Peux tu m'écrire avec des formules mathématiques, l'expression du foncteur quasi inverse $ T $ ?
Merci d'avance
Je te laisse deviner ce qu'il fait sur les morphismes en utilisant ce que j'ai dit plus haut.
Pour les morphismes :
Soit $ f : A \to B $ un morphisme entre complete atomic Boolean algebras défini par : $ f(x) = y $
Alors, puisque : $ f(x) = y \ \ \Longleftrightarrow \ \{ x \} \leq f^{-1} ( \{ y \} ) $, alors, $ T(f) : T(B) \to T(A) $ est définie par : $ T(f)( a ) = b $, pour tout atome $ a \in B $ tel que $ b \in f^{-1} (a) $. Non ? Mais ce qui pose problème est que $ b $ n'est pas un élément canonique dans $ A $ ( i.e : qui ne dépend pas d'un choix parmi d'autres choix possibles d'éléments dans $ f^{-1} ( \{ a\} ) $ ) qui vérifie : $ T(f) (a) = b $. Comment remédier alors à ce problème ?
Peux tu m'indiquer comment on exprime : $ T(f) : T(B) \to T(A) $ s'il te plaît ? Merci.
Si tu cherches une simplification ou une manière simple de saisir le calcul des objets classifiants figurant dans ton pdf, tu n'as qu'à voir ce qui se passe de point de vue K-théorie topologique, parce que on utilise des notions très basiques de la topologie algébrique, et tu faciliteras aussi la tache pour moi, parce que je ne suis pas familier avec la K - théorie algébrique. J'ai suivi un cours sur la K - théorie algébrique, mais j'ai arrêté au milieu de la route.
Bref,
Dans $ \mathbb{R} $ :
On a : $ \mathrm{Pic} ( A ) = P_1 ( A ) = \mathrm{Vect}_1^{ \mathbb{R} } ( S^2 ) = \pi_1 ( SO_1 ) = 1 $.
On a : $ \tilde{K}_0 ( A ) = \tilde{K}_0^{ \mathrm{top} } ( S^2 ) = \pi_2 ( BO ) = \pi_1 ( O ) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $
avec : $ O $ la limite inductive de la suite des groupes orthogonaux définie par : $ O_1 \to O_2 \to O_3 \to \dots \to \dots $.
Dans $ \mathbb{C} $ :
On a : $ \mathrm{Pic} ( B ) = P_1 ( B ) = \mathrm{Vect}_{1}^{ \mathbb{C} } ( S^2 ) = \pi_1 ( U_1 ) = \pi_1 ( S^1 ) = \mathbb{Z} $.
On a : $ \tilde{K}_0 ( B ) = \tilde{K}_0^{ \mathrm{top} } ( S^2 ) = \pi_2 ( BU ) = \pi_1 ( U ) = \mathbb{Z} $
avec : $ U $ la limite inductive de la suite des groupes unitaires définie par : $ U_1 \to U_2 \to U_3 \to \dots \to \dots $.
Je ne suis pas familier avec la version algébrique des groupes de Picard comme groupes des idéaux inversibles pour la multiplication. Cependant pour l'exemple des groupes de Picard figurant dans ton pdf, je connais la version topologique qui dit que $ P(A) = 0 $ parce que, à isomorphisme près, tout fibré en droites réel est trivialisable sur $ S^2 $. Donc, $ P(A) = \mathrm{Vect}_1^{ \mathbb{R} } ( S^2 ) = 1 = \{ \mathbb{R} \times S^2 \} $.
On a, en version topologique également, $ P(B) = \mathrm{Vect}_1^{ \mathbb{C} } ( S^2 ) = \mathbb{Z} = \{ \ O(n) \ | \ n \in \mathbb{Z} \ \} $ avec : $ O(n) = O(1) \otimes \dots \otimes O(1) $ ( $n$ - fois ) où $ O(1) $ est le dual du fibré tautologique $ O (-1) $ sur $ S^2 $.
