Qu'est-ce qu'un nombre ?

Précision concernant les grandeurs. Tu as plutôt affaire à un corps formel dans lequel, en l'attente de découvertes cumulatives, les unités peuvent être regardés comme des indéterminées (et le corps comme un corps des fractions sur $\R$).

Tu as donc une "vraie égalité" comme $3kg+5kg=8kg$ et comme $(50km)/(3heures) = (50/3)\times (km/heure)$, ce qui ne survient pas avec les couples. En outre, le fait qu'on ne sache pas à l'heure actuelle quoi penser de $3kg+8km$ ne doit pas amener à penser qu'on ne le saura jamais.

Certains progrès, comme par exemple l'envie de prendre d'ajouter l'axiome $c=1$ où $c$ est la vitesse limite de causalité sûre, nous font tendre vers certaines identifications, encore à l'état de projet, ici par exemple le fait de considérer qu'une vitesse est un nombre. Idem avec l'identification futur-spéculable entre masse et énergie via $E=mc^2$ qui n'est que $E=m$ si on admet $c=1$.

Pour info, ces interrogations sont encadrées assez sévèrement par les théorèmes d'Alembert et de Gelfand Mazur, :

1/ Alembert => le corps des grandeurs sera un jour ou bien $\R$, ou bien $\C$ ou bien de dimension infinie sur $\R$ (ou ne sera pas)

2/ GF => le corps des grandeurs sera un jour ou bien $\R$, ou bien $\C$ ou bien ne sera pas normable (ou ne sera pas)

J'ai écarté les quaternions, car on peut considérer qu'une des lignes rouges à ne pas franchir en ce qui concerne les nombres est la commutativité de la multiplication. Ca écarte aussi les matrices, mais les matrices envoient un message précieux et indirect qui rappelle aux gens (très nombreux, même parmi les pros, qui ne le savent pas) que $\times = \circ$. J'en profite pour signaler que:

$$ + := [a\mapsto (b\mapsto (f \mapsto ((a(f))\circ (b(f)))) )] $$

et qu'elle est elle-même sujette à une restriction en ce qui concerne sa commutativité, mais on n'en parle beaucoup moins que de la non commutativité de $\times$ (ou de $\circ$).

Comme rappelé par Nicolas, l'ascension $\N\to \Q\to \R$, avec arrêt prouvable à $\R$ semble pour l'heure ce qui est le plus communément considéré comme définition de "nombres". Le nombre complexe $i$ est appelé "nombre" par coquetterie (ça n'en le rend pas moins important).

Pour l'heure le CGM semble a priori de dimension infinie même si, en prenant $c:=1$, on n'a que 3 générateurs "atomiques" (tps-espace; masse), ie deux "indéterminées mathématiques". En outre, l'opération puissance semble très fortement présente dans les activités physiques, par là, j'entends "puissance d'exposants non entiers.

1°) En théorie des ensembles, les nombres entiers sont les ordinaux finis (i.e successeurs et dont tous les éléments non vides sont successeurs: par exemple: $0:=\emptyset$, $1:=\{\emptyset\}$, $2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, $3:=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$ etc; plus généralement, le "successeur" d'un ensemble $E$ est l'ensemble $E\cup \{E\}$. En quelque sorte l'ensemble des nombres entiers naturels est le plus petit ensemble contenant $\emptyset$ et stable par successeur).

2°) Soit $A$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $*$.Dans tout le reste de ce message, si $x$ et $y$ sont des éléments de $A$, $x*y$ sera noté $x(y)$.
On suppose l'existence de $s,k\in A$ tels que
i) pour tous $x,y\in A$, $k(x)(y)=x$
ii) pour tous $x,y,z\in A$, $s(x)(y)(z)=x(z)(y(z))$.
Une telle structure s'appelle un système applicatif; l'étude des systèmes applicatifs est la logique combinatoire. Un bon livre d'introduction technique sur le sujet est "Lambda-Calculus and Combinators: An Introduction" de J.R Hindley et J.P. Seldin. Il y a aussi les livres ludiques de Smullyan ("mocking a mockingbird" ou "Diagonalization and Self-reference") pour un traitement plus léger et pédagogique.
L'existence de systèmes applicatifs non réduits à un seul élément et un point technique que nous admettrons ici (ce n'est pas si long que ça, je le ferai peut-être plus tard).

Dans la suite on considère de tels $A,s,k$ et on introduit d'abord d'autres notations et outils.

A) On pose $i:= s(k)(k)$. Alors pour tout $x\in A$, $i(x)=x$.
En effet, $i(x)=s(k)(k)(x)=k(x)(k(x))=x$.

On pose $b:=s(k(s))(k)$. Alors pour tous $x,y,z\in A$, $b(x)(y)(z)=x(y(z))$.
On a $b(x)(y)(z)= s(k(s))(k)(x)(y)(z)=k(s)(x)(k(x))(y)(z)=s(k(x))(y)(z)=k(x)(z)(y(z))=x(y(z))$

C) on a $k(i)(f)(x)=x$ pour tous $f,x\in A$.
$k(i)(f)(x)=i(x)=x$

D) On pose $\sigma:= s(b)$. Alors pour tous $p,f,x\in A$, $\sigma(p)(f)(x)=f(p(f)(x))$.
$\sigma(p)(f)(x)= s(b)(p)(f)(x)=b(f)(p(f))(x) =f(p(f)(x))$

