Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
213 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Qu'est-ce qu'un nombre ?

Envoyé par dinjodingo 
Qu'est-ce qu'un nombre ?
il y a cinq semaines
Bonjour à tous !
Dans le cadre de la création d'un logiciel de calcul formel, je suis amené à définir le concept de nombre. La définition sur Wikipédia est un peu floue ...
Existe-t-il une liste de critères à vérifier ?

- Est-ce qu'une matrice est un nombre ? Au départ j'aurais dit non mais sachant qu'il existe un équivalent matriciel pour i, les quaternions, etc. je ne suis plus si sûr ...
- Les "nombres quantiques" sont définis par un quadruplet. Est-ce qu'un upplet de nombres doit être considéré comme un nombre ?
- Est-ce qu'une grandeur physique comme 5km est un nombre ?

Merci de votre aide !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a cinq semaines
avatar
Je dirais non, non et non a priori.
Cela dit, vu la construction habituelle des nombres, une classe d’équivalence de couples de nombres entiers naturels… sert à construire les entiers relatifs.
De même, une classe d’équivalence de couples de nombres entiers relatifs (le deuxième non nul)… sert à construire les rationnels.
Une grandeur physique est un couple (nombre,unité).

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a cinq semaines
Précision concernant les grandeurs. Tu as plutôt affaire à un corps formel dans lequel, en l'attente de découvertes cumulatives, les unités peuvent être regardés comme des indéterminées (et le corps comme un corps des fractions sur $\R$).

Tu as donc une "vraie égalité" comme $3kg+5kg=8kg$ et comme $(50km)/(3heures) = (50/3)\times (km/heure)$, ce qui ne survient pas avec les couples. En outre, le fait qu'on ne sache pas à l'heure actuelle quoi penser de $3kg+8km$ ne doit pas amener à penser qu'on ne le saura jamais.

Certains progrès, comme par exemple l'envie de prendre d'ajouter l'axiome $c=1$ où $c$ est la vitesse limite de causalité sûre, nous font tendre vers certaines identifications, encore à l'état de projet, ici par exemple le fait de considérer qu'une vitesse est un nombre. Idem avec l'identification futur-spéculable entre masse et énergie via $E=mc^2$ qui n'est que $E=m$ si on admet $c=1$.

Pour info, ces interrogations sont encadrées assez sévèrement par les théorèmes d'Alembert et de Gelfand Mazur, :

1/ Alembert => le corps des grandeurs sera un jour ou bien $\R$, ou bien $\C$ ou bien de dimension infinie sur $\R$ (ou ne sera pas)

2/ GF => le corps des grandeurs sera un jour ou bien $\R$, ou bien $\C$ ou bien ne sera pas normable (ou ne sera pas)

J'ai écarté les quaternions, car on peut considérer qu'une des lignes rouges à ne pas franchir en ce qui concerne les nombres est la commutativité de la multiplication. Ca écarte aussi les matrices, mais les matrices envoient un message précieux et indirect qui rappelle aux gens (très nombreux, même parmi les pros, qui ne le savent pas) que $\times = \circ$. J'en profite pour signaler que:

$$ + := [a\mapsto (b\mapsto (f \mapsto ((a(f))\circ (b(f)))) )] $$

et qu'elle est elle-même sujette à une restriction en ce qui concerne sa commutativité, mais on n'en parle beaucoup moins que de la non commutativité de $\times$ (ou de $\circ$).

Comme rappelé par Nicolas, l'ascension $\N\to \Q\to \R$, avec arrêt prouvable à $\R$ semble pour l'heure ce qui est le plus communément considéré comme définition de "nombres". Le nombre complexe $i$ est appelé "nombre" par coquetterie (ça n'en le rend pas moins important).