Je pense aussi qu'il est important de rappeler ce qui suit:
1/ L'arbitrage des maths est toujours évident.
2/ Ce qui est difficile dans les maths, c'est de gagner, et non pas d'arbitrer
3/ Pour des raisons pratiques, les discussions d'experts, durant le cours de leur recherche d'une preuve de quelque chose qu'ils essaient de prouver, cours qui peut durer 50 ans, peuvent apparaitre complexes et informelles. Mais ce ne sont que des échanges d'intimité. In fine, si une preuve est trouvée, ce sera une succession brutale, formelle d'évidences et d'admis antérieurs. Un logiciel très simple, sans âme a priori pourra valider la preuve.
4/ Les maths étant de la logique appliquée, la logique garde beaucoup plus "congénitalement" ce que je viens de rappeler à l'état visible et immédiat. En effet, sinon, il faudrait dire "et pourquoi ça, et comment tu prouves ci, etc" à chaque étape et au final on n'aurait rien gagné.
5/ Quand la logique "devient difficile", c'est dû à des choses qui sont maintenant bien connues et ont un statut prouvable: les grands cardinaux, pour le dire médiatiquement, les échelles de consistency-strength pour le dire de manière plus grise.
6/ Mais au niveau** 0 (ie algèbre, géométrie, etc), voire au niveau 1 (analyse), les atomes sont accessibles à tous et bien connus. Prétendre les jenesaispasquoi (les géométriser par exemple) provoquerait une boucle d'invalidité, puisque l'édifice reposerait exactement sur admettre des choses qui seraient prétendument revendiquées comme "élucidées" par ledit édifice.
** niveaux de certitude (plus l'indice est grand moins c'est sûr à cause des axiomes de l'infini engagés).
Pas grave pour ce petit dérapage qui s'est produit.
Claude pourra aussi apporter son aide sur ce sujet s'il en a. Je n'ai jamais vu Claude discuter de théorie des ensembles / Logique depuis son arrivée au forum. Je ne sais pas s'il a du gout pour ça. :-)
:-D
Des mots, toujours des mots ..........
Des promesses, toujours des promesses ..........
Pablo est toujours incapable de fournir la moindre démonstration de ses élucubrations !!!!!.........
Tu es et restera un clown, comme dit par ailleurs !!
Cordialement,
Rescassol
Je ne demande pas ce qui est impossible à réaliser.
Je demande juste qu'on m'ouvre un compte sur arxiv.org et m'autoriser la publication dans cette revue. Après la publication, vous aurez tous la démonstration devant vos yeux. Ainsi, ce mystère derrière la résolubilité des équations algébriques par radicaux vous sera ôté et vous serez tous satisfait pour ce travail laborieux de recherche que j'ai réalisé.
Par précaution, on ne sait jamais une descente de police est si vite arrivée, j'ai effacé mes 3 contributions qui relevaient de l'algèbre et faisaient vraiment tache par rapport aux autres échanges de logique. Sincèrement désolé : à l'avenir, je ne le ferais plus, promis, juré.
Tu as raison, Claude.
Continue en algèbre tes échanges passionnants avec Gai Requin et Goléon.
Je suis loin de tout comprendre, mais je suis.
Cordialement,
Rescassol
En rien, et je l'ai précisé juste après, je ne faisais le moindre reproche à qui que ce soit, ni ne souhaitais, même indirectement, demander à "ce fil" (dont la place devrait plutôt être dans shtam) de s'orienter vers de la logique.
De manière générale, de toute façon, à moins de souhaiter défendre la notion de propriété ou de droit d'auteur, je n'encourage pas le recours à l'effacement.
J'espère qu'un jour tu m'expliqueras le sentiment très fortement hostile que tu exhibes assez régulièrement contre la logique. (Mais ceci est totalement un apparté et non en rapport avec ce fil)
Peux tu compléter jusqu'à la fin ?