Les points C) et D) permettent de représenter des entiers dans $A$. En effet On peut définir par récurrence une application de $\N$ dans $A$ en posant $\overline 0:=k(i)$ et pour tout $n\in \N$, $\overline{n+1}:= \sigma(\overline n)$. Les éléments de $A$ obtenus de cette façon s'appellent "entiers de Church".
On peut vérifier à l'aide de C) et D) que pour tous $f,x\in A$, $\overline 0 (f)(x) = x$, $\overline 1 (f)(x)= f(x)$, $\overline 2 (f) (x) = f(f (x))$, $\overline 3 (f) (x) = f(f(f(x)))$, $\overline 4 (f) (x) = f(f(f(f(x))))$ et ainsi de suite. En fait les éléments de $A$ sont vus comme des sortes de fonctions et $\overline p$ est l'opération qui applique $p$ fois une fonction à son argument (pour résumer informellement, le point de vue des entiers de Church est qu'un nombre entier est la répétition successive d'une même action - zéro consistant à ne rien faire).

On introduit d'autres objets.
E) On pose $c:= s(b(b)(s))(k(k))$. Alors pour tous $x,y,z$, $c(x)(y)(z) = x(z)(y)$.
$s(b(b)(s))(k(k))(x)(y)(z) = b(b)(s)(x)(k(k)(x))(y)(z)=b(s(x))(k)(y)(z)=s(x)k(y)(z)=x(z)(k(y)(z))=x(z)(y)$

F) On pose $t:=c(i)$. Alors pour tous $x,y$, $t(x)(y)=y(x)$
$c(i)(x)(y)=i(y)(x)=y(x)$.

G) addition dans $A$: On pose $\oplus:=t (\sigma)$. Alors pour tous entiers $p,q$, on a $\oplus(\overline p)(\overline q)=\overline{p+q}$
On a pour tous $x,y\in A$, $\oplus (x)(y) = t (\sigma) (x)(y)= x (\sigma)(y)$. Le résultat se montre alors par récurrence sur $p$: $\oplus (\overline p) (\overline q)= \overline p (\sigma) (\overline q)$ est le résultat de $p$ applications successives de $\sigma$ (succession) sur $q$. Par exemple $\overline 7$ est le résultat de 4 applications de l'opération de succession sur $\overline 3$ (=$\overline {4+3}$).

H) multiplication dans $A$: On pose $\otimes:= c(b(c)(c(b)(\oplus)))(\overline 0)$. Alors pour tous entiers $p,q$ on a
$\otimes(\overline p) (\overline q) = \overline {p \times q}$
Pour tous $x,y$, $\otimes (x)(y) = c(b(c)(c(b)(\oplus)))(\overline 0)(x)(y)= b(c)(c(b)(\oplus))(x) (\overline 0)(y) = c (c(b)(\oplus)(x))(\overline 0)(y) = c(b)(\oplus)(x) (y) (\overline 0) = b (x) (\oplus) (y) (\overline 0) = x (\oplus (y)) (\overline 0) $.
Ainsi, $\otimes(\overline p) (\overline q)= \overline p (\oplus (\overline q)) (\overline 0) $ est le résultat de l'addition de $\overline q$ à $\overline 0$, répétée $p$ fois de suite.

I) puissances dans $A$: On pose $\uparrow:=c(b(c)(b(t)(\otimes)))(\overline 1)$. Alors pour tous $p,q$ entiers,
$\uparrow (\overline p)(\overline q)= \overline {p^q}$.
Pour tous $x,y\in A$, $\uparrow (x) (y) = c(b(c)(b(t)(\otimes)))(\overline 1)(x)(y) = b(c)(b(t)(\otimes))(x)(\overline 1)(y) = c(b(t)(\otimes) (x))(\overline 1) (y) = b(t)(\otimes)(x)(y)(\overline 1)=t(\otimes (x))(y)(\overline 1)=y(\otimes (x))(\overline 1)$.
Donc si $p,q$ sont entiers, $\uparrow (\overline p)(\overline q)=\overline q(\otimes (\overline p))(\overline 1)$ est le résultat de $q$ multiplications successives de $\overline 1$ par $\overline p$. Remarquer que $\uparrow (\overline 0) (\overline 0) = \overline 1$ (référence à un minidrame survenu sur le forum il y a quelques semaines ;-) ).

En fait si on s'en donne la peine, toute fonction récursive sur les entiers est représentable par un élément de $A$ comme ci-dessus.

Je montre sur un exemple une exécution de l'élimination de masto comme dit en 3-4-5 de mon post précédent.

$x(yz)=$

$Kxz(yz) = $

$ S(Kx)yz = $

$S(KS)Kxyz$

Ce qui vous permet de dire aux diners en ville:

<<Msieurs-dames, permettez-moi de vous présenter $C:= S(KS)K$, que j'appellerai le compositeur, blabla>>

Puisqu'en effet, $Cxyz=x(yz)$

ou, dit autrement, $Cfgx = f(gx)$.

La question posée ne peut pas avoir de réponse précise, il manque un adjectif à côté du mot nombre (relatif, complexe, rationnel...). C'est une question métamathématique à mon humble avis.

Ce n'est pas parce qu'un mot, une expression en Français ressemble à quelque chose qui définit un objet mathématique que cela désigne bien, en effet, un objet mathématique.

Ta question est pour moi du même type que celle-ci: Qui est Jean-Marc? A cette question tout le monde comprend bien qu'on ne peut pas y répondre précisément.