Pour l'heure le CGM semble a priori de dimension infinie même si, en prenant $c:=1$, on n'a que 3 générateurs "atomiques" (tps-espace; masse), ie deux "indéterminées mathématiques". En outre, l'opération puissance semble très fortement présente dans les activités physiques, par là, j'entends "puissance d'exposants non entiers.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a cinq semaines
Pardon, j'ai oublié de dire que si on s'amuse aussi à déclarer valant $1$ le quantum d'action, l'énergie-masse devient une fréquence (l'inverse d'un temps-distance) et donc on se retrouve avec une seule indéterminée. Mais bon...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a quatre semaines
1°) En théorie des ensembles, les nombres entiers sont les ordinaux finis (i.e successeurs et dont tous les éléments non vides sont successeurs: par exemple: $0:=\emptyset$, $1:=\{\emptyset\}$, $2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, $3:=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$ etc; plus généralement, le "successeur" d'un ensemble $E$ est l'ensemble $E\cup \{E\}$. En quelque sorte l'ensemble des nombres entiers naturels est le plus petit ensemble contenant $\emptyset$ et stable par successeur).

2°) Soit $A$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $*$.Dans tout le reste de ce message, si $x$ et $y$ sont des éléments de $A$, $x*y$ sera noté $x(y)$.
On suppose l'existence de $s,k\in A$ tels que
i) pour tous $x,y\in A$, $k(x)(y)=x$
ii) pour tous $x,y,z\in A$, $s(x)(y)(z)=x(z)(y(z))$.
Une telle structure s'appelle un système applicatif; l'étude des systèmes applicatifs est la logique combinatoire. Un bon livre d'introduction technique sur le sujet est "Lambda-Calculus and Combinators: An Introduction" de J.R Hindley et J.P. Seldin. Il y a aussi les livres ludiques de Smullyan ("mocking a mockingbird" ou "Diagonalization and Self-reference") pour un traitement plus léger et pédagogique.
L'existence de systèmes applicatifs non réduits à un seul élément et un point technique que nous admettrons ici (ce n'est pas si long que ça, je le ferai peut-être plus tard).

Dans la suite on considère de tels $A,s,k$ et on introduit d'abord d'autres notations et outils.

A) On pose $i:= s(k)(k)$. Alors pour tout $x\in A$, $i(x)=x$.
En effet, $i(x)=s(k)(k)(x)=k(x)(k(x))=x$.

B) On pose $b:=s(k(s))(k)$. Alors pour tous $x,y,z\in A$, $b(x)(y)(z)=x(y(z))$.
On a $b(x)(y)(z)= s(k(s))(k)(x)(y)(z)=k(s)(x)(k(x))(y)(z)=s(k(x))(y)(z)=k(x)(z)(y(z))=x(y(z))$

C) on a $k(i)(f)(x)=x$ pour tous $f,x\in A$.
$k(i)(f)(x)=i(x)=x$

D) On pose $\sigma:= s(b)$. Alors pour tous $p,f,x\in A$, $\sigma(p)(f)(x)=f(p(f)(x))$.
$\sigma(p)(f)(x)= s(b)(p)(f)(x)=b(f)(p(f))(x) =f(p(f)(x))$

Les points C) et D) permettent de représenter des entiers dans $A$. En effet On peut définir par récurrence une application de $\N$ dans $A$ en posant $\overline 0:=k(i)$ et pour tout $n\in \N$, $\overline{n+1}:= \sigma(\overline n)$. Les éléments de $A$ obtenus de cette façon s'appellent "entiers de Church".
On peut vérifier à l'aide de C) et D) que pour tous $f,x\in A$, $\overline 0 (f)(x) = x$, $\overline 1 (f)(x)= f(x)$, $\overline 2 (f) (x) = f(f (x))$, $\overline 3 (f) (x) = f(f(f(x)))$, $\overline 4 (f) (x) = f(f(f(f(x))))$ et ainsi de suite. En fait les éléments de $A$ sont vus comme des sortes de fonctions et $\overline p$ est l'opération qui applique $p$ fois une fonction à son argument (pour résumer informellement, le point de vue des entiers de Church est qu'un nombre entier est la répétition successive d'une même action - zéro consistant à ne rien faire).

On introduit d'autres objets.
E) On pose $c:= s(b(b)(s))(k(k))$. Alors pour tous $x,y,z$, $c(x)(y)(z) = x(z)(y)$.
$s(b(b)(s))(k(k))(x)(y)(z) = b(b)(s)(x)(k(k)(x))(y)(z)=b(s(x))(k)(y)(z)=s(x)k(y)(z)=x(z)(k(y)(z))=x(z)(y)$

F) On pose $t:=c(i)$. Alors pour tous $x,y$, $t(x)(y)=y(x)$
$c(i)(x)(y)=i(y)(x)=y(x)$.

G) addition dans $A$: On pose $\oplus:=t (\sigma)$. Alors pour tous entiers $p,q$, on a $\oplus(\overline p)(\overline q)=\overline{p+q}$
On a pour tous $x,y\in A$, $\oplus (x)(y) = t (\sigma) (x)(y)= x (\sigma)(y)$. Le résultat se montre alors par récurrence sur $p$: $\oplus (\overline p) (\overline q)= \overline p (\sigma) (\overline q)$ est le résultat de $p$ applications successives de $\sigma$ (succession) sur $q$. Par exemple $\overline 7$ est le résultat de 4 applications de l'opération de succession sur $\overline 3$ (=$\overline {4+3}$).

H) multiplication dans $A$: On pose $\otimes:= c(b(c)(c(b)(\oplus)))(\overline 0)$. Alors pour tous entiers $p,q$ on a
$\otimes(\overline p) (\overline q) = \overline {p \times q}$

Pour tous $x,y$, $\otimes (x)(y) = c(b(c)(c(b)(\oplus)))(\overline 0)(x)(y)= b(c)(c(b)(\oplus))(x) (\overline 0)(y) = c (c(b)(\oplus)(x))(\overline 0)(y) = c(b)(\oplus)(x) (y) (\overline 0) = b (x) (\oplus) (y) (\overline 0) = x (\oplus (y)) (\overline 0) $.
Ainsi, $\otimes(\overline p) (\overline q)= \overline p (\oplus (\overline q)) (\overline 0) $ est le résultat de l'addition de $\overline q$ à $\overline 0$, répétée $p$ fois de suite.

I) puissances dans $A$: On pose $\uparrow:=c(b(c)(b(t)(\otimes)))(\overline 1)$. Alors pour tous $p,q$ entiers,
$\uparrow (\overline p)(\overline q)= \overline {p^q}$.

Pour tous $x,y\in A$, $\uparrow (x) (y) = c(b(c)(b(t)(\otimes)))(\overline 1)(x)(y) = b(c)(b(t)(\otimes))(x)(\overline 1)(y) = c(b(t)(\otimes) (x))(\overline 1) (y) = b(t)(\otimes)(x)(y)(\overline 1)=t(\otimes (x))(y)(\overline 1)=y(\otimes (x))(\overline 1)$.
Donc si $p,q$ sont entiers, $\uparrow (\overline p)(\overline q)=\overline q(\otimes (\overline p))(\overline 1)$ est le résultat de $q$ multiplications successives de $\overline 1$ par $\overline p$. Remarquer que $\uparrow (\overline 0) (\overline 0) = \overline 1$ (référence à un minidrame survenu sur le forum il y a quelques semaines winking smiley ).

En fait si on s'en donne la peine, toute fonction récursive sur les entiers est représentable par un élément de $A$ comme ci-dessus.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a quatre semaines
Pour les lecteurs intéressés je signale le lien entre nos deux posts à foys et moi.

Pour éviter l'usage de $x\mapsto $, on a découvert que $S,K$ suffisent et foys a directement embrayé sur une présentation qui les admet. Je précise donc que quand on a $S,K$ tels que (priorité à gauche pour les parenthèses) $\forall x,y,z$ :

1/ $Kxy=x$

2/ $Sxyz=xz(yz)$

on n'a plus besoin de disposer de l'outil linguistique $x\mapsto$. La traduction se faisant par récurrence (appels récursifs) comme suit:

3/ $x\mapsto (uv) := S(x\mapsto u)(x\mapsto v)$

4/ $(x\mapsto y):= Ky$

5/ $(x\mapsto x) := SKK$

L'entier de Church $7$ par exemple est $f\mapsto (f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f)$

Dans mon post, j'ai directement les définitions de $+$ et de $\times$.

Comme $\times$ n'est rien d'autre que la composition, je redis que $+$ a l'effet suivant:

$$ +abc := (ac)\circ (bc)$$

Pour les gens qui aiment les écritures traditionnelles, ce n'est rien d'autre que :

$$f^{a+b} = f^b \circ f^a$$

ainsi que

$$f^{(a\times b)} := (f^a)^b$$

Mais en LC on écrira plutôt $n(f)$ que $f^n$, ce qui donne mon post et le post de foys. J'attire l'attention sur le fait que ce sont des définitions et non des axiomes. Je le répète, en fait:

$$ + := [a\mapsto (b\mapsto (f\mapsto [a(f) \circ b(f)]))]$$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a quatre semaines
Je montre sur un exemple une exécution de l'élimination de masto comme dit en 3-4-5 de mon post précédent.

$x(yz)=$

$Kxz(yz) = $

$ S(Kx)yz = $

$S(KS)Kxyz$

Ce qui vous permet de dire aux diners en ville:

<<Msieurs-dames, permettez-moi de vous présenter $C:= S(KS)K$, que j'appellerai le compositeur, blabla>>

Puisqu'en effet, $Cxyz=x(yz)$

ou, dit autrement, $Cfgx = f(gx)$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
il y a quatre semaines
Pour l'algo tu peux rajouter 6/ $(x \mapsto px):=p$ chaque fois que la lettre $x$ ne figure pas dans $p$ (sans quoi on se retrouve avec des écritures géantes: par exemple que se passe-t-il avec $x,y,z \mapsto xzy$ ?)

J'avais utilisé en plus (notations habituelles des livres: $Bxyz=S(KS)Kxyz=x(yz)$ et $Cxyz=xzy$)
Quand $x$ figure dans $f$ mais pas dans $p$
7/ $(x\mapsto pf):= Bp(x\mapsto f)$
8/ $(x\mapsto fp):= C(x\mapsto f)p$

NB: si on ajoute $I$ tel que $Ix=x$ pour tout $x$ et qu'on utilise $(x\mapsto x):=I$, une expression $x_1,...,x_n\mapsto E$ dans laquelle les $x_i$ apparaissent tous une fois et une seule, donne un terme $E'$ tel que $E(x_1,...,x_n)=E'x_1x_2...x_n$ ne contenant que les opérateurs $B,C,I$ (pour faire le lien avec la logique linéaire).



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a quatre semaines
avatar
La question posée ne peut pas avoir de réponse précise, il manque un adjectif à côté du mot nombre (relatif, complexe, rationnel...). C'est une question métamathématique à mon humble avis.

Ce n'est pas parce qu'un mot, une expression en Français ressemble à quelque chose qui définit un objet mathématique que cela désigne bien, en effet, un objet mathématique.

Ta question est pour moi du même type que celle-ci: Qui est Jean-Marc? A cette question tout le monde comprend bien qu'on ne peut pas y répondre précisément.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Qu'est ce qu'un nombre ?
il y a quatre semaines
@foys
En fait j'ai menti en annonçant à mon post précédent que j'exécutais l'algo alors que j'ai fait ça à l'arrache. Si j'ai un peu de temps, je l'exécuterai vraiment une fois en live, histoire de fixer les idées.

Evidemment, j'ai suivi ton choix initial de ne prendre que K,S, mais comme je l'ai souvent répété, je déteste ce système artificiel et préfère séparer selon les logiques (composeur-permuteur, jeteur, cloneur). Ce que tu évoques (logique linéaire) en fin de post, peut se faire avec les 4 logiques célèbres.

Logique linéaire réalisée par composeur-permuteur
Logique affine réalisée en ajoutant à ça le jeteur (ie K)
Logique intuitionniste en ajoutant à ça le cloneur (ie W agissant comme suit: Wuv:=uvv)
Logique classique en ajoutant CallCC

Remarque: la multiplication est écologique (combinateurs linéaires) mais pas l'addition.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 137 207, Messages: 1 327 741, Utilisateurs: 24 352.
Notre dernier utilisateur inscrit Bagagnan Ganihou.


Ce forum
Discussions: 2 113, Messages: 41 100.